problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (342)

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10.10 Composición de aplicaciones lineales
Hallar la matriz de g ◦ f en las bases canónicas de R2[x] y R3.
2. Demostrar que f : R2 → R2 dado por
f
[
x1
x2
]
=
[
3 −1
4 2
] [
x1
x2
]
es isomorfismo y determinar el isomorfismo inverso.
3. Sean f y g dos endomorfismos en un espacio vectorial E. Demostrar que:
1) Im(g ◦ f) ⊂ Im g. 2) ker f ⊂ ker(g ◦ f).
4. Sean E,F,G tres espacios vectoriales sobre el cuerpo K y sean f : E → F,
g : F → G dos aplicaciones lineales. Demostrar que la composición g ◦ f :
E → G es aplicación lineal.
5. Sean E,F,G tres espacios sobre el cuerpo K de dimensiones finitas y sean
BE , BF y BG bases de E, F y G respectivamente. Demostrar que
[g ◦ f ]BGBE = [g]
BG
BF
· [f ]BFBE .
6. Sean E y F espacios vectoriales sobre el cuerpo K de dimensiones finitas,
BE y BF bases de E y F respectivamente, y f : E → F isomorfismo.
Demostrar que [
f−1
]BE
BF
=
(
[f ]BFBE
)−1
.
7. Sea E un espacio vectorial de dimensión finita n > 0 y f : E → E un
endomorfismo que cumple dim(Im f) ≥ dim(ker f) y f2 = 0. Demostrar que
n es par.
8. En el espacio vectorial R3[x] de los polinomios de grado menor o igual
que 3 con coeficientes reales, se considera el subespacio W formado por los
polinomios de la forma ax3 + bx2 + bx−a (a y b números reales arbitrarios).
Construir una aplicación lineal T : R3[x]→ R3[x] tal que ImT = W y T◦T =
0. Representar T mediante su matriz respecto de la base {1, x, x2, x3}.
Solución. 1. Hallemos las imágenes por f de los elementos de la base canóni-
ca de R2[x] : 
f(1) = (1, 4) = 1(1, 0) + 4(0, 1)
f(x) = (2, 0) = 2(1, 0) + 0(0, 1)
f(x2) = (0,−1) = 0(1, 0) + (−1)(0, 1)
La matriz de f en las bases canónicas de R2[x] y R2 es por tanto[
1 2 0
4 0 −1
]
,