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Caṕıtulo 4. Grupos Esta igualdad se verifica para (e1, e2) = (0, 0), que es por tanto el elemento neutro de la ley de composición interna ∗. Veamos ahora que todo elemento (x, y) ∈ G tiene elemento simétrico. En efecto, (x′, y′) es simétrico de (x, y) si y sólo si (x, y) ∗ (x′, y′) = (x′, y′) ∗ (x, y) = (0, 0), o equivalentemente (x+ (−1)yx′ , y + y′) = (x′ + (−1)y′x , y′ + y) = (0, 0). (1) De y+y′ = 0 deducimos y′ = −y y de x+(−1)yx′ = 0 que x′ = −(−1)−yx o bien x′ = (−1)1−yx. Para estos valores de x′ e y′ se verifican las igualdades (1). Concluimos que todo elemento (x, y) ∈ G tiene simétrico, siendo este (x, y)−1 = (x′, y′) = ((−1)1−yx , −y). Hemos demostrado que (G, ∗) es grupo. No es abeliano pues por ejemplo (1, 0) ∗ (0, 1) = (1 + (−1)0 · 0 , 0 + 1) = (1, 1). (0, 1) ∗ (1, 0) = (0 + (−1)1 · 1 , 1 + 0) = (−1, 1). 9. a) Tenemos y ∗x = y+x−yx = x+y−xy = x∗y, por tanto la operación es conmutativa. Por otra parte (x ∗ y) ∗ z = (x+ y − xy) ∗ z = (x+ y − xy) + z − (x+ y − xy)z = x+ y − xy + z − xz − yz + xyz. x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (y + z − yz) = x+ y + z − yz − x(y + z − yz) = x+ y + z − yz − xy − xz + xyz. Es decir, la operación es asociativa. Veamos que existe elemento neutro e para ∗. Efectivamente, e es elemento neutro para ∗ si y sólo si x∗e = e∗x = x para todo x ∈ R, o equivalentemente x+ e− xe = x para todo x ∈ R. Cla- ramente e = 0 cumple la igualdad anterior.Sea ahora x ∈ R, entonces existe simétrico x′ simétrico de x si y sólo si x∗x′ = x′∗x = 0 o bien x+x′−xx′ = 0 o bien x′(1 − x) = −x. Si x 6= 1 entonces existe x′ = x/(x − 1). Si x = 1 tenemos la relación x′ · 0 = −1 y por tanto no existe x′. Concluimos que (R, ∗) no es un grupo. b) Tenemos: x ∗ x = x+ x− x2 = 2x− x2 = 1− (1− x)2, x ∗ x ∗ x = (2x− x2) ∗ x = 2x− x2 + x− (2x− x2)x
