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14.29 Signatura en un espacio eucĺıdeo ⇒ ‖x‖ = √ 1 2 ∫ 1 −1 x2dx = 1√ 3 ⇒ e2 = √ 3x, u3− < u3, e2 > e2 − 〈u3, e1〉e1 = x2 − (√ 3 2 ∫ 1 −1 x3dx ) · √ 3x− ( 1 2 ∫ 1 −1 x2dx ) · 1 = x2 − 1 3 ⇒ ∥∥∥∥x2 − 13 ∥∥∥∥ = √ 1 2 ∫ 1 −1 ( x2 − 1 3 )2 dx = 2 3 √ 5 ⇒ e3 = (3 √ 5/2)(x2 − 1/3). La base pedida es por tanto B′ = {1, √ 3x, (3 √ 5/2)(x2 − 1/3)}. 3. Una base del subespacio M es {1, x}, y de los cálculos efectuados en el apartado anterior deducimos que una base ortonormal de M es {1, √ 3x}. Por un conocido teorema, la proyección de ortogonal de x2 sobre M es p = 〈x2, 1〉1+ < x2, √ 3x > √ 3x = ( 1 2 ∫ 1 −1 x2dx ) · 1 − (√ 3 2 ∫ 1 −1 x3dx ) √ 3x = 1 3 . 4. La mı́nima distancia de un vector a un subespacio sabemos que es la distancia del vector a su proyección ortogonal sobre el subespacio. Es decir d(x2,M) = d ( x2, 1 3 ) = ∥∥∥∥x2 − 13 ∥∥∥∥ = √ 1 2 ∫ 1 −1 (x2 − 1/3)2dx = 2 3 √ 5 = 2 √ 5 15 . 14.29. Signatura en un espacio eucĺıdeo Sea E un espacio vectorial real eucĺıdeo de dimensión n y sea u ∈ E un vector de norma 1 (‖u‖ = 1). Para cada número real a se define en E la forma cuadrática Qa : E → R , Qa(x) = (〈x, u〉)2 + a ‖x‖2 . (〈 , 〉 representa el producto escalar en E). Se pide: (a) Determinar razonadamente la signatura de Qa (́ındice de positividad, ı́ndice de negatividad, ı́ndice de nulidad), según los valores de a, si −1 < a < 0. (b) La misma pregunta si a ≥ 0 o bien a ≤ −1. Producto escalar Signatura en un espacio euclídeo
Uriel Petrov
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