problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (377)

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Caṕıtulo 10. Aplicaciones lineales
p(a+ 1) = p(a) = 0, p(a+ 2) = p(a+ 1) = 0, p(a+ 3) = p(a+ 2) = 0, . . .
Es decir, p tendŕıa infinitas ráıces: a, a + 1, a + 2, . . ., lo cual es absurdo.
Podemos pues concluir que kerT = {p ∈ R5[x] : p constante}.
3. Los transformados de la base canónica B de R5[x] son:
T (1) = 1− 1 = 0,
T (x) = (x+ 1)− x = 1,
T (x2) = (x+ 1)2 − x2 = 1 + 2x,
T (x3) = (x+ 1)3 − x3 = . . . = 1 + 3x+ 3x2,
T (x4) = (x+ 1)4 − x4 = . . . = 1 + 4x+ 6x2 + 4x3,
T (x5) = (x+ 1)5 − x5 = . . . = 1 + 5x+ 10x2 + 10x3 + 5x4.
Transponiendo coeficientes, obtenemos la expresión matricial de T en B:
y1
y2
y3
y4
y5
y6
 =

0 1 1 1 1 1
0 0 2 3 4 5
0 0 0 3 6 10
0 0 0 0 4 10
0 0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 0


x1
x2
x3
x4
x5
x6
 .
Las coordenadas de x4 en la base canónica B son (0, 0, 0, 0, 1, 0)t. Por tanto,
T−1(x4) está determinado por los (x1, . . . , x6)
t tales que:
0
0
0
0
1
0
 =

0 1 1 1 1 1
0 0 2 3 4 5
0 0 0 3 6 10
0 0 0 0 4 10
0 0 0 0 0 5
0 0 0 0 0 0


x1
x2
x3
x4
x5
x6
 .
Resolviendo, (x1, x2, x3, x4, x5, x6)
t = (α,−1/30, 0, 1/3,−1/2, 1/5)t con α ∈
R. Por tanto T−1(x4) =
{
α− x/30 + x3/3− x4/2 + x5/5 : α ∈ R
}
.
4. Consideremos cualquier polinomio h(x) ∈ T−1(x4) (por ejemplo el corres-
pondiente a α = 0). Tal polinomio cumple T (h(x)) = x4 es decir h(x+ 1)−
h(x) = x4 (∗). Dando a x los valores 1, 2, . . . , n en (∗) obtenemos:
h(2)− h(1) = 14,
h(3)− h(2) = 24,
h(4)− h(3) = 34,
. . . ,
h(n+ 1)− h(n) = n4.