problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (25)

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Caṕıtulo 1. Conjuntos
1.8. Propiedades del complementario
En P(U) demostrar:
1. ∅c = U, U c = ∅.
2. (Ac)c = A.
3. (a) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc, (b) (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc (Leyes de Morgan). 4.
A ⊂ B ⇒ Bc ⊂ Ac.
5. (a) A ∪Ac = U. (b) A ∩Ac = ∅.
Solución. 1. Tenemos ∅c = {x ∈ U : x 6∈ ∅}. Pero todo elemento x ∈ U no
pertenece a ∅, en consecuencia ∅c = U . Tenemos U c = {x ∈ U : x 6∈ U}.
Pero ningún elemento x puede a la vez pertenecer y no pertenecer a U , en
consecuencia U c = ∅.
2. Por una parte, x ∈ (Ac)c ⇒ x 6∈ Ac = {y ∈ U : y /∈ A} ⇒ x ∈ A, es
decir, (Ac)c ⊂ A. Por otra, x ∈ A⇒ x 6∈ Ac ⇒ x ∈ (Ac)c, es decir A ⊂ (Ac)c.
3. (a) Demostramos directamente la igualdad escribiendo equivalencias:
x ∈ (A∪B)c ⇔ x 6∈ A∪B ⇔ x 6∈ A y x 6∈ B ⇔ x ∈ Ac y x ∈ Bc ⇔ x ∈ Ac∩Bc.
(b) Análogamente:
x ∈ (A∩B)c ⇔ x 6∈ A∩B ⇔ x 6∈ A o x 6∈ B ⇔ x ∈ Ac o x ∈ Bc ⇔ x ∈ Ac∪Bc.
4. Si x ∈ Bc, entonces x 6∈ B. Como por hipótesis A ⊂ B, se verifica x 6∈ A,
es decir x ∈ Ac.
5. (a) Los conjuntos A y Ac están contenidos en U por las definiciones de
conjunto universal y de complementario. Por tanto, si x ∈ A ∪ Ac, o bien
x ∈ A o bien x ∈ Ac y en ambos casos x ∈ U. Es decir, A ∪ Ac ⊂ U . Si
x ∈ U , o bien x ∈ A, o bien x 6∈ A. De forma equivalente, o bien x ∈ A o
bien x ∈ Ac lo cual implica que x ∈ A ∪Ac . Es decir, U ⊂ A ∪Ac.
(b) Tenemos las equivalencias
x ∈ A ∩Ac ⇔ x ∈ A y x ∈ Ac ⇔ x ∈ A y x 6∈ A.
No existe elemento alguno x tal que x ∈ A y x 6∈ A, lo cual implica que
A ∩Ac = ∅.
1.9. Simplificaciones en las partes de un conjunto
1. Siendo A,B,C subconjuntos de un conjunto universal U, determinar el
complementario del conjunto (A ∪Bc ∪ Cc) ∩ (A ∪B ∪ Cc).
	Conjuntos
	Simplificaciones en las partes de un conjunto