problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (557)

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Caṕıtulo 14. Producto escalar
u2. Reiterando el proceso, obtenemos una base de B = {u1, . . . , un} de E
ortogonal y formada por vectores propios de T. Basta ahora dividir cada
vector de B entre su norma.
8. Como V = W ⊕W⊥, la descomposición v = w + w′ es única, por tanto
la aplicación T está bien definida. Para todo x, y ∈ V podemos expresar
x = x1 + x2 con x1 ∈W, x2 ∈W⊥, y = y1 + y2 con y1 ∈W, y2 ∈W⊥.
Entonces,
〈x, T (y)〉 = 〈x1 + x2, y1 − y2〉 = 〈x1, y1〉+ 〈x2, y1〉 − 〈x1, y2〉 − 〈x2, y2〉
= 〈x1, y1〉+ 0− 0− 〈x2, y2〉 = 〈x1, y1〉 − 〈x2, y2〉.
〈T (x), y〉 = 〈x1 − x2, y1 + y2〉 = 〈x1, y1〉 − 〈x2, y1〉+ 〈x1, y2〉 − 〈x2, y2〉
= 〈x1, y1〉 − 0 + 0− 〈x2, y2〉 = 〈x1, y1〉 − 〈x2, y2〉.
es decir, 〈x, T (y)〉 = 〈T (x), y〉 para todo x, y ∈ V, luego T es simétrico.
9. Sabemos que dos matrices simétricas son congruentes si, y sólo si tienen
la misma signatura. Las matrices dadas son simétricas y por tanto para
hallar una matriz diagonal de cada una de ellas, podemos aplicar el teorema
espectral. Valores propios de A y de B :∣∣∣∣a− λ bb a− λ
∣∣∣∣ =︸︷︷︸
F2−F1
∣∣∣∣ a− λ bb− a+ λ a− b− λ
∣∣∣∣ =︸︷︷︸
C1+C2
∣∣∣∣a+ b− λ b0 a− b− λ
∣∣∣∣
= (a+ b− λ)(a− b− λ) = 0⇔ λ = a+ b ∨ λ = a− b.∣∣∣∣3− λ 22 3− λ
∣∣∣∣ = λ2 − 5λ+ 2 = 0⇔ λ = 5 +√172 ∨ λ = 5−
√
17
2
.
Los valores propios de B son positivos, en consecuencia
A y B son congruentes⇔ (a+ b > 0) ∧ (a− b > 0).
14.13. Giros alrededor de una recta
1. Sea r una recta de R3 que pasa por el origen y e1 un vector unitario en
la dirección de r. Sea B = {e1, e2, e3} una base ortonormal de R3 tal que
e1× e2 = e3. Demostrar que la matriz del giro de ángulo α alrededor de r es
G = E
1 0 00 cosα −sen α
0 sen α cosα
ET , siendo E = [e1, e2, e3] .
	 Producto escalar
	 Giros alrededor de una recta