Operaciones elementales definicion y propiedades

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¡Qué irritante es cuando se trabaja mucho tiempo en un sistema de ecuaciones,
haciendo todos los cálculos pertinentes, interpretando la solución, clasificando el
sistema y alguien nos dice que copiamos mal un número o cometimos un error!
Cuando ocurre esto, ¿hay que volver los pasos atrás y hacer todo nuevamente?
En realidad, en esta situación se tiene dos opciones: empezar de nuevo o ver si el
error cometido no influye en la solución obtenida.
Operaciones elementales
Operaciones elementales. Definición y propiedades
Situación problemática
Recordemos el problema de la lectura 1 del Módulo 1, el de la nutricionista, que utilizaba la tabla: 
Tabla 1: Aportes de nutrientes de diferentes alimentos. Dado en unidades
por cada 100 g de alimento ingerido
Tipo de alimentos
(cada 100 g)
Vitaminas Carbohidratos Proteínas
Cereales 4 4 2
Carnes 2 8 4
Verduras 2 1 2
Fuente: Elaboración propia
LECCIÓN 1 de 1
Operaciones elementales
La nutricionista decía que una dieta que mantiene el peso corporal debe contener 28 unidades de vitaminas,
27 unidades de carbohidratos y 24 unidades de proteínas. 
Esta, además de ser investigadora en el área, está trabajando en el desarrollo de ciertos alimentos
transgénicos y ha logrado que los aportes de vitaminas de los mismos alimentos ahora se dupliquen.
Por lo tanto, utilizando los alimentos transgénicos, la tabla sería:
Tabla 2: Aportes de nutrientes de los diferentes alimentos transgénicos.
Dado en unidades por cada 100 g de alimento ingerido
Tipo de alimentos
(cada 100 g)
Vitaminas Carbohidratos Proteínas
Cereales 8 4 2
Carnes 4 8 4
Verduras 4 1 2
Tabla 2: Fuente: Elaboración propia
Bajo estas condiciones, la dieta que sugiere la nutricionista para mantener el peso debe contener 56
unidades de vitaminas, 27 unidades de carbohidratos y 24 unidades de proteínas. 
¡La nutricionista parece tener una carrera muy exitosa!
Ahora bien, ¿vale la pena cambiar de dieta, teniendo en cuenta que los alimentos transgénicos son más
caros en el mercado?
Sistemas de ecuaciones equivalentes
Para la tabla 1, en término de sistemas de ecuaciones, obtenemos:
Y de la tabla 2 obtenemos:
¿Qué diferencia hay entre un sistema y otro? Solo hay cambios en la primera ecuación, simplemente se ha
multiplicado por 2 a la misma.
Si resolvemos ambos sistemas podemos ver que tienen la misma solución, es decir, que para mantener el
peso siguiendo cualquiera de las dos tablas se debería consumir las mismas unidades de cada alimento.
Esto ocurre porque los sistemas de ecuaciones son equivalentes.
Propiedad fundamental de equivalencia entre sistemas
Cuando resolvemos una ecuación o un sistema de ecuaciones estamos transformando nuestro sistema en
otro sistema equivalente, cuya solución sea más fácil de hallar. 
Así por ejemplo:
Figura 1. Sistemas de ecuaciones equivalentes
Dos o más sistemas se dicen
equivalentes si tienen el
mismo conjunto solución.
Sistemas de ecuaciones
equivalentes




En la segunda ecuación despejo la x

Intercambio las ecuaciones para dar la solución del sistema (no es necesario este paso)

Encuentro el valor de y lo sustituyo en la ecuación de abajo.

Sustituyo la x en la primer ecuación
Fuente:  Elaboración propia
Las operaciones que transforman sistemas en sistemas equivalentes son:
Adicionar a una de sus ecuaciones el producto de una constante no nula por otra de sus
ecuaciones.
1
Multiplicar una ecuación por una constante no nula.2
Intercambiar el orden de las ecuaciones.3

Si estas ideas las volcamos a conceptos matriciales se tienen las operaciones elementales por filas sobre
matrices.
Operaciones elementales sobre matrices –
Las operaciones elementales por fila son:
Intercambio de dos filas paralelas.
Multiplicación de una fila por una constante no nula.
Adición a una fila, otra fila paralela previamente multiplicada por una escalar distinto de cero.
Matrices equivalentes –
Dos matrices A y B se dicen equivalentes por filas si una se obtiene a partir de la otra, a través de una
cantidad finita de operaciones elementales por fila.
 
En símbolos:
A~B
Matrices elementales –
Se llama matrices elementales a las matrices que se obtienen a partir de la matriz identidad realizando
solo una de las operaciones elementales.
Se muestra a continuación algunos ejemplos de operaciones elementales por filas efectuados sobre
matrices:
En este ejemplo se intercambió la fila 1 con la fila 2. Las matrices A y B son equivalentes: A~B
En este ejemplo se multiplicó la fila 1 por la constante (-3). Las matrices B y C son equivalentes: B~C
1
2
3
En este ejemplo se le sumó a la fila 1 la fila 2 (en este caso multiplicada por 1). Las matrices C y D son
equivalentes: C~D
En este ejemplo se utiliza una matriz rectangular, pues las operaciones elementales por fila se pueden
aplicar a cualquier tipo de matriz.
Observación importante: la fila que se modifica es la fila 2 (no es la fila que está multiplicada por una
constante).
En este ejemplo la matriz E se llama matriz elemental porque surge de la matriz identidad a través de una
única operación elemental. Sin embargo, la matriz H no es una matriz elemental pues no surge de una matriz
identidad, aunque las tres sean equivalentes.
4
5
Se puede demostrar que la relación de equivalencia es transitiva, es decir, si A~B y B~C podemos asegurar
que A~C.
SUBMIT
 
Dada la matriz:
Si intercambiamos la fila1 con la fila 3 obtenemos una matriz ____________.
Escriba su respuesta aquí
Si la matriz A y B se definen de la siguiente manera:
 
Decimos que la matriz B es equivalente a la matriz A, B~A, porque una se
obtiene a partir de la otra por la operación elemental multiplicar la fila dos por la
constante___.
SUBMIT
 
Escriba su respuesta aquí
¿Cuáles de las siguientes opciones son operaciones elementales por filas para
una matriz A?
Intercambiar dos columnas de A
Restar a una fila otra fila previamente multiplicada por una
constante no nula
Multiplicar una fila por una constante no nula
Sumar a una fila una constante no nula
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SUBMIT
 
UNIR SENTENCIAS
(3 0 0 3 )
(1 0 0 3)
● No es una matriz elemental
● Es una matriz elemental