problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (219)

Vista previa del material en texto

Caṕıtulo 8. Determinantes sobre un cuerpo
= 1 · 1 · 2 · . . . · (n− 2) · (n− 1) = (n− 1)!.
2. Sumando a cada columna las demás:
D(x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x+ 1 + 2 + 3 + · · ·+ (n− 1) + n 1 2 3 . . . n− 1 n
x+ 1 + 2 + 3 + · · ·+ (n− 1) + n x 2 3 . . . n− 1 n
x+ 1 + 2 + 3 + · · ·+ (n− 1) + n 2 x 3 . . . n− 1 n
x+ 1 + 2 + 3 + · · ·+ (n− 1) + n 2 3 x . . . n− 1 n
...
...
x+ 1 + 2 + 3 + · · ·+ (n− 1) + n 2 3 4 . . . x n
x+ 1 + 2 + 3 + · · ·+ (n− 1) + n 2 3 4 . . . n x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (x+ 1 + 2 + 3 + · · ·+ (n− 1) + n)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 2 3 . . . n− 1 n
1 x 2 3 . . . n− 1 n
1 2 x 3 . . . n− 1 n
1 2 3 x . . . n− 1 n
...
...
1 2 3 4 . . . x n
1 2 3 4 . . . n x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
Usando la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética y
efectuando las transformaciones C2−C1, C3−2C1, C4−3C1, ... , Cn+1−nC1 :
D(x) =
(
x+
n(n+ 1)
2
)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0 . . . 0 0
1 x− 1 0 0 . . . 0 0
1 1 x− 2 0 . . . 0 0
1 1 1 x− 3 . . . 0 0
...
...
1 1 1 1 . . . x− (n− 1) 0
1 1 1 1 . . . 1 x− n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
(
x+
n(n+ 1)
2
)
(x− 1)(x− 2)(x− 3) . . . (x− n).
Las soluciones de la ecuación D(x) = 0 son por tanto:
x = −n(n+ 1)
2
, x = 1, x = 2, x = 3, . . . , x = n.
3. Sumando a todas las filas (menos a la primera), la primera:
∆n =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 1 . . . 1
0 2 8 8 . . . 8
0 0 2 8 . . . 8
...
...
0 0 0 0 . . . 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 2n−1.