problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (464)

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12.7 Formas de Jordan de AB y BA
Usando que An = PJnP−1 obtenemos
An =
3 1 −21 0 1
1 0 0
 (−1)n
1 −n 00 1 0
0 0 1
3 1 −21 0 1
1 0 0
−1
= (−1)n
1− 3n −6n 15n−n 1− 2n 5n
−n −2n 1 + 5n
 .
12.7. Formas de Jordan de AB y BA
Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n. En general AB y BA son
matrices distintas, y sin embargo tienen atributos iguales. Por ejemplo, se
verifica det(AB) = det(BA). El objetivo de este ejercicio es, además de eva-
luar a los alumnos, estudiar algunas otras caracteŕısticas comunes.
a) Demostrar que AB y BA tienen el mismo polinomio caracteŕıstico y los
mismos valores propios.
Indicación: Efectuar los productos por cajas CD y DC, y comparar det(CD)
con det(DC).
C =
[
λI A
B I
]
, D =
[
−I 0
B −λI
]
.
b) A la vista del resultado anterior es natural preguntar ¿AB y BA tienen
la misma forma de Jordan?, y en particular, ¿si una de ellas es diagonali-
zable, lo es también la otra?. Las respuestas son afirmativas al menos en
el caso particular de suponer A o B invertibles. En efecto, en este caso de-
mostrar que si J es la forma canónica de Jordan de AB con matriz de paso
P (J = P−1(AB)P ), entonces J es también la forma normal de Jordan de
BA. Determinar una matriz invertible Q tal que J = Q−1(BA)Q.
Indicación: Utilizar la igualdad AB = A(BA)A−1 cuando se supone A inve-
rible y otra igualdad análoga cuando se supone B invertible.
c) Construir un contraejemplo para mostrar que las respuestas a las pre-
guntas de b) no siempre son afirmativas. Estudiar si la condición A o B
invertible es necesaria para que AB y BA tengan la misma forma normal
de Jordan.
(Propuesto en examen, Álgebra, ETS Ing. de Montes, UPM).
Solución. a) Hallemos los productos CD y DC:
CD =
[
λI A
B I
] [
−I 0
B −λI
]
=
[
−λI +AB −λA
0 −λI
]
,
	 Formas canónicas de Jordan
	Formas de Jordan de AB y BA