problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (210)

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7.17 Inversa generalizada
[
X Y
0 0
] [
Ir 0
0 0
]
=
[
Ir 0
0 0
]
⇔[
X 0
0 0
]
=
[
Ir 0
0 0
]
⇔ X = Ir.
En consecuencia, todas las matrices g-inversas de à son todas las matrices
n×m de la forma
G =
[
Ir Y
Z T
]
.
(b) Usando el apartado anterior tenemos
AGA = A(QÃtP )A = (AQ)Ãt(PA) =
(P−1Ã)Ãt(ÃQ−1) = P−1(ÃÃtÃ)Q−1 =
P−1ÃQ−1 = A.
Es decir, G = QÃtP es g-inversa de A.
(c) Veamos que A es g-inversa de G, es decir GAG = A. Tenemos
GAG = (QÃtP )A(QÃtP ) = (QÃt)(PAQ)(ÃtP )
Q(ÃtÃÃt)P = Q(ÃÃtÃ)tP = QÃP = G.
El resultado no es general. Elijamos por ejemplo las matrices de órdenes
n× n : A = 0 (matriz nula) y G = I (matriz unidad). Entonces
AGA = 0I0 = 0 = A , GAG = I0I = 0 6= G.
Es decir, G es g-inversa de A pero A no es g-inversa de G.
2. (a) Por hipótesis AGA = A. Si el sistema Ax = b es compatible, existe
x0 ∈ Rn×1 tal que Ax0 = b. Entonces Ax0 = b ⇒ AGAx0 = b ⇒ AGb = b.
La condición también es suficiente pues si AGb = b, entonces x0 = Gb es
solución del sistema.
(b) Tenemos
A(Gb+ (In −GA)z) = AGb+Az −AGAz = AGb+Az −Az = AGb = b,
lo cual demuestra que todo vector de la forma Gb+ (In −GA)z es solución
del sistema Ax = b.