Apuntes algebra lineal y geometria vega (186)

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182 CUESTIONARIO
¿
Cuestionario 3: Teoŕıa del endomorfismo (Diagonalización)
Cuestión 23
Sea f un endomorfismo de R3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
1. Si el polinomio caracteŕıstico de f es pf (X) = (X � 1)2X, entonces siempre existen vectores
v1, v2, v3 de R3 linealmente independientes tales que
f(v1) = v1, f(v2) = v2, f(v3) = 0.
2. Si respecto de una base B de R3 la matriz asociada a f es de la forma
0
@
1 a b
0 1 c
0 0 �1
1
A
y f es diagonalizable, entonces el polinomio mı́nimo de f es mf (X) = (X � 1)(X + 1) y a = 0.
3. Si respecto de una base B de R3 la matriz asociada a f es
MB(f) =
0
@
1 0 0
0 �1 0
0 0 �1
1
A ,
existe otra base B0 de R3 respecto de la cual la matriz asociada a f es
MB0(f) =
0
@
1 0 0
0 1 0
0 0 �1
1
A .
4. Si f tiene dos autovalores distintos y dim(ker(f)) = 2, entonces f es diagonalizable.
Cuestión 24
Sea f un endomorfismo de R3 tal que respecto de la base canónica está representado por la matriz
0
@
0 a 0
b 0 b
0 a 0
1
A
siendo a, b números reales. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
1. f es no inyectiva.
2. Si a = 0 y b 6= 0 entonces f no es diagonalizable.
3. Si a 6= 0 y b = 0 entonces f no es diagonalizable.
4. Si a = 1 y b = 2 entonces f es diagonalizable.