Apuntes algebra lineal y geometria vega (185)

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CUESTIONARIO 181
3. Si w es el vector de R2 de coordenadas (↵,↵) respecto B, entonces f(w) es el vector de R3 que
tiene coordenadas (2↵,↵, 2↵) respecto de la base B0 de R3.
4. Los vectores e1, e2 de la base canónica de R2 se transforman mediante f en los vectores (1, 0, 1)
y (�4,�1, 0) respectivamente (expresados respecto de la base canónica de R3).
Cuestión 21
Sean V1, V2, · · · , V1000 espacios vectoriales sobre R, finito dimensionales, y supongamos que en la se-
cuencia
V1
f1����!V2
f2����!V3
f3����! · · · · · · f999����!V1000
f1000����!V1
las aplicaciones fi son lineales y sucede que la imagen de cada una de ellas coincide con el núcleo
de la siguiente (entiéndase además f1 siguiente a f1000) . ¿Cuáles de las proposiciones siguientes son
ciertas?
1. f2 � f1, f3 � f2, · · ·, f1000 � f999 son aplicaciones nulas.
2. dimV1 � dimV2 + dimV3 � dimV4 + · · ·+ dimV999 � dimV1000 = 0.
3. f1000 � f999 � · · · � f2 � f1 es la aplicación nula.
4. dimVi es par para i = 1, 2, 3, · · · , 999, 1000.
Cuestión 22
Sean U y W subespacios distintos de R4 tales que dim(U) = dim(W ) = 3 y f : U ! W tal que
ker(f) = U \W . ¿Cuáles de las proposiciones siguientes son ciertas?
1. Existen bases BU y BW de U y W respectivamente tales que la matriz asociada a f respecto
dichas bases es
MBU ,BW (f) =
0
@
0 0 0
0 0 1
0 0 0
1
A
2. Existen bases BU y BW de U y W respectivamente tales que la matriz asociada a f respecto
dichas bases es
MBU ,BW (f) =
0
@
1 0 0
0 0 0
0 0 0
1
A
3. Existen bases BU y BW de U y W respectivamente tales que la matriz asociada a f respecto
dichas bases es
MBU ,BW (f) =
0
@
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
A
4. Existen bases BU y BW de U y W respectivamente tales que la matriz asociada a f respecto
dichas bases es
MBU ,BW (f) =
0
@
1 0 0
0 1 0
0 0 0
1
A