problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (486)

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13.3 Matriz de una forma bilineal
Observación. Nótese que al desarrollar la ecuación matricial, el coeficiente
xiyj es aij .
2. En este caso E = F = R[x]. Como sólo se menciona una base, se supone
que BE = BF = B. Llamemos u1 = 2 + x − x2, u2 = 1 + 2x, u3 = 3 y
hallemos los correspondientes transformados:
f(u1, u1) = 2 · 2 = 4 f(u1, u2) = 2 · 1 = 2 f(u1, u3) = 2 · 3 = 6,
f(u2, u1) = 1 · 2 = 2 f(u2, u2) = 1 · 1 = 1 f(u2, u3) = 1 · 3 = 3,
f(u3, u1) = 3 · 2 = 6 f(u3, u2) = 3 · 1 = 3 f(u3, u3) = 3 · 3 = 9.
La matriz pedida es por tanto
A =
4 2 62 1 3
6 3 9
 .
3. En este caso es más directo hallar la expresión desarrollada de f que los
transformado de los pares de la base canónica. Sean los elementos de R2×2 :
X =
[
x1 x2
x3 x4
]
, Y =
[
y1 y2
y3 y4
]
.
Tenemos
f(X,Y ) = tr
(
XTY
)
= tr
[
x1 x3
x2 x4
] [
y1 y2
y3 y4
]
= tr
[
x1y1 + x3y3 x1y2 + x3y4
x2y1 + x4y3 x2y2 + x4y4
]
= x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4
=
[
x1, x2, x3, x4
] 
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1


y1
y2
y3
y4
 . (∗)
Las coordenadas de X e Y con respecto de la base canónica de R2×2 son
respectivamente
(x1, x2, x3, x4)
T , (y1, y2, y3, y4)
T ,
por tanto (∗) es la ecuación matricial de f en la base canónica de R2×2. En
consecuencia la matriz pedida es
A =

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 = I4.