problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (149)

Vista previa del material en texto

Caṕıtulo 5. Anillos y cuerpos
5.25. Anillo de las funciones reales
Sea X un conjunto distinto del vaćıo y sea F(X,R) el conjunto de todas las
funciones de X en R. Se definen en F(X,R) las operaciones
Suma. Para todo f, g ∈ F(X,R), (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀x ∈ X.
Producto. Para todo f, g ∈ F(X,R), (f · g)(x) = f(x) · g(x) ∀x ∈ X.
Demostrar que (F(X,R),+, ·) es anillo conmutativo y unitario. A este anillo
se le llama anillo de las funciones reales.
Solución. 1) (F(X,R),+) es grupo abeliano.
Interna. Claramente, la suma de dos funciones de X en R es función de X
en R.
Asociativa. Para todo f, g, h ∈ F(X,R), para todo x ∈ X y usando la
propiedad asociativa de la suma de números reales:
[(f + g) + h](x) = [(f + g)(x)] + h(x) = [f(x) + g(x)] + h(x).
= f(x) + [g(x) + h(x)] = f(x) + [(g + h)(x)] = [f + (g + h)](x).
Por la definición de igualdad de funciones, (f + g) + h = f + (g + h).
Elemento neutro. Consideremos la función 0 : X → R definida por 0(x) = 0
para todo x ∈ X. Entonces, para cualquier f ∈ F(X,R) :
(f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 = f(x)⇒ f + 0 = f,
(0 + f)(x) = 0(x) + f(x) = 0 + f(x) = f(x)⇒ 0 + f = f,
por tanto la función 0 es elemento neutro.
Elemento simétrico. Para cada f ∈ F(X,R), definamos la función −f de la
siguiente manera: (−f)(x) = −f(x), x ∈ X. Entonces, para todo x ∈ X :
[f + (−f)](x) = f(x) + (−f)(x) = f(x) + (−f(x)) = 0⇒ f + (−f) = 0,
[(−f) + f ](x) = (−f)(x) + f(x) = −f(x) + f(x) = 0⇒ (−f) + f = 0,
es decir todo elemento de F(X,R) tiene simétrico.
Conmutativa. Para todo f, g ∈ F(X,R), para todo x ∈ X y usando la
propiedad conmutativa de la suma de números reales:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)⇒ f + g = g + f.
2) (F(X,R), ·) es semigrupo. Escribiremos abreviadamente fg en lugar de
f · g.
Interna. Claramente, el producto dos funciones de X en R es función de X
en R.