problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (229)

Vista previa del material en texto

Caṕıtulo 8. Determinantes sobre un cuerpo
8.7. Regla de Cramer
1. Comprobar que el siguiente sistema en R es de Cramer y resolverlo
2x1 + x2 + x3 = 2
x1 + 3x2 + x3 = 5
x1 + x2 + 5x3 = −7.
2. Usando la regla de Cramer resolver el sistema lineal{
2x+ 3y = 2
x+ 4y = 2.
i) En R. ii) En Z7.
3. Convertir el siguiente sistema en R en uno de Cramer y resolverlo.
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 1
2x1 + 2x2 − x3 + 3x4 = −2
3x1 + 4x2 + 4x4 = −1.
Solución. 1. Recordamos que un sistema lineal Ax = b sobre un cuerpo K
se dice que es de Cramer, si y sólo si tiene el mismo número n de ecuaciones
que de incógnitas y además ∆ = detA 6= 0. Por otra parte, todo sistema de
Cramer es compatible y determinado y denotando por ∆i al determinante
obtenido al sustituir la columna i-ésima de A por b, la única solución del
sistema es (
∆1
∆
,
∆2
∆
, . . . ,
∆n
∆
)
(Regla de Cramer). �
En nuestro caso,
∆ =
∣∣∣∣∣∣
2 1 1
1 3 1
1 1 5
∣∣∣∣∣∣ = 22 6= 0⇒
x1 =
∆1
∆
=
∣∣∣∣∣∣
2 1 1
5 3 1
−7 1 5
∣∣∣∣∣∣
22
=
22
22
= 1,
x2 =
∆2
∆
=
∣∣∣∣∣∣
2 2 1
1 5 1
1 −7 5
∣∣∣∣∣∣
22
=
44
22
= 2,