problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (78)

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4.3 Subgrupos
es decir el neutro pertenece a H. Si x ∈ H, por (ii) se verifica x′ = e∗x′ ∈ H,
es decir para todo elemento de H su simétrico pertenece a H. Si x, y son
elementos de H, y′ ∈ H y por (ii) se verifica x ∗ y = x ∗ (y′)′ ∈ H, es decir ∗
es interna en H. Dado que la propiedad asociativa se cumple en G, también
se verifica en H.
Concluimos que H es subgrupo de G.
2. (i) El elemento neutro e = 0 pertenece a H pues es número par.
(ii) Sean x, y ∈ H, entonces x∗y′ = x+(−y) = x−y ∈ H, pues la diferencia
de números pares es un número par.
3. (i) 1. Interna. Claramente se cumple pues la suma de dos números reales
es un número real.
2. Asociativa. Usando la propiedad asociativa de la suma en R:
[(x1, x2) + (y1, y2)] + (z1, z2) = (x1 + y1, x2 + y2) + (z1, z2)
= ((x1 + y1) + z1, (x2 + y2) + z2) = (x1 + (y1 + z1), x2 + (y2 + z2))
= (x1, x2) + (y1 + z1, y2 + z2) = (x1, x2) + [(y1, y2) + (z1, z2)] .
3. Elemento neutro. El elemento e = (0, 0) de R2 claramente cumple e+x =
x+ e = x para todo x = (x1, x2) ∈ R2
4. Elemento simétrico. Para todo x = (x1, x2) ∈ R2 el elemento x′ =
(−x1,−x2) de R2 satisface x + x′ = x′ + x = e. Hemos demostrado que
(R2,+) es grupo. Además, es abeliano debido a que la suma en R es con-
mutativa.
(ii) Claramente e = (0, 0) ∈ H1. Por otra parte, dos elementos de H1 son de
la forma (α1, 0) y (α2, 0), entonces:
(α1, 0) + (α2, 0)
′ = (α1, 0) + (−α2, 0) = (α1 − α2, 0) ∈ H1.
Concluimos que H1 es subgrupo de R2. De manera totalmente análoga se
demuestra que H2 también lo es.
(iii) El elemento (1, 0) pertenece a H1 y el (0, 1) a H2. Es decir (1, 0) y (0, 1)
son elementos de H1 ∪H2. Sin embargo,
(1, 0) + (0, 1) = (1, 1) 6∈ H1 ∪H2.
No se verifica la propiedad interna en H1 ∪H2, en consecuencia H1 ∪H2 no
es subgrupo de R2.