Operaciones con matrices

Vista previa del material en texto

Introducción
Suma y resta de matrices. Multiplicación por un escalar
Referencias
Operaciones con Matrices
Hemos explicado que las matrices son útiles para representar un grupo de datos o un bloque de información.
En ese sentido, la matriz ahora es un elemento de un conjunto infinitos de otros elementos (es decir, entre
otras matrices). 
Si miramos la construcción histórica de la matemática, cuando concebimos los números tuvimos que idear,
casi en forma evidente, operaciones entre ellos. 
Lo mismo ocurre con las matrices. Si cumplen ciertas características pueden realizarse operaciones con
ellas. Veremos en esta lectura la suma, la resta, la multiplicación de un escalar por una matriz, la
multiplicación entre matrices y la transposición de una matriz.
Recordemos nuestra situación problemática inicial: la fábrica de golosinas Arcos, produce tres marcas
comerciales de chocolates. Los productos se fabrican en dos tamaños diferentes: chicos y medianos. Para
su producción Arcos ha montado líneas de producción, en diferentes plantas, una de ella en la ciudad Totoral
y la otra en Recreo. 
La capacidad de producción de cada planta está dada por tablas que se presentan a continuación.
Tabla 1: Producción diaria de la planta Totoral en cientos de unidades
 Chicos Medianos
LECCIÓN 1 de 3
Introducción
Bloke 2 1
Mica 3 1,5 
Tofler 2 1,5
Fuente:  elaboración propia. 
Tabla 2: Producción diaria de la planta Recreo en cientos de unidades
 Chicos Medianos
Bloke 1 1
Mica 2,5 1,5 
Tofler 1,5 1
Fuente:  elaboración propia.
Estas tablas pueden representarse en dos matrices T y R como se muestra a continuación:
Reflexiona:
Parecen ser preguntas sencillas de responder a partir de operaciones entre matrices.
Si quisiéramos saber la producción de chocolates en ambas plantas, ¿qué operación
deberíamos hacer?
Si quisiéramos saber la diferencia de producción en ambas plantas, ¿qué operación
deberíamos hacer?
¿Cuál será la producción semanal de chocolates si las plantas trabajan 6 días a la semana? 
La producción total diaria de chocolate Bloke chico será la cantidad de ese chocolate y de ese tamaño que
produce la planta de Totoral más lo que produce la planta de Recreo; es decir, debemos sumar coeficientes
que están en la misma posición. De igual manera, si queremos obtener la producción semanal de chocolate
Bloke chico en la planta Totoral, esta será la cantidad de ese chocolate y de ese tamaño que produce la
planta multiplicado por 7; es decir, para saber la producción semanal bastará con multiplicar cada
coeficiente por el número (escalar) siete.
Revisemos estas operaciones matriciales.
Dos matrices del mismo orden pueden sumarse. El resultado será otra matriz del mismo orden, y cada
elemento será la suma de los coeficientes que se encuentran en la misma posición. Por ejemplo:
LECCIÓN 2 de 3
Suma y resta de matrices. Multiplicación por un
escalar
SU M A D E M ATRI C E S RE STA D E M ATRI C E S
PRO D U C TO D E U NA M ATI Z PO R
U N . . .
Dos matrices del mismo orden pueden restarse. El resultado será otra matriz de igual orden, donde cada
elemento será la diferencia entre los coeficientes que se encuentran en la misma posición. Por ejemplo:
SU M A D E M ATRI C E S RE STA D E M ATRI C E S
PRO D U C TO D E U NA M ATI Z PO R
U N . . .
La multiplicación de una matriz A por un escalar o número real m es otra matriz C del mismo orden que A,
cuyos coeficientes se encuentran al multiplicar los coeficientes de A por m. Por ejemplo:
Propiedades de las operaciones estudiadas
La suma y la resta de matrices cumplen con las siguientes propiedades:
SU M A D E M ATRI C E S RE STA D E M ATRI C E S
PRO D U C TO D E U NA M ATI Z PO R
U N . . .
Son asociativas:  A + (B + C) = (A + B) + C
La multiplicación de una matriz por un escalar goza de las siguientes propiedades:
Multiplicación entre matrices (producto de matrices)
La fábrica Arcos debe comprar la materia prima para la fabricación de sus chocolates. Para ello pide dos
presupuestos a distintas empresas: Molinos Río y Distribuidora Bartena. La tabla 3 indica los precios de la
materia prima para ambas empresas.
Son conmutativas: A + B = B + A 
Poseen un elemento neutro o matriz nula: A + ∅ = ∅ + A = A
Existe un elemento simétrico. Para toda matriz A, existe su opuesta (-A):                           A + (- A)
= (- A) + A = ∅
Es asociativa con respecto a los escalares: n(mA) = (n.m)A
Es distributiva con respecto a la suma de escalares: (m+n)A = mA + nA
Es distributiva con respecto a la suma matricial:  m (A+B) = mA + mB
Posee un elemento neutro (el número 1):   1.A=A
Posee un elemento absorbente (el número 0):  0.A=∅
La matriz nula por cualquier escalar da como resultado otra matriz nula: m.∅=∅
Tabla 3: Precio presupuestados de materia prima por kilogramo y en pesos
($) para la compra de la totalidad de los productos solicitados
 Molinos Río Distribuidora Bartena
Cacao 70 69
Leche 25 26
Azúcar 18 19
Fuente: elaboración propia.
¿A cuál de los proveedores nos convendrá comprarle la materia prima?
Recordemos nuestra tabla de insumos:
Tabla 4: Ingredientes para barras de tamaño pequeño en las distintas
marcas de chocolates, los ingredientes están expresados en gramos.
 cacao (g.) leche (g.) azúcar (g) 
Bloke 20 10 10
Mica 15 20 15
Tofler 25 20 5
Fuente: elaboración propia.
Por lo tanto, nuestra matriz de insumos es:
Ahora podemos escribir, a partir de la tabla 3, una matriz de costo de materia prima (B) donde colocaremos
los valores por gramo.
Para conocer el precio del chocolate Bloke pequeño de acuerdo a cada proveedor, deberemos multiplicar la
cantidad de cacao por el precio de cacao y sumar este resultado con el que obtengamos de multiplicar la
cantidad de leche necesaria por el precio de la leche, y la cantidad de azúcar con el precio de la azúcar
respectivamente. Es decir, haremos la siguiente operación para el chocolate Bloke y el proveedor Molinos
Río:
20 x 0,07 + 10 x 0,025 + 10 x 0,018 = 1,4 + 0,25 + 0,18 =  1,83 
Si deseáramos conocer el costo del mismo chocolate con el proveedor Distribuidora Bartena, la cuenta
sería:
20 x 0,069 + 10 x 0,026 + 10 x 0,019 = 1,38 + 0,26 + 0,19  =  1,83 
Ambos costos son iguales para este chocolate ¿ocurrirá lo mismo con los demás? 
Observemos lo que hemos hecho: multiplicamos los coeficientes de la primera fila de la matriz A (que
corresponde a la materia prima que necesitamos para fabricar Bloke) con la primera columna de la matriz B,
(que corresponde al precio presupuestado de la materia prima por el primer proveedor). Luego hicimos
multiplicamos los coeficientes de la primera fila por los de la segunda columna para obtener el precio para el
segundo proveedor.
Deberíamos repetir el mismo procedimiento para los otros productos, es decir, hacer lo mismo con las otras
filas. En eso consiste el producto de matrices.
Figura 1: Producto de matrices



Orden de las matrices a multiplicar:
Para poder multiplicar el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda
matriz.

Orden de la matriz producto
La matriz C resultará de un orden mxn donde m es la cantidad de fila de la primera matriz y n la cantidad de
columnas de la segunda.

Coe�ciente de la matriz producto
Cada elemento “cij” de la matriz producto C se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de la
matriz A por el correspondiente de la columna j de la matriz B.
Dos matrices pueden multiplicarse si y solo si el número de columnas de la primera matriz es igual al
número de filas de la segunda matriz.
Esto es:

Si dos matrices pueden multiplicarse, cada elemento Cij de la matriz producto C se obtiene sumando los
productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matriz B.
Propiedades del producto de matrices
Transposición de matrices
Cuando planteamos, en el párrafo anterior, cómo conocer el precio en materia primade cada chocolate de
acuerdo a cada proveedor, hicimos una pequeña trampa: elegimos la matriz de insumos que más nos
convenía. En la lectura 1 planteábamos que la matriz de insumos se podía escribir de dos formas distintas
(puedes volver a ver la actividad de refuerzo y repaso): 
Es asociativa:  Ax (BxC) = (AxB) x C
Es distributiva:                  Ax (B+C) = AxB+AxC
                                            (A+B) x C = AxC+BxC
Posee un elemento neutro (este es la matriz identidad):   IxA = AxI = A
Posee un elemento absorbente (este es la matriz nula):   Ax∅ = ∅xA = ∅
No cumple la propiedad conmutativa:           BxA ≠ AxB
AxB=∅ no implica necesariamente que A=∅ ó B=∅ . De la misma manera, si AxB=AxC, no
implica necesariamente que B=C.
¿Qué relación existe entre ambas? está claro que las filas de la matriz A son las columnas de la matriz B (o al
revés). Podemos, entonces, decir que la matriz transpuesta es la que se obtiene al intercambiar filas por
columnas. 
O con mayor rigurosidad: dada una matriz A, su transpuesta (A´ ó AT) se obtiene al ubicar las respectivas
filas de A como columnas de AT. Formalmente al elemento aij , será el elemento a
t
ji  de A
T. Por ejemplo:
Propiedades de la matriz transpuesta
La transpuesta de la transpuesta es igual a la matriz original: (AT)T = A
La transpuesta de la suma es igual a la suma de las transpuestas: (A+B)T = AT+BT
Actividades de repaso y refuerzo
SUBMIT
La transpuesta de un escalar por una matriz es igual al escalar por la transpuesta de la matriz:
m.AT = m.AT
La transpuesta del producto matricial es igual al producto de las transpuestas en orden
invertido:  (AxB)T = BTxAT
La matriz A de orden 3x2 y la matriz B de orden 3x2, al multiplicarse de alguna
de las maneras posibles (ya sea con las matrices originales o su transpuesta),
se obtiene una matriz C. 
C es el producto de A x Bt= C de orden 3.
C es el producto de At x B = C de orden 2.
C es el producto de Bt x A= C de orden 2.
C es el producto de B x At = C de orden 3.
C es el producto de A x B= C de orden 3x2.
Actividades de repaso y refuerzo
SUBMIT
Actividades de repaso y refuerzo
Si realizamos la siguiente operación de matrices:
(A3×n + Bj×2) ×Cr×s = Dm×4
Podemos decir que los valores de los subíndices n; j; r; s y m son:
n=2; j=3; r=2; m=3; s=4.
n=3; j=2; r=3; m=3; s=3.
n=4; j=3; r=3; m=3; s=2.
n=2; j=2; r=2; m=2; s=2.
n=3; j=3; r=3; m=3; s=3.
Al multiplicar las matrices A×I×∅, donde A, I y ∅ son matriz de orden 4, se
obtiene como resultado la matriz A.
SUBMIT
Actividades de repaso y refuerzo
A
Es verdadero porque cualquier matriz multiplicada por la identidad, da como resultado
la misma matriz.
Es falso porque cualquier matriz multiplicada por la matriz nula da como resultado una
matriz nula.
(AT)T A x I
½ (A+A)
AT
I
Φ
Φ + AT ((AT)T)T
I x I
Actividades de repaso y refuerzo
SUBMIT
A - A I x Φ
Unir sentencias.
Para realizar una suma de
matrices
Para realizar un producto de
matrices
Transposición de una matriz
Ambas matrices deben tener igual
cantidad de filas e igual cantidad de
columnas.
La cantidad de columnas de la
primera matriz debe ser igual a
cantidad de filas de la se
No importa la cantidad de filas y de
columnas.
Khan Academy (s.f.). Introducción a las matrices identidad. Recuperado de
https://es.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:matrices/x9e81a4f98389efdf:properties
-of-matrix-multiplication/a/intro-to-identity-matrices
LECCIÓN 3 de 3
Referencias