problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (518)

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13.21 Cociente de Rayleigh
Dado que N es real, una base el subespacio propio asociado al valor propio
−i se obtiene conjugando e3. Por tanto, la matriz P =
[
e1 e2 e3 e3
]
cumple
P−1NP = D = diag (1, 1, i,−i).
La función φ pedida es por tanto
φ(t) = etN

1
0
1
0
 = PetDP−1

1
0
1
0

=

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 i −i
0 0 1 1


et 0 0 0
0 et 0 0
0 0 eit 0
0 0 0 e−it


1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 i −i
0 0 1 1

−1 
1
0
1
0
 .
Teniendo en cuenta que P es diagonal por cajas, fácilmente obtenemos:
φ(t) =

et
0
cos t
sin t
 .
13.21. Cociente de Rayleigh
Propuesto en examen de Álgebra de Ingenieros de Montes de la UPM. Trata
sobre el cociente de Rayleigh XtAX/XtBX, si bien no se menciona en el
enunciado este nombre.
Sean q1(x) = X
tAX y q2(x) = X
tBX dos formas cuadráticas de Rn →
R, siendo A y B matrices cuadradas de orden n, reales y simétricas. Se
supone que q2 es definida positiva. Entonces se sabe (y lo admitiremos) que
existe un cambio de base de ecuación X = PY que permite diagonalizar
simultaneamente las dos formas cuadráticas, expresándolas en la forma:
q1(x) = a1y
2
1 + a2y
2
2 + . . .+ any
2
n
q2(x) = y
2
1 + y
2
2 + . . .+ y
2
n
Se pide:
1. Encontrar y justificar una relación entre los coeficientes a1, a2, . . . , an y
las ráıces de la ecuación det(A− λB) = 0.
2. Clasificar las formas cuadráticas q1 y q2 en el caso particular:
	 Formas bilineales y cuadráticas
	 Cociente de Rayleigh