problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (72)

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4.1 Concepto de grupo
Conmutativa. Es una conocida propiedad de la suma de polinomios.
7. (a) Interna. Para todo par de números reales x, y la suma x3 + y3 es un
número real. Además, la ráız cúbica de un número real es un número real
único. Por tanto, la operación ∗ es interna.
(b) Asociativa. Para todo x, y, z números reales se verifica
(x ∗ y) ∗ z = ( 3
√
x3 + y3) ∗ z = 3
√
( 3
√
x3 + y3)3 + z3 = 3
√
x3 + y3 + z3.
x ∗ (y ∗ z) = x ∗ ( 3
√
y3 + z3) = 3
√
x3 + ( 3
√
y3 + z3)3 = 3
√
x3 + y3 + z3.
Es decir, la operación ∗ es asociativa.
(c) Elemento neutro. Para todo x ∈ R se verifica
x ∗ 0 = 3
√
x3 + 03 =
3
√
x3 = x , 0 ∗ x = 3
√
03 + x3 =
3
√
x3 = x.
Por tanto, 0 es el elemento neutro de la operación ∗.
(d) Elemento simétrico. Para todo x ∈ R se verifica
x ∗ (−x) = 3
√
x3 + (−x)3 = 3
√
x3 − x3 = 3
√
0 = 0,
(−x) ∗ x = 3
√
(−x)3 + x3 = 3
√
−x3 + x3 = 3
√
0 = 0.
Todo x ∈ R tiene elemento simétrico, siendo éste −x.
(e) Conmutativa. Para todo par de números reales x, y :
x ∗ y = 3
√
x3 + y3 = 3
√
y3 + x3 = y ∗ x.
La operación es conmutativa. Concluimos que (R, ∗) es un grupo abeliano.
8. Claramente ∗ es una ley de composición interna. Veamos que cumple la
propiedad asociativa. Por un parte
[(x1, y1) ∗ (x2, y2)] ∗ (x3, y3) = (x1 + (−1)y1x2 , y1 + y2) ∗ (x3, y3) =
(x1 + (−1)y1x2 + (−1)y1+y2x3 , y1 + y2 + y3).
Por otra
(x1, y1) ∗ [(x2, y2) ∗ (x3, y3)] = (x1, y1) ∗ (x2 + (−1)y2x3 , y2 + y3) =
(x1 + (−1)y1(x2 + (−1)y2x3) , y1 + y2 + y3).
Dado que x1 +(−1)y1(x2 +(−1)y2x3) = x1 +(−1)y1x2 +(−1)y1+y2x3 conclui-
mos que la operación ∗ es asociativa. Veamos que existe elemento neutro.
En efecto, (e1, e2) ∈ G es elemento neutro si y sólo si para todo (x, y) ∈ G
se verifica
(x, y) ∗ (e1, e2) = (e1, e2) ∗ (x, y) = (x, y),
o equivalentemente
(x+ (−1)ye1 , y + e2) = (e1 + (−1)e2x , e2 + y) = (x, y).