problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (265)

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Caṕıtulo 9. Espacios vectoriales
Por hipótesis de inducción
(n2 − 1)λ1 = (n2 − 22)λ2 = . . . = (n2 − (n− 1)2)λn−1 = 0.
Esto implica que λ1 = λ2 = . . . = λn−1 = 0. Sustituyendo estos λi en (1)
queda λn sennx = 0. Dando a x el valor π/2n queda λn sen(π/2) = λn = 0.
Es decir, S = {fk(x) = sen kx : k = 1, 2, . . . , n} es sistema libre en E.
8. Sea {xk1 , . . . , xkm} un subconjunto finito de S. Dado que los exponentes
ki son distintos dos a dos, de la igualdad
λ1x
k1 + · · ·+ λmxkm = 0,
se deduce por el principio de igualdad de polinomios que λi = 0 para todo
i = 1, . . . ,m. Concluimos que S es sistema libre.
9. (a) Sea el sistema S = {0, v2, . . . , vm}. Se verifica la igualdad 1 · 0 + 0v2 +
. . .+ 0vm = 0 lo cual implica que S es ligado.
(b) Sea S = {v1, . . . , vp, vp+1, . . . , vm} sistema libre. Veamos que el sub-
sistema S1 = {v1, . . . , vp} también es libre. Efectivamente, si fuera ligado
existiŕıan escalares λ1, . . . , λp no todos nulos tales que λ1v1 + . . .+λpvp = 0.
Esto implicaŕıa que λ1v1 + . . .+λpvp+0vp+1 + . . .+0vm = 0 no siendo nulos
todos los escalares: S seŕıa ligado, lo cual es absurdo.
(c) Si el supersistema fuera libre, por lo demostrado en (b) el sistema seŕıa
libre, lo cual es absurdo.
(d) Supongamos que el sistema S = {v1, v2, . . . , vm} es ligado. Entonces exis-
ten escalares λ1, λ2, . . . , λm no todos nulos tal que λ1v1+λ2v2+. . .+λmvm =
0. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que λ1 6= 0. Entonces
λ1v1 = −λ2v2 − . . .− λmvm = 0⇒ v1 = −(λ−11 λ2)v2 − . . .− (λ
−1
1 λm)vm.
Es decir, existe un vector del sistema que es combinación lineal de los demás.
Rećıprocamente, supongamos que existe un vector de del sistema (por ejem-
plo v1) que es combinación lineal de los demás, entonces v1 es de la forma
v1 = λ2v2 + . . . + λnvm lo cual implica 1 · v1 − λ2v2 − . . . − λnvm = 0: el
sistema es ligado.
10. Supongamos que λ1 senx + λ2 cosx + λ3x = 0. Esta igualdad es una
igualdad de funciones, por tanto se ha de verificar para todo x ∈ R. Dando
a x los valores 0, π/4, π/2, obtenemos el sistema
λ2 = 0√
2
2
λ1 +
√
2
2
λ2 +
π
4
λ3 = 0
λ1 +
π
2
λ3 = 0,