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10.8 Clasificación de aplicaciones lineales 10.8. Clasificación de aplicaciones lineales 1. Clasificar las aplicaciones lineales: 1) f : R2 → R3, f(x1, x2) = (x1 + x2, −x1 + 2x2, 0). 2) g : R3 → R2, g(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3). 2. Demostrar que f : R2 → R2 dado por f [ x1 x2 ] = [ 3 −1 4 2 ] [ x1 x2 ] es isomorfismo. 3. Para todo λ ∈ R se considera el endomorfismo T en R3 cuya matriz en la base canónica es A = λ+ 2 2λ+ 4 3λ+ 6λ+ 2 3λ+ 6 3λ+ 6 λ+ 2 3λ+ 6 4λ+ 5 . Determinar los valores de λ para los cuales T es isomorfismo. 4. Demostrar que el endomorfismo D en R[x] que hace corresponder a cada polinomio su derivada es epimorfismo pero no monomorfismo. 5. Sea f : E → F una aplicación lineal. Demostrar que f es inyectiva ⇔ ker f = {0}. 6. Demostrar que si f : E → F es isomorfismo, también f−1 : F → E es isomorfismo. 7. Sean E y F espacios vectoriales sobre el cuerpo K, f : E → F isomorfismo y B = {u1, . . . , un} una base de E. Demostrar que B′ = {f(u1), . . . , f(un)} es base de F. 8. Sea E espacio vectorial sobre el cuerpo K, de dimensión finita n. Demos- trar que E es isomorfo a Kn. 9. Sean E y F son espacios vectoriales sobre el cuerpo K, ambos de dimensión finita y dimE = dimF. Demostrar E es isomorfo a F. Solución. 1. 1) Llamando (y1, y2, y3) = (x1 + x2,−x1 + 2x2, 0), obtenemos la ecuación matricial de f respecto de las bases canónicas de R2 y R3 :y1y2 y3 = 1 1−1 2 0 0 [x1 x2 ] ,
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