problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (386)

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10.26 Interpolación en el espacio dual
Esto implica que el problema de interpolación tiene solución para cada con-
junto de números z0, . . . , zn. Además, es única pues si otro vector u =
λou0 + . . . + λun fuera solución, aplicando las condiciones < hi, u >= zi
obtenemos inmediatamente λi = zi para todo i = 0, . . . , n, es decir u = v.
4. Veamos que la condición también es necesaria. Supongamos que para todo
conjunto de números z0, . . . , zn, el problema de interpolación tiene solución.
Dado que dimE∗ = dimE = n+1, para demostrar que {h0, . . . , hn} es base
de E∗ basta demostrar que son linealmente independientes. Supongamos que
λ0h0 + . . .+ λnhn = 0.
Para todo i = 0, . . . , n, elijamos (z0, . . . , zn) = Zi en donde Zi representa el
i-ésimo vector de la base canónica de Rn+1. Por hipótesis existe un vector
vi ∈ E tal que
< h0, vi >= 0, < h1, vi >= 0, . . . , < hi, vi >= 1, . . . , < hn, vi >= 0.
Entonces, < λ0h0 + . . .+ λnhn, vi >= λi = 0 para todo i = 0, . . . , n, lo cual
demuestra que {h0, . . . , hn} es base de E.
5. Tenemos∣∣∣∣∣∣
< f0, s0 > < f1, s0 > < f2, s0 >
< f0, s1 > < f1, s1 > < f2, s1 >
< f0, s2 > < f1, s2 > < f2, s2 >
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 0 0
1 1 0
1 1 2
∣∣∣∣∣∣ = 2.∣∣∣∣∣∣
< g0, s0 > < g1, s0 > < g2, s0 >
< g0, s1 > < g1, s1 > < g2, s1 >
< g0, s2 > < g1, s2 > < g2, s2 >
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 0 1
1 1 2
1 3 4
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Veamos que una condición necesaria y suficiente para que el problema de in-
terpolación tenga solución única para cada conjunto de números z0, z1, . . . , zn
es que ∆ 6= 0. Como consecuencia de los apartados 3. y 4., basta demostrar
que:
∆ 6= 0⇔ h0, . . . , hn son linealmente independientes.
⇒) Sea λoh0 + . . .+ λnhn = 0. Entonces
< λ0h0 + . . .+ λnhn, e0 >= 0
. . .
< λ0h0 + . . .+ λnhn, en >= 0
⇔

λ0 < h0, e0 > + . . .+ λn < hn, e0 >= 0
. . .
λ0 < h0, en > + . . .+ λn < hn, en >= 0.