Apuntes de teoría-Análisis II - Mariel Lorena Tevez

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IES TACO POZO ANÁLISIS MATEMÁTICO II 
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PROFESOR ADRIAN RUIZ 
 
EJE TEMÁTICO Nº 1: INTEGRAL INDEFINIDA – INTEGRAL DEFINIDA 
 
 Función primitiva. Integral indefinida. Propiedades. Métodos de integración: por des-
composición, por cambio de variables o sustitución, por partes. Integración de funcio-
nes racionales. Integración de funciones trigonométricas. 
 
 Integral definida. Definición. Fórmula de Barrow. Propiedades. Teorema del valor me-
dio de la integral. Aplicaciones geométricas: cálculo del área, longitud de un arco, vo-
lumen de un cuerpo de revolución. 
 
FUNCIÓN PRIMITIVA – INTEGRAL INDEFINIDA 
 
Sea una función f (x), llamándose primitiva de ella en un cierto intervalo de su do-
minio, a la función F (x), tal que su derivada es la función dada. 
 
Ejemplos: f (x) = cos x tiene por primitiva a F (x) = sen x ya que F‘ (x) = (sen x)‘ = 
cos x 
 g(x) = 3x2 es F(x) = x3 pues F‘(x) = (x3)‘ = 3x2 
 
En símbolos: 
    )()(,)( ' xfxFbaenxfdeprimitivaesxF  
 
Si una función tiene primitiva, no es la única pues si se le suma un número cual-
quiera, resulta otra primitiva: 
 
2
'
33
2'33
2'33
3
3
4
3
4
3)
2
1
(
2
1
355
xxpuesx
xxpuesx
xxpuesx









 
 
Generalizando: 
 
F(x) es primitiva de f (x)  F(x) + C también es primitiva de f (x) 
 
Si F (x) es una primitiva de f (x), el conjunto de las infinitas primitivas expresado en F (x) + 
C, se llama integral indefinida de f (x) y se indica 
 
  CxFdxxf )()( 
 
La función f(x) se llama función integrando. El nombre de integral indefinida se debe a 
que el resultado no es único, ya que no define una sola función, sino infinitas funciones 
que dependen del valor que tiene la constante C. 
 
PROPIEDADES 
 
1) La diferencial de una integral indefinida, es igual al producto de la función inte-
grando por la diferencial de la variable. 
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  dxxfdxxfd )()( 
 
Demostración: 
 
Sabemos que   )()(')()( xfxFCxFdxxf , 
 Hallamos la diferencial a cada miembro de la igualdad    CxFddxxfd )()( 
Por propiedad de diferenciales    0)()()()(
' dxxFdxxfddCxdFdxxfd 
Como F‘(x) = f(x) resulta   dxxfdxxf )()( 
 
2) La derivada de una integral es igual a la función integrando 
  )()( xfdxxfD 
Demostración: 
 
Sea   )()(')()( xfxFCxFdxxf derivamos cada miembro de la igualdad 
    )()(0)(')()( xfdxxfDxFCxFDdxxfD 
 
3) La integral del producto de un número por una función es igual al número por la 
integral de la función. 
  dxxfkdxxfk )()( 
 
Demostración: 
 
Derivamos el primer miembro de la igualdad   )()( xfkdxxfkD (A) por la propiedad 
(2) 
Derivamos el segundo miembro de la igualdad     )()()( xfkdxxfDkdxxfkD (B) 
Observamos que las expresiones (A) y (B) son iguales. 
 
4) La integral de la suma algebraica de dos o más funciones, es la suma algebraica 
de sus respectivas integrales. 
     dxxhdxxgdxxfdxxhxgxf )()()()()()( 
 
Demostración: 
 
Derivamos el primer miembro de la igualdad 
     )()()()()()()()()()( AxhxgxfxhxgxfdxxhxgxfD 
Hacemos lo mismo con el segundo miembro de la igualdad 
        )()()()()()()()()()( BxhxgxfdxxhDdxxgDdxxfDdxxhdxxgdxxfD
 Luego (A) = (B) 
 
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 
 
INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN: 
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Este método permite resolver la integral que no es inmediata, cuando se puede descom-
poner el integrando en suma de funciones que se integran de inmediato. 
 
Ejemplo: 
    





Cxtgarcxdx
x
dx
x
x
dx
x
x
31ln
1
3
1
2
1
32 2
222
 
 
 
INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIÓN: 
 
Consiste en sustituir una combinación de la variable independiente x, por otra variable t 
que facilite el cálculo. 
Sea la integral  dxxf )( que no puede resolverse en forma inmediata, pero existen 
funciones primitivas y hacemos )()( tcontx  continua y tiene inversa, por lo tanto 
dttdx )(' . Luego la integral dada en x se transforma en la integral de variable t, donde: 










dxx
dtttf )()( ' tiene integración inmediata. 
 Una vez obtenido el resultado en t, se reemplaza por su expresión en x para obte-
ner el resultado dado por  dxxf )( 
 
Ejemplo: 
  2
23
3
2
3
31
1
3
x
dt
dxdespejandodxxdtxtllamodx
x
x
 
 
Reemplazando      CxCtdt
tt
dt
x
dt
t
x
1lnln
1
3
3
3
2
2
 
 
INTEGRACIÓN POR PARTES: 
 
 Es una técnica para transformar una integral a formas más sencillas que la dada origi-
nalmente y así poder resolverla. Su fundamentación se basa en el cálculo de la diferencial 
de un producto de dos funciones: 
 
d (u.v) = u = u (x)  v= v (x) 
Es igual a:     dxuvvudxvuDvud '')(  
Si tenemos en cuenta que:
dxvdvxvv
dxuduxuu
'
'
)(
)(


 
Reemplazando convenientemente resultará:   dvuduvvud  
Y realizando pasajes de términos:   duvvuddvu  
Si a continuación se integran ambos miembros y se aplican propiedades de la integral in-
definida, tendremos:      duvvuduvvuddvu 
Entonces:    duvvudvu que resulta la fórmula a utilizar. 
 
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Para aplicar el método, aparentemente deben existir dos funciones. Cuando se deba inte-
grar el producto de dos funciones, generalmente es mejor elegir la forma más complicada 
como parte de dv. 
 
Ejemplo:  dxex
x en primer término vamos a elegir 
 

xxx edxevdxedv
dxduxu
 
Reemplazando en la fórmula encontrada tenemos: 
   Ceexdxeexdxex
xxxxx 
 
La constante de integración C, recién fue colocada al finalizar con las integraciones y no 
en el cálculo de las integraciones intermedias ya que de hacerlo, se llega al mismo resul-
tado. 
 
Trataremos de resolver el ejercicio, con otra elección 
  

2
2x
dxxdvvdxxdv
dxedueu xx
 
De donde resulta:   

 dxex
xe
dxe
xx
edxxe x
x
xxx 2
222
2
1
222
 en la que se puede ver 
que la integral que se obtiene en más complicada que la anterior y esto nos indica que la 
elección realizada nos es la más apropiada. 
 
 
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES (por descomposición en fracciones 
simples) 
 
Sea una función 
)(
)(
xQ
xP
y  con P(x) y Q(x) polinomios de “x“, por lo tanto 
m
m
n
n
xbxbxbxbb
xaxaxaxaa
xQ
xP
y





3
3
2
210
3
3
2
210
)(
)(
 denominaremos fracción racional. 
 
Teniendo en cuenta el grado de ambos polinomios, resulta que: 
 n ≥ m la funciónes fraccionaria impropia. 
 n < m la función es fraccionaria propia. 
 
Los métodos que trabajaremos estarán referidos a funciones fraccionarias propias, en 
caso de serlo, se podrá convertir por medio de la operación algebraica de división de poli-
nomios. Como el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del denomi-
nador, al efectuar el cociente se obtiene un polinomio C (x) y un polinomio resto R (x), o 
sea: 
)(
)(
)(
)(
xR
xC
xQ
xP
 
 El grado de R(x) debe ser menor que el de Q(x), de no ser así, la división esta in-
completa y se debe seguir hasta obtenerlo. 
 
 De acuerdo a la definición de división resulta que: P (x) = Q (x) . C (x) + R (x) 
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Dividiendo ambos miembros por Q (x) : 
 
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)(
)()()(
)(
)(
xQ
xR
xC
xQ
xR
xQ
xCxQ
xQ
xRxCxQ
xQ
xP




 
convirtiéndose la fracción impropia 
)(
)(
xQ
xP
 en la suma de un polinomio C(x) y una función 
fraccionaria propia, donde el grado del numerador en menor que el del denominador, por 
lo tanto: 
   dxxQ
xR
dxxCdx
xQ
xP
)(
)(
)(
)(
)(
, donde C(x) se podrá resolver por el método de integración 
por descomposición, quedando por resolver la integral  dxxQ
xR
)(
)(
 que es una función ra-
cional propia. 
 
 Los casos que estudiaremos serán aquellas funciones racionales propias y que di-
fieren en las raíces que tiene el polinomio del denominador: 
I. raíces del denominador reales o ceros simples 
II. raíces del denominador múltiples 
 
I – Raíces reales simples o ceros simples 
 
Sea el polinomio de grado m, por lo tanto tendrá “m“raíces y si son simples serán 
todas distintas, luego tendremos: x1 ≠ x2 ≠ x3 ≠ ... ≠ xm ; y aplicando la descomposición del 
polinomio en factores binomiales, resultará : 
Q(x) = bm .(x – x1) . (x – x2) ... (x – xm) 
 
Si consideramos a bm = 1,es decir, el coeficiente del término de mayor grado de 
Q(x) es igual a la unidad, nos quedaría: 
 
      )()(
)(
)( 1211 xQbxQxxxxxx
b
xQ
xQ mm
m
  
 
obteniéndose un nuevo polinomio Q1(x) cuyas raíces son iguales a las de Q(x), luego la 
integral nos queda: 
  
 dx
xQ
xP
b
dx
xQb
xP
dx
xQ
xP
mm )(
)(1
)(
)(
)(
)(
 
 
Al hacer bm = 1 podemos hacer la descomposición de la función fraccionaria en una 
suma de fracciones simples, con A; B; C; y M constantes, cuyo valor debemos encontrar: 
 
             mm xx
M
xx
C
xx
B
xx
A
xxxxxx
xP
xQ
xP









 
 32121
)(
)(
)(
 (*) 
 
luego: 
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           
 
dx
xx
M
dx
xx
C
dx
xx
B
dx
xx
A
dx
xxxxxx
xP
dx
xQ
xP
m
m












  32121
)(
)(
)(
 
 
Si en la expresión anterior (*), realizamos el pasaje del Q(x) al otro miembro y luego 
reemplazando por su igual, nos queda: 
 
       
   
 
   
 
             121312
1
1
1
321
)(
:
)()()()(
)(




















mmm
m
mm
m
xxxxxxMxxxxxxBxxxxAxP
ndosimplifica
xx
xxxxM
xx
xxxxA
xx
xQM
xx
xQC
xx
xQB
xx
xQA
xP





 
Para calcular el valor A damos valores a x de tal manera que anule B, C ..... y M. 
Repitiendo el procedimiento se llega a encontrar los demás valores. 
 
Ejemplo: 
 
  
   
   
   
  
   3214
2365
23
32
2365
14
)(
)(
2365)(14)(
65
14
2
2
2
2

















xBxAx
xxxxcomo
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
xQ
xP
luegoxxxxxQyxxPcon
dx
xx
x
 
 
Para encontrar el valor de A , damos el valor de x = 3 , que me anula el sumando 
correspondiente a B. 
 
Luego si x = 3 tendremos 4 . 3 + 1 = A (3 - 2) + B ( 3 – 3) , entonces A = 13 
 
Igual procedimiento para encontrar B, luego: x = 2 reemplazando 4. 2 + 1 = B (2 – 3 
) 
 luego 9 = - B quedando B = - 9 
 
Volviendo a la integral del ejercicio: 
 
       
Cxx
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
B
dx
x
A
dx
xx
x

















      
2ln93ln13
2
1
9
3
1
13
2
9
3
13
2365
14
2
 
 
 
Raíces reales múltiples o combinación de reales múltiples y simples: 
 
Consideramos al polinomio Q(x) de grado m y que sus raíces sean: 
 
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 x1 múltiple h veces 
 x2 múltiple k veces 
 x3 múltiple s veces 
 
y además bm = 1, quedándonos el polinomio de la siguiente forma: 
 
Q(x) = (x – x1)
h . (x – x2)
k . (x – x3)
s 
 
Haciendo la descomposición se tiene: 
 
       
       
       

































3
1
2
3
2
1
3
1
3
0
2
1
2
3
2
1
2
1
2
0
1
1
2
1
2
1
1
1
1
0
)(
)(
xx
C
xx
C
xx
C
xx
C
xx
B
xx
B
xx
B
xx
B
xx
A
xx
A
xx
A
xx
A
xQ
xP
s
sss
k
kkk
h
hhh



 
 
Luego: 
       
       
       




































dx
xx
C
dx
xx
C
dx
xx
C
dx
xx
C
dx
xx
B
dx
xx
B
dx
xx
B
dx
xx
B
dx
xx
A
dx
xx
A
dx
xx
A
dx
xx
A
dx
xQ
xP
s
sss
k
kkk
h
hhh
3
1
2
3
2
1
3
1
3
0
2
1
2
3
2
1
2
1
2
0
1
1
2
1
2
1
1
1
1
0
)(
)(



 
 
Se procede de igual manera que el caso anterior, llegando a un sistema de ecua-
ciones (m) con la misma cantidad de incógnitas, que se puede resolver, obteniéndose así 
los coeficientes. 
 
Ejemplo: 
 
   



dx
xx
xx
21
263
2
2
 
 
 Observamos que el denominador de la función fraccionaria ya se encuentra expre-
sado con las raíces del polinomio, donde las raíces x1 = x2 = 1 (raíz múltiple dos veces) y 
x3 = 2 ( raíz simple ). 
 
 Teniendo en cuenta esto, podemos hacer la descomposición siguiente: 
 
         21121
263 1
2
0
2
2








x
B
x
A
x
A
xx
xx
 
 
 Haciendo pasajes de términos y multiplicando se tiene: 
 
      210
2 1212263  xBxxAxAxx 
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Resolviendo el segundo miembro y sacando factores comunes de los distintos gra-
dos se tendrá: 
 
     










222
623
3
:tan
2223
2232263
10
10
1
10011
2
2
11
2
10
2
BAA
BAA
BA
tolopor
BAAABAxBAx
BBxBxAxAxAAxAxx x
 
 
lo que resulta un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:A0 ; A1 y B que podemos 
resolver por cualquiera de los métodos conocidos, por ejemplo, por determinantes: 
 
    1761624
122
231
110


 
 
    1151461261249
122
236
113
0  A 
 
    11514312212
122
261
130
1 

 A 
 
    22018218612
222
631
310


 B 
Luego: 
 
2
1
2
;1
1
1
;1
1
1 1
1
0
0 


















B
B
A
A
A
A 
 
 Encontrados los valores de los coeficientes estamos en condiciones de integrar: 
 
                    


















dx
x
dx
x
dx
x
dx
xxx
dx
xx
xx
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
21
263
222
2
 
 
y las calculamos por separado: 
 
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 
   











1
11
11
1
1
1
1
1
2
22
2
xu
u
duu
u
du
dx
x
dxduxusi
nsustituciódemétodoelaplicandoresuelvelasedx
x
 
 
las otras integrales son inmediatas y se las resuelven usando las tablas de integración, 
por lo tanto: 
 
   
    Cxx
x
Cxx
x
dx
xx
xx








2
2
2
21ln
1
1
2ln21ln
1
1
21
263
 
 
 
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
1. Integración de Potencias impares de la Función Seno y Coseno: 
 
 Son de la forma  dxx
ncos donde el exponente Nn , en nuestro caso n = 2k + 1 
Nk 
Donde dando valores a k, obtendremos todos los números impares: 
 
71323
51222
31121



nk
nk
nk
 
 
entonces: 
 
       dxxxsendxxxdxx 2cos1coscoscos
223 
 
si hacemos 
     CxsenxsenCuuduudxxdxxduxsenu
3323
3
1
3
1
1coscos 
 
 
Sea la integral de la forma  dxxxsen
nm cos , en donde 00  nym son natura-
les y m ó n es impar. 
 
a) Si la potencia del coseno es impar, se aparta un factor de coseno y se emplea 
cos2 x = 1-sen2 x para expresar los factores restantes en términos del seno: 
 
 
 
 

 
dxxxsenxsen
dxxxxsendxxxsendxxxsen
km
kmkmnm
cos1
coscoscoscos
2
212
 
 
A continuación se sustituye u = sen x 
 
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b) Si la potencia del seno es impar, se aparta un factor de seno y se usa sen2 x 
= 1 – cos2 x para expresar los factores restantes en términos del coseno: 
 
      
 dxxsenxxdxxsenxxsendxxxsen n
kknk coscos1coscos 2212 
 
Luego, se reemplaza u = cos x 
 
Ejemplo: 
     
 
   








CxxxC
uuu
duuuu
duuudxxsenxxdxxsenxxsendxxxsen
753
753
642
2222222425
cos
7
1
cos
5
2
cos
3
1
75
2
3
2
1coscos1coscos
 
 
 
Si las potencias del seno y del coseno son pares a la vez, aplicamos las identidades 
de mitad de ángulo:    xxxxsen 2cos1
2
1
cos;2cos1
2
1 22  . 
A veces es útil emplear la identidad xsenxxsen 2
2
1
cos  
 
 
 
2. Integración de Potencias de la Función Tangente y Cosecante: 
 
 De la forma   dxxx
nm sectan 
 
a) Si la potencia de la secante es par (n = 2k), se separa un factor de sec2 x y se usa 
sec2 x = 1+ tan2 x a fin de expresar los factores restantes en términos de tan x: 
    

 xdxxxdxxxxdxxx
kmkmkm 2122122 sectan1tansecsectansectan a continua-
ción, se sustituye u = tan x. 
 
b) Si la potencia de la tangente es impar ( m = 2k + 1), se aparta un factor de sec x . 
tan x y se emplea tan2 x = sec2 x – 1 para expresar los factores restantes en términos 
de sec x: 
    
  xdxxxxxdxxxxdxxx n
knknk tansecsec1sectansecsectansectan 121212 
luego se reemplaza u = sec x. 
 
Ejemplo: 
 
   
 
   


CxxC
uu
duuu
duuuxdxxxxdxxxxdxx
97
97
86
2622622646
tan
9
1
tan
7
1
97
1sectan1tansecsectansectan
 
 
 
 
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 Para evaluar las integrales de la forma: 



nxdxmxc
nxdxsenmxsenb
nxdxmxsena
coscos)
)
cos)
 
 
se emplean las identidades correspondientes: 
    
    
    BABABAc
BABAsenBsenAb
BAsenBAsenBsenAa



coscos
2
1coscos)
coscos
2
1)
2
1cos)
 
 
Ejemplo: 
       





 Cxxdxxsenxsenxdxsenxsenxdxxsen 9cos
9
1
cos
2
1
9
2
1
9
2
1
5cos4 
 
INTEGRAL DEFINIDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al tratar de resolver el área del rectángulo o del triángulo, se contesta con facilidad 
pues las regiones están limitadas por lados rectos, como el producto de la longitud por el 
ancho o como la mitad de la base por la altura, y en el caso del polígono se calcula divi-
diendo en triángulos y sumando las áreas de los triángulos. 
 
 Pero cuando una región está limitada por curvas ya no es tan sencillo, pues las 
fórmulas ya no sirven de mucho y se puede tener una idea aproximada del área de esa 
región, pero parte del problema es precisar esa apreciación mediante una definición exac-
ta. 
 
Un camino es realizar particiones en el intervalo considerado, que genera rectángu-
los cuyas áreas se puede calcular más fácilmente. A medida que las particiones tienden a 
infinito nos aproximaremos cada vez más al área de la región solicitada. 
 
 
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Para calcular este tipo de áreas surge la integral definida, indicándose 
a
b
dxxf )( 
 donde: 
 a y b son los extremos superior e inferior de integración. 
  ba, intervalo de integración 
 función integrando 
 
 
 
 
Definición 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teniendo en cuenta los siguientes considerandos: 
 
 f(x) función continua en  ba, 
 sea una partición en  ba, 
 amplitud de cada subintervalo nxxx  ,,, 21  
 sea nn IxIxIx  ;;; 2211  
 la función f(x) se hace corresponder en cada punto, luego se tiene 
)()( 1 nxfxf  
 
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Luego se halla el área de cada rectángulo que resultó de la partición, ya sea por exceso o 
por defecto, teniéndose: 
 
      nnn xxfSxxfSxxfS  ;;; 222111  
 
 Para encontrar el área total, efectuamos la suma de las áreas parciales. 
 
        NiconxxfxxfxxfxxfS
n
i
iinn  
1
2211  
 
 Aplicamos límite a la sumatoria cuando el incrementotiende a cero, y la partición 
tiende a infinito. 
 
    


b
a
n
i
ii
x
dxxfxxflím
i 1
0 
 
 
Suma inferior y superior 
 
 
 
 
Suma inferior: de la función f(x) en  ba, en la partición P es la suma de los pro-
ductos que se obtienen multiplicando el ínfimo de f(x) en cada subintervalo por la ampli-
tud. 
     
 
 
n
k
n
k
kkkkkp xmxxmfS
1 1
1 
 
 Suma superior: de la función en  ba, en la partición P es la suma de los pro-
ductos que se obtienen multiplicando el supremo de f(x) en cada subintevalo de P por la 
amplitud. 
    
 
 
n
k
n
k
kkkkkp xMxxMfS
1 1
1 
 
 
Teorema del valor medio del cálculo integral: (para funciones continuas) 
 
Sea: 
 
 f(x) una función continua, acotada y 
definida en el  ba, 
 Ik subintevalo  en la partición 
 1 kkk xxx la amplitud 
 mk = ínfimo de f(x) 
 Mk = supremo de f(x) 
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Hip.)    bacbaencontinuaxf ,;,)(  / 
Tesis) 

b
a
dxxf
ab
cf )(
1
)( 
 
Demostración: la función f(x) por ser continua en el intervalo  ba, , tiene máximo y 
mínimo absolutos. Sean m y M dichos extremos. Además por ser continua es integrable, 
por lo tanto 
 
 
     
 
   
 
   
 
   
 
  



















b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
dxxf
ab
cfkcfbacluego
badexfenMkmnúmerounesdxxf
ab
kllamamossi
Mdxxf
ab
m
ab
abM
dxxf
abab
abm
puedopositivoesabcomoabMdxxfabm
)(
1
)()(/,
,,)(/)(
1
)(
1
)(
1
)(
 
 
Regla de Barrow 
 
Hip:) f(x) continua en  ba, y G(x) es una primitiva de f(x) 
Tesis)     
b
a
aGbGdxxf )( 
 
Demostración: G(x) es una primitiva de f(x) )()(: ' xfxGx  
Si F(x) es una función integral 










b
a
a
a
dxxfbF
dxxfaF
)()(
0)()(
 
Además   )()(:, ' xfxFbax  
 
teconsunaendifierenxGyxFseaokxGxFRk
xfxF
xfxG
si tan)()()()(/
)()(
)()(
'
'







 
  

b
a
b
a
b
a
k
xGaGbGdxxfaGbGkbGdxxfbFbxsi
aGkkaGaFaxsi
)()()()()()()()()(
)(0)()(
 
 
APLICACIONES GEOMÉTRICAS 
 
 área comprendida entre la gráfica de una función, el eje de abscisas y recta x1 
= a y x2 = b 
 área de una región comprendida entre dos curvas correspondientes a las grá-
ficas de dos funciones. 
 
 
Cálculo de la longitud de un arco de curva 
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 Sea la poligonal de n lados inscripta, en el arco ABC...M.Por los vértices trazamos 
segmentos perpendiculares al eje de las abscisas, tal que el intervalo  ba, queda dividi-
do en n subintervalos de amplitud ix con Ni . 
 
Consideramos un lado cualquiera de la poligonal, por ejemplo el lado BC cuya longitud la 
indicaremos como li. Este lado a su vez es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos 
catetos son ∆xi ∆yi 
 
 
Por el teorema de Pitágoras     )(22 Ayxl iii  ; pero iii xxfy  )(
' por el teo-
rema del Valor Medio 








ab
afbf
cf
)()(
)(' con  1,  iii xxx , luego tendremos 
    2'2 iii xxfy  y reemplazando en (A) se obtiene: 
                 
   poligonalladeladoundelongitudxfx
xfxxxfxxxfxl
ii
iiiiiiiii
2'
2'222'22'2
1
1


 
 
La longitud total de la poligonal está dada por: 
  


n
i
iit xfxl
1
2'1 
 
 
y la longitud del arco será : 
  
  







b
a
n
i
ii
x
n
i
ii
x
xxflímdxxf
querecordemosxfxlímL
i
i
1
0
1
2'
0
)(
1
 
 
   dxxfL
b
a 
2'1 
 
 
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Volumen de un cuerpo de revolución 
 
 Se hace girar alrededor del eje E, cada uno de los segmentos y arcos, obteniéndo-
se: 
 AB genera la superficie lateral de un cono, mientras que el triángulo rayado da lu-
gar al cuerpo cono. 
 CD origina la superficie lateral de un cilindro, y el rectángulo rayado el cuerpo ci-
líndrico. 
 EF superficie lateral de un tronco de cono y el trapecio genera el cuerpo tronco de 
cono. 
 La semicircunferencia de radio ON da lugar a la superficie esférica de diámetro 
MN y el semicírculo genera el cuerpo esfera. 
 
Determinación de los volúmenes mediante integrales 
 
 El arco de curva de la figura es parte de la función continua f(x). Se proyecta sobre 
el eje de las abscisas originando el intervalo  ba, . Se quiere obtener el volumen gene-
rado de la zona limitada por la curva, el eje x y las rectas x = a y x = b, cuando gira alre-
dedor del eje x. 
 
 Para ello el intervalo  ba, se divide en n subintervalos de amplitud nnx  ,,1  
 
 
Consideramos un subintevalo  1, ii xx de amplitud ix , y sea xi  1,  ii xx . Por xi se 
traza una perpendicular al eje x que intercepta a la curva en el punto P. Por este punto P 
se traza una paralela el eje de las abscisas y se obtiene un rectángulo de base ix y de 
altura f(xi). Al girar el rectángulo genera un cilindro de altura ix y de radio de la base f(xi). 
 
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Recordando que el volumen de un cilindro es  

h
i
r
ii xxfv 










2
2
 valor que se repite 
a todos los subintervalos, y se tiene: 
      
 

n
i
n
i
iiiit xxfxxfv
1 1
22
 
 
Esta suma de los n volúmenes se aproxima al volumen del cuerpo de revolución 
originado por la figura rayada,  nxsi i 0 , se llega a que: 
 
          
 

b
a
n
i
n
i
ii
x
ii
x
dxxfxxflímxxflímV
ii
2
1 1
2
0
2
0
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA: 
 
 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO (Cálculo 2) – Hebe T: Rabuffetti - 
Editorial: El Ateneo – Ed. 1992 
 CÁLCULO DE UNA VARIABLE, Trascendentes tempranas – Stewart – Editorial: 
Thomson – Ed. 1998 
 INTEGRALES INDEFINIDAS – Prof. Ing. Raúl J. Binaghi – UTN – Regional Resis-
tencia 
 MANUAL DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 2° parte - Celina Repetto - Editorial 
Macchi – Ed. 2001 
 
UNIDAD Nº 2: ESPACIO MÉTRICO 
 
 Distancia: definición. Entorno y Entorno reducido. Intervalos. Clasificación de puntos: 
punto de acumulación, punto interior, punto aislado, punto exterior, punto frontera. 
Conjunto: acotado, convexo, cerrado, abierto, denso en sí. 
 
 Funciones de varias variables independientes. Representación gráfica. Curvas y su-
perficies de nivel. 
 
ESPACIO VECTORIAL 
 
Designaremos como: 
 V = conjuntode los vectores 
 K = cuerpo cuyos elementos llamaremos escalares 
 
Definiremos dos operaciones: 
 SUMA: operación interna y cerrada VVV  *: 
 PRODUCTO: operación externa y cerrada VKK  *: 
 
Propiedades de la Suma 
 
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   
wvwvVwVvS
vvvVvS
vvvvVvvS
vvvvvvVvvvS








0:;:
00:/0:
:,:
:,,:
4
3
1221212
3213213211
 
 
Propiedades del producto 
 
 
 
      KkykconvkkvkkvkkP
VvvvP
VvKkkconvkvkvkkP
VvvKkconvkvkvvkP
vectorvector




211221214
3
2121212
2121211
:
1:
,:
,:







 
 
 
 
 
svectorialeEspacios
RR
RR
KV
nn 







;;;
;;;
;;;
 
 
Si  n
n xxxxRx ,,,, 321  es un punto en el espacio de R
n o un vector x

 
 
Norma de un vector 
 
Sea, en un espacio vectorial, una función definida: 2: xxRxdadoRV n   
 
 Propiedades: 
 
00
00:
:
:
3
2
1



xxsi
xxsiN
xkxkN
yxyxN




 
 
 
Distancia 
 
Definición: La función real no negativa d: E x ER / d(a,b) = ba  es una dis-
tancia en el conjunto E si y sólo si verifica las siguientes propiedades: 
 
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  
   
    
      cbdbadcadCcBbAacba
abdbadBbAaba
babadBbAaba
badBbEaba
,,,;:)4
,,:)3
0,:)2
0,:)1




 
 
Probaremos la propiedad 4: 
 
Por definición de distancia   cacad , , a esta expresión le sumo y resto b 
          cbdbadcbbacbbabbca
defporNpor
ementeconvenient
asocio
,,
.1
 
 
Definimos distancia en Rn ,llamada distancia euclídea,a la función RRR nn  , dada por 
lo siguiente: 
         
   nn
n
i
iinn
nn
bbbbyaaaadonde
bababababadRbRa
,,,,,,
,:
2121
2
1
1
222
22
2
11













 

 
 
 
 
 
Entorno y entorno reducido 
 
 Recordemos el concepto de entorno en R: R 
 
    0/,  rraxRxxraE  o sea, entorno de centro a y radio r, es el intervalo 
abierto 
( a – r ; a + r ) 
 
En R2 , dados  21,aaa 

 y radio r, es el conjunto de puntos  yxx ,

 interiores al 
círculo de centro  21,aaa 

 y radio r. 
 
En símbolos:     raxdxraE 

,/,  
 
Si n = 2    2121 ,;, bbbaaatienese 

 
     222211, bababad 

 
 
En este caso ( R
2
 , d ) es el espacio métrico euclídeo de dos 
dimensiones, y cada uno de los elementos del espacio, que es 
un par ordenado de números reales. 
     222211, bababad 

 es la fórmula geométrica 
que da la distancia entre dos puntos por aplicación del teore-
ma de Pitágoras 
 
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b2 
 
a2 
 
Como la distancia euclídea es      22
2
1, ayaxaxxad 

, donde 
 21,aaa 

 y  yxx ,

. 
 
Luego:              rayaxyxraaEóraxxraE  222121 /,,,/,  
 
La definición de entorno se extiende sin dificultad a R3 , Rn, donde está representa-
do por el conjunto de los puntos interiores a una esfera. 
 
Si el centro no pertenece al entorno, tenemos la definición de entorno reducido. 
Recordemos la definición en R : 
 
         araEraEsignificaqueloraxRxxraE  ,,0/, ''  
 
En R2 : 
       
         rayaxyxraaE
araEraxRxxraE






2
2
2
121
'
2'
0/,,,
,0/,


 
 con  21,aaa 

 y  yxx ,

 
 
Intervalos 
 
 
 En Rn, se tiene:     baconbbbbbyaaaaa nn





 ,,,,,,,, 321321 . Además, 
   nkk xxxxybankNk ,,,1: 21 

  
   
   nksibxaxbacerradoIntervalo
nksibxaxbaabiertoIntervalo
kkk
kkk


1/,
1/,



 
 
 En particular en R2 para  21,aaa 

 ;   221121, babaconbbb 

 es 
 
    2211/,, byabxayxba 

 
  ba

,  ba

, 
 
La primera gráfica corresponde a un intervalo abierto (interior 
del rectángulo) y la segunda a un intervalo cerrado (incluye los 
lados). Se designa con extremos en el vértice inferior izquierdo 
y en el vértice superior derecho. 
a1 
b1 
a1 
b1 
b2 
 
a2 
a

 
b

 
a

 
b

 
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    2211/,, byabxayxba 

 
 
 En R3, el intervalo corresponde a un paralelepípedo, incluyendo o no las caras, se-
gún se trate de in intervalo abierto o cerrado 
 
Conjunto acotado 
 
 Dado un conjunto 
 
0,:/cot  xxdondekxCxxRkadoaestáRC n



22
3
2
2
2
1 nxxxx   
 
 Un conjunto está acotado en   krconrEenincluirsepuedeRn  ,0 
 
Ejemplo: 
 
 
 
Conjunto convexo 
 
 
Dado un conjunto X, un subconjunto de Rn, se dice convexo, si para todo par de 
puntos 
( x, y ) X , el segmento de extremos  yx, está contenido en X   Xyx  , 
 
 Vamos a probar que toda esfera (abierta o cerrada), es un conjunto convexo. 
 
 
 
2 
2 4 
Sea un   1;2,2E 
 
Se trata de un conjunto acotado, incluido en el en-
torno de centro en el origen de coordenadas y ra-
dio = 4 
X 
   
   
   
esferalaenestáqueademásyxysegmentoalpertenece
quepuntounconsideroelloparaydemostrararaByxSea
esferaladepuntosserpor
rayraxraByxpuntosdeparelconsidero
raxRxraB n
,,
.
,,
:,



 
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      1,01,  tcontyxtzyxz 
 
 Si es punto de la esfera se tiene: 
 
 
            
            
     
     raByxraBzraz
rtrrtaytaxtpositivossony
entreestánquenúmerossontytdondeaytaxtaytaxt
aytaxttaatacontaattyxtatyxtaz
,,,
111,0
111
11111




 
 
 
CLASIFICACIÓN DE PUNTOS 
 
 
Punto de acumulación: Sea  n
n aaaaRC ,,,, 21 

 puede pertenecer o no a C; a

 es 
punto de acumulación de C a todo entorno reducido de centro a

, pertenece por lo 
menos un punto del conjunto C. 
 
En símbolos: a

 punto de acumulación de C 
  ,:;0 ' aECxCx

  
 
El conjunto formado por todos los puntos de acumulación del conjunto C’, es el 
conjunto derivado C’. 
 
Un conjunto es cerrado si y sólo si le pertenecen todos sus puntos de acumula-
ción. CCcerradoesC  ' 
 
Punto interior: Dado un conjunto 
    CaEaECconjuntoalerioresCaRC n 

/int, 
 
 Ci es el conjunto de todos los puntos interiores de C. 
 Un conjunto es abierto CCi  
Punto aislado: Dado un conjunto 
 
     CaEaECconjuntoalaisladoesCaRC n
 '' /, Ø 
 
Punto exterior: Sea un conjunto      CaEaECaexterioresCaRC n

/, Ø 
 
Punto frontera: Sea un conjunto CafronteraesCaRC n 

, si y sólo si no es interior ni 
exterior al mismo.. Por lo tanto en todo entorno de un punto frontera hay puntos que per-
tenecen al conjunto y también puntos que no pertenecen. 
 
 
FUNCIÓN DE DOS VARIABLES 
 
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    ayRaxRyxayxADfunciónesBAR R  ,,: , expresión que 
nos indica la existencia y unicidad, ya que todo elemento del primer conjunto debe tener 
una única imagen. 
 
 RBRAquecasoelosEstudiarem n  
 Si n = 1 se tienen las funciones escalares 
 Si n = 2 RAfRAtienese  :2 es una función de dos variables, donde su 
dominio por estar incluido en R2, puede representarse en el plano y la función se repre-
senta en el espacio (tres dimensiones). 
 Notación:   Rzdondeyxfz  , y es la imagen del par ordenado ( x, y ) 
 Gráfico de la función:     yxfzzyxf ,/,,  
 
 
Curvas de nivel 
 
 Para representar las superficies asociadas a funciones de dos variables, general-
mente en complicado, por ello se recurren a curvas planas llamadas curvas de nivel. 
 
 Sea z = f(x,y) y consideramos f(x,y) = c, esta ecuación corresponde a los puntos de 
la superficie que se obtiene de seccionar con el plano z = c, paralelo al plano coordenado 
z = 0, o sea, determinado por los ejes x e y. para distintos valores de c, se tiene una fami-
lia de curvas de nivel. 
 
Ejemplo:     22,/, yxyxfyxfz  
 
 
 La representación geométrica en el espacio tridimensional es un paraboloide circu-
lar con vértice el origen de coordenadas. Las curvas de nivel se obtienen dándole a la 
función valores positivos, dando origen a circunferencias concéntricas: 
 
777
244
111
22
22
22
radioconyxc
radioconyxc
radioconyxc



 
 
 
Superficie de nivel: Dado un espacio escalar de tres variables, u = f(x,y,z), una superfi-
cie de nivel C es el conjunto de puntos (x,y,z) para los cuales f(x,y,z) = c 
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Ejemplo:   222,, zyxzyxf  Las superficies de nivel son superficies esféricas centra-
das en el origen. 
 
 
BIBLIOGRAFÍA: 
 
 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO (Cálculo 2) – Hebe T: Rabuffetti - 
Editorial: El Ateneo – Ed. 1992 
 MANUAL DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 2° parte - Celina Repetto - Editorial Macchi 
– Ed. 2001 
 Apuntes Análisis I – Lic. Rubén Cerutti – Fac. de Ciencias Exactas - UNNE 
 
 
 
UNIDAD Nº 3: LÍMITES DOBLE Y SUCESIVOS 
 
Concepto y definición de límites dobles. Límites de una función de dos variables, repre-
sentación gráfica e interpretación geométrica. Unicidad del límite doble. 
 
Límites iterados: definición. Relación entre límite doble y límite iterado. 
 
Continuidad: Definición de una función continua en un punto de su dominio. Continuidad 
en un recinto. 
________________________________________________________________________
__ 
 
LIMITE DOBLE (simultáneo) 
 
(Fig. 1) 
 
 
 
 
 (Fig. 2) 
 
 
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 
 
  cualquierapuntoRyxx
nacumulaciódepuntoyxa
RDiablesdosdefunciónunaRDyxffunciónunaDada
2
00
2
,
,
var:),(:





 
 
Definición: El número real l es el límite de la función f(x) en el punto de acumulación a

 
de su dominio, sí solo si , para cualquier número positivo  , existe un número positivo  , 
   , tal que, para todo punto (x,y), que pertenece simultáneamente al dominio de la 
función y al entorno reducido de centro a

 y radio  , el valor f(x,y) pertenece al entorno de 
centro l y radio prefijado  . 
 
En símbolos: 
   
   
  








lxfaxDxx
conlyxflím
f
yxyx



0:
/0;0,
00 ,, (Fig. 1) 
o bien: 
   
   
          



lyxfyyxxDyxyx
conlyxflím
f
yxyx



,0,:,
/0;0,
2
0
2
0
,, 00
 
 
La Fig. 2 nos muestra un entorno cualquiera de centro l y radio  , se puede en-
contrar un entorno reducido de centro a

 y radio  , tal que si 
        ,,,, ' lEyxfaEDyx f 

. 
En el espacio, esta idea indica que la porción de superficie corresponde a los valo-
res de la función para los puntos del entorno reducido encontrado, se halla ubicada entre 
los planos de ecuaciones   lzylz (Fig. 1) 
 
Ejemplo: Verificar el límite de la función aplicando la definición 
   
 
   
 
límiteelverificarpara
untomarbastaríacualloconluegoyxademás
yxyxabsolutovalordedefiniciónpor
yxtenemosBAsumando
yluegopormosmultiplicaB
xluegopormosmultiplicaA
yxprobara
Byyy
Axxxcomo
yxlím
yx
9
,
9
9145
914591459
194519)()(
444444)(
555555)(
145
)(1111
)(1111
145
1,1,






























 
 
 
UNICIDAD DEL LÍMITE DOBLE 
 
TEOREMA: si una función tiene límite doble en un punto, el límite es único. 
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 DEMOSTRACIÓN: 
 
 
       
212121
21212121
21
22222
11
111
212121
sup
3
2
3
2
33
)()()()()()(
cot)2()1(,min
)2(
3
)(0),;('/0,)(lim
).1(
3
)(0
),;('/0,0
3
)(lim
3
)(lim)(lim















queonerdesurgequeabsurdo
xfxfxfxfxfxf
andoaentoncesyverificaqueuntomosi
xfaxaExxfcomoademás
xfax
aExparaxffinicióndeporyauxiliarunConsidero
ocomoxfxfqueSuponemos
ax
ax
axax








 
 
 PROPIEDADES 
 
 
0),(
),(),(lim,),(lim),(lim)1
.int
.var
''









yxgqueencuentatenerdebesecocientedellímiteeldemostrarPara
yxgyxfDDyexistenyxgSeayxfSeaaxdenerpretaciólaenestádiferenciaúnicaLa
iableunadefuncionesdelímitedelosasimilaressondobleslímiteslosdeonesdemostraciLas
by
ax
gf
by
ax
by
ax

 
0),(lim0),(:),()3;),(lim),(lim)2 






yxfyxfyxyxfyxf
by
ax
by
ax
by
ax
 
 
GENERALIZANDO EL CONCEPTO DE LÍMITE 
 
 
 




















)(0:)(/0;0)(lim
)(0:)(/0;0)(lim
:log
),(),(
),()()(0),(:),(/0;0),(lim
00
2
0
2
0
xfaxDxxxf
xfaxDxxxf
inirpodemosdefamenteAná
yxayxxcon
yxfyyxxDyxyxyxf
f
ax
f
ax
ax
f
by
ax   
 
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LÍMITES SUCESIVOS 
 
Recordando el concepto de límite simple, asociando intuitivamente con la de límite 
doble, al buscar el límite simple vemos a que número tiende la función cuando X se apro-
xima por derecha o por izquierda al punto de acumulación elegido. 
 
Con esta idea, podemos elegir rectas paralelas a los ejes que pasen por el pto.( lí-
mites sucesivos), y rectas cualesquiera ( límites radiales). 
Esto es útil para probar que una función no tiene límite doble, pues si tiene límites 
radiales distintos entonces no puede tener límite doble. La unicidad del límite asegura que 
los valores de la función tienen que aproximarse al mismo número a lo largo de cualquier 
curva que pase por el punto. 
 
Calcular límites sucesivos significa fijar una de las variables y calcular el límite sim-
ple para la otra variable, definiendo así una función de una variable, calculando luego el 
límite simple. 
 
 
 
 
 
 
 Ejemplo: Calcular el límite de la siguiente función  


22
2
3
1
4 yxlím
y
x
 
Límite doble:  
4
3
4
9
144 22
2
3
1



yxlím
y
x
 
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y = x 
 
 
 
 
 
 
Y = -
x 
y = -x 
Limites sucesivos: 
 
 
   
4
3144:var)
4
31
4
7
4
7
4:var)
2
2
3
22
2
3
,1,
2
1
22
2
3
1


















ylímyxlímxiablelafijob
xlímyxlímyiablelafijoconsiderasea
yyx
x
y
x
 
 
 La desigualdad de los límites sucesivos asegura la no existencia del límite 
doble, pero su igualdad no informa sobre la existencia del límite doble. 
 
TEOREMA 1: 
 
   
   
 
  
21
21
,,
2
)
,
,;sup,;:)







llTesis
lyxflímlím
lyxflímerficialnacumulaciódepuntobaRAconRAfSeaHipotesis
axby
bayx
 
 
Demostración: 
 
Por definición de límite doble l tenemos:      fDyxyx ,:,/0;0   
        lyxfbyax  ,0 22 
aplicando la definición de valor absoluto:    ,,),(),( ' baEyxsilyxfl   
 
Si consideramos únicamente la variable x, por propiedades de límite simple se tie-
ne  

lyxflíml
ax
),( , pues por hipótesis existe  yxflím
ax
,

 . Además por hipótesis, 
también existe        

lyxflímlínlesyxflímlím
axbyaxby
,, . 
 
Luego:    ,,:0 '21 baEenlll   
O sea: llresultalylrealesnúmerosserporll   212121 ,:0   
 
Análogamente si 1212   lllyl . 
 
Consecuencia: Si f(x,y) es infinitésimo en (a,b) y 
 
     0,0, 1221  

llyxflímlímyxflím
axbyax
 
 
 En algunos casos conviene considerar límites radiales, para negar la existencia del 
límite doble. Los límites radiales son límites simples para restricciones de la función. 
 
 
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 
 
  0,0
0
0
02
,0
2
,
:
0
20
22









y
x
yxfysi
y
y
yxfxsi
yx
xy
yxffunciónlaDada
EJEMPLO
 
 
nos lleva a la conclusión que 
00
2
00
2
´
02200
02200
















yxy
xyx
lím
yx
xy
límlím
lím
yx
xy
límlím
 
 
Restringimos la función, por lo tanto hacemos y = x, quedando   1
2
2
,
2
2

 x
x
yxf
yx
, 
Si y = -x, tendremos -1, por último y = mx  
21
2
,
m
m
yxf
mxy 


, el límite depende de la 
pendiente, lo que indica que el límite doble no existe. 
 
CONTINUIDAD 
 
Sea 
       
        :,,,
:0,,,;;:,
22
2
desprendesedefiniciónladebafyxfbyax
baencontinuaesyxfnacumulaciódepuntobaRARAyxf






 
 
 
   
 
 
   
  tlyxflím
tbaf
lyxflím
bayx
bayx





,)3
,)2
,)1
,,
,,
 
 
BIBLIOGRAFÍA: 
 
 INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS MATEMÁTICO (Cálculo 2) – Hebe T: Rabuffetti - 
Editorial: El Ateneo – Ed. 1992 
 CÁLCULO DE UNA VARIABLE, Trascendentes tempranas – Stewart – Editorial: 
Thomson – Ed. 1998 
 INTEGRALES INDEFINIDAS – Prof. Ing. Raúl J. Binaghi – UTN – Regional Resis-
tencia 
 MANUAL DEL ANÁLISIS MATEMÁTICO 2° parte - Celina Repetto - Editorial 
Macchi – Ed. 2001 
 
 
 
 
 
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UNIDAD IV - DERIVADAS - 
 
Derivadas Parciales: definición. Representación gráfica e interpretación geométrica. Rela-
ción entre la derivabilidad y continuidad de una función en un punto. Teorema del Valor 
Medio. Derivadas sucesivas. Derivadas de orden superior. Diferenciabilidad. Definición y 
representación gráfica. Interpretación geométrica. Información que brinda una función si 
es diferenciable en un punto. Gradiente Plano tangente y recta normal a una superficie. 
Inter. Geométrica. 
________________________________________________________________________ 
 
DERIVADAS PARCIALES: (de funciones de dos variables) 
 
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223
32
0000
0000
0
0000
0000
0
00
000
2
3;22
2),(:
);(;);(:
);(
);();();(
lim
var);(:log
);(;);(:
;);(;:
);(
);();(
lim:
);(
);();(
),;(,:);(
yx
x
f
xy
x
f
xyxyxfEjemplo
yxfyx
y
f
representasenuméricovalorEl
yxf
y
yxf
y
yxfyyxf
yiableladerespectoyxfdeparcialderivadalaamenteAná
yxfyx
x
f
representasenuméricovalorEl
ZDyxfD
x
Z
formasotras
yxf
x
yxfyxf
al
yxenelpuntoxrespectode
yxfdeparcialderivadallamaremosyxscoordenadadePyRA
abiertoconjuntounsobreyxfzdefinidafunciónunaRAyxfSeay
y
y
x
xx
x
x
x


























 
Representación gráfica e interpretación geométrica 
 
 
);(
);(
:,
supsecint,
.sup);(
0
*
0
0
0
3
yxfzecuaciónlasoluciónpordaque
yy
yxfz
sistemaelsatisfaceecuacióncuyayCcurvalapordarepresentayy
planoelconSerficieladeciónerlaareducesegráficalayySi
RSerficielaesyxfZfunciónladeciónrepresentaLa









 
 
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________________________________________________________________________________________________
___ 
 
PROFESOR ADRIAN RUIZ 
tgyx
y
f
amenteAná 


);(:log 00 
 
 
zy
z
f
zx
y
f
xy
x
f
zyzyxzyxfEjemplo
x
xxxxfxxxxxf
x
f
xxxxfuiablesndeesfunciónlaSi
nn
x
n
22;22;4
22);;(:
);...;;();....;;(
lim
);........;;(;var
2
22
1
3213211
0
321

















 
 
TEOREMA DEL VALOR MEDIO 
 
 bacconcfabafbfesiableunaparaTeoremaelquecordemos
ccconkcbhafkbcafh
bafkbhafrbaEkbhaiodoaleriorbapunto
delentornounenfinitasparcialesderivadasconFunciónunaRAconRAfSea
yhx
;,)()()()(:varRe
.1010);();(
);();(),;();(,minint);(
,:
'
212
'
1
'
2




 
 
DEMOSTRACIÓN 
 
)(10,);();();(var
/var,
11
' acconbhcafhbafbhafiableuna
pteoremaelaplicarpodemosyxiableladeúnicamentedependefunciónlabyHaremos
x 

 
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___ 
 
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demostradoquedaqueloonckcbhafkbhcafhbafkbhaF
kcbhafkbhafkbhaf
bhcafhbafbhaf
quedabconaSumando
bcsi
kcbhafkkbhafluegoyiableladedependefunciónlahaxsi
yy
y
x
y
);();();();(
);();();(
);();();(
:)()(
)(10
);();(,var
2
'
1
'
2
'
1
'
2
2
'





 
 
 
Si se elige otra poligonal, se obtiene una tesis similar 
 
DERIVADAS PARCIALES SUCESIVAS 
 
Pueden definirse a partir de una función inicial de 2 o más variables 
nRAconRAf : , abierto, que admite en cada punto de A derivadas parciales, a 
cada una de ellas es posible aplicarle el proceso y obtener así, si existe, una derivada se-
gunda de la función que será notada: 
 
ntesucesivameasíy
xxx
f
tendremosyprocesoelnuevamenteaplicase
existesiluegoprimeroderivasexftambiéno
xx
f
x
f
ijk
ixx
ij
ji







3
2
2
2
,
,,;
 
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________________________________________________________________________________________________
___ 
 
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
)(
.............
..........
...........
...........
);(
22
8
4
2
2
2
2
2
2
2
yx
f
y
xy
f
derespectoigualdadaseguratodavíanada
y
f
y
f
y
f
yx
f
y
f
x
f
y
f
xy
f
x
f
y
f
x
f
x
f
x
f
x
f
yxf
parciales
derivadas
parcialesderivadas
parciales
derivadas








































































































  
 
 
El total de derivadas que se obtendrán = 2an (a = orden de deriv., n = nº de variables) 
 
Ejemplo: 
igualessonbyaquevemos
ba
yxx
y
f
x
yxy
yx
f
y
y
f
x
f
yxxyxx
y
f
yxy
x
f
yxyxyxf
)()(
)(541)(541
)84()42(
82
)2(42).2(2)2(2
)2();(
2
2
2
2
2





































 
 
 
 
TEOREMA DE SCHWARZ 
 
IES TACO POZO ANÁLISIS MATEMÁTICO II 
________________________________________________________________________________________________
___ 
 
PROFESOR ADRIAN RUIZ 
 
 
 
.
.);();();(
;);(,,
);(lim
);();(
lim
:0lim0dim
,);();();(
);();(
lim
);();();();(
lim
,00dim
);();();();();();(
);();()(
);();();();()()(:
);();()(
);();()(
,10)()()(
:var
;int)(
);();()(:;)(
,int);(
:
.),(),(),(minint),,(
,;;,,:
'''''''''
''''''
''''
1
''
0
''
0
1
''''
1
'
1
'
00
1
'
1
'
1
'
1
''
11
'
''''''
'''´ '2
ientescorrespondderivadas
lasdedadlacontinuiverifiquesequesiemprefffordentercerdederivadasPara
bafbafqueconcluimosbafes
miembroprimerelcomoperobafesyexistelímitesuhipotesisporcontinuaesfcomo
bhtaf
h
bafbhaf
obtenemoshaplicamosyhporosdivi
ahorahipótesisporexistenderivadasestashbhtafbafbhafluego
h
k
bhtafkbhtaf
k
bafkbaf
k
bhafkbhaf
quedaklímiteaplicamosykportodoosdivisi
hbhtafkbhtafbafkbafbhafkbhaf
bhtafkbhtafxgcalculo
bafkbafbhafkbhafaghagluego
bafkbafag
bhafkbhafhag
tconhtaghaghag
iableuna
paramediovalordelteoremaelaplicohaaervaloelenyderivableesxghipótesisPor
bxfkbxfxghaaenxgauxiliarfunción
unadefinimosademáshipótesisladeentornoaleriorkbhapuntounosConsiderem
ÓNDEMOSTRACI
bafbafybafiodoaleriorbapuntodel
entornounencontinuasfffparcialesderivadasadmiteRAconRAfSi
yxxxyxxxy
yxxyyx
xyxy
xy
h
yy
h
xyyy
xx
xk
xx
xx
xyyxyx
xyyx











 





 
















 
 
 
DERIVADA DIRECCIONAL 
 
IES TACO POZO ANÁLISIS MATEMÁTICO II 
________________________________________________________________________________________________
___ 
 
PROFESOR ADRIAN RUIZ 
 
   
 
0,
000,
,,
:
),(
.
/,),(minint),,(
22'
22
022






hsitgmconhmkpuesdoblelímiteunesnomentesimultánea
kyhquekhcuandobaf
kh
bafkbhaf
lím
avvectorel
pordadossentidoydirecciónlaenbaenfunciónladeldireccionaderivadacomoDefinimos
abscisaladepositivoejeelconvectorelformaqueánguloelSea
jkihvkhvvectorunyyxffunciónunadeiodoaleriorbapuntounSea
pendiente
vvectordelmódulooeuclidiananormav
kh








 
 
FÓRMULA PARA EL CÁLCULO DE LA DERIVADA DIRECCIONAL 
 
El teorema del valor medio permite vincular las derivadas direccionales en un punto 
con las derivadas parciales en el mismo punto, suponiendo que la función f(x,y) tenga de-
rivadas parciales continuas en un entorno del punto (a,b), interior al dominio de la función. 
 
 
   
     
      
      






senbafbafbafúltimopor
senkcbhafbhcafbaftienesedoreemplazanluego
sen
kh
k
kh
h
pero
kh
k
kcbhaf
kh
h
bhcafbaf
cc
kh
kkcbhafhbhcaf
baf
yx
yx
kh
yx
kh
yx
kh
,cos,,
;cos;lim,
cos
;;lim,
1010
;;
lim,
'''
2
'
1
'
0
'
2222
22
2
'
22
1
'
0
'
2122
2
'
1
'
0
'
22
22
22
























 
 
Ejemplo:     formulalaaplicandoyxyxfsifCalcular 22'
3
2 23,1,1  
     
  3231,1
323
2
3
4
2
1
6
3
2
1,1
3
2
cos1,11,1
'
3
2
'''
3
2




















fluego
senfff yx
 
 
DERIVADA DIRECCIONAL COMO PRODUCTO ESCALAR 
 
Dada la fórmula anteriormente encontrada        senbafbafbaf yx ,cos,,
'''  y 
considerando un vector cualquiera v

 en la dirección y sentido dados por el ángulo  , con 
 como su primer ángulo director y siendo  el segundo ángulo director, en cualquier 
cuadrante es  cossen . 
y 
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___ 
 
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Luego        cos,cos,,
''' bafbafbaf yx  (A), y siendo jiv

  coscos , este 
vector tiene la misma dirección y sentido dado por el ángulo  , y su módulo es 1 pues 
1cos 22   senv

. En consecuencia, la expresión (A) es el producto escalar de dos 
vectores, resultando          jibafbafbaf yx

  coscos,,,
''' . 
 
El primer vector tiene por componentes las derivadas parciales y llamamos gra-
diente de f en (a,b), o sea,       jbafibafbafgrad yx

 ,,, '' 
 
Por último, si v

 es un vector unitario, se tiene     vbafgradbafv

 ,,' , y la deriva-
da direccional puede hallarse, en todos los casos, como el producto escalar del vector 
gradiente en el punto por un versor en la dirección y sentidos deseados. 
 
 
Ejemplo:     jivxyyxyxfsifCalcular v


2
3
2
1
;3,1,3 32'  
     
   
  318
2
19
1,3
2
3
2
1
36191,3
1
2
3
2
1
36191,3361,3191,3
'
'
22
''



























v
v
yx
f
jijifluego
vquesverificamo
jifgradff





 
 
FUNCIÓN DIFERENCIABLE 
 
En funciones de una variable real, demostramos que si una función tiene derivada 
finita en un punto, implica que la función es continua en dicho punto. 
DERIVABILIDAD 


 CONTINUIDAD 
 
En dos o más variables, el concepto de derivada parcial, es mucho más débil. La 
existencia de derivadas parciales finitas en un punto no asegura la continuidad en dicho 
punto, tampoco asegura la existencia de derivadas en cualquier dirección y sentido. 
 
 
 
v

 
x 
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________________________________________________________________________________________________
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Sea f (x ; y) y (a; b) , punto interior de su dominio, se dice que f (x ; y) es diferenciable 
en (a ; b), respecto de los números reales h y k , si existen dos números reales A y B tales 
que: 
 
Con el siguiente teorema se demuestra que A y B son derivadas parciales en (a,b) 
TEOREMA 1: 
 
Si f(x,y) es diferenciable en (a,b), interior a su dominio, entonces f(x,y) tiene derivadas 
parciales en (a,b) 
 
DEMOSTRACIÓN: 
 
Por definición de función diferenciable, existen los números A y B, tales que: 
2 2
( , ) (0,0)
( ; ) ( , ) ( ; ) lim ( ; ) 0
h k
f a h b k f a b Ah Bk G h k h k y G h k

        
Probaremos que ' '( , ) ( , )x yA f a b B f a b   
Si consideramos k = 0 y dividimos por h ≠ 0, resulta 
2( ; ) ( , )
( , )
f a h b f a b h
A G h o
h h
 
  
A ambas expresiones le aplicamos límite para 
h 
0 0
( ; ) ( , )
0 : lim lim ( , )
h h
hf a h b f a b
A G h o
h h 
 
   . Por definición G es un infinitésimo si h y 
k tienden simultáneamente a cero. Además 
h
h
 es una función acotada. 
 
Luego 
0
lim ( , ) 0
h
h
G h o
h
 y queda ' ( , )xA f a b . Análogamente se demuestra que 
' ( , )yB f a b 
 
Entonces, para f(x,y) diferenciable: 
' ' 2 2
( , ) (0,0)
( ; ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
lim ( , ) 0
x y
h k
f a h b k f a b f a b h f a b k G h k h k
G h k

        
 
 
TEOREMA 2: 
 
Si f(x,y) es diferenciable en (a,b), interior a su dominio, entonces f(x,y) es continua en 
(a,b) 
 
DEMOSTRACIÓN 
 
Debemos probar que 
( , ) ( , )
lim ( , ) ( , )
x y a b
f x y f a b

 . 
2 2
( , ) (0,0)
( ; ) ( , ) ( ; ) lim ( ; ) 0
h k
f a h b k f a b Ah Bk G h k h k y G h k

       
IES TACO POZO ANÁLISIS MATEMÁTICO II 
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Sea h = x – a ; k = y – h , y reemplazando en la expresión de una función diferenciable, 
se tiene: 
' ' 2 2
( , ) (0,0)
( ; ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( )
lim ( , ) 0
x y
h k
f x y f a b f a b x a f a b y b G x a y b x a y b
G x a y b

            
   
 
 
Además, como 2 2( ) ( )x a x a y b     , resulta: 
2 20, 0 / 0 ( ) ( )x a y b x a               
 
Por lo tanto  
( , ) ( , )
lim 0
x y a b
x a

  Análogamente,  
( , ) ( , )
lim 0
x y a b
y b

  
Luego    
( , ) ( , )
lim , , 0
x y a b
f x y f a b

    y el teorema queda probado. 
 
TEOREMA 3: 
 
Si f(x,y) es diferenciable en (a,b), interior a su dominio, entonces f(x,y) tiene derivada en 
cualquier dirección y sentido, en dicho punto. 
 
DEMOSTRACIÓN: 
 
Por definición de función diferenciable sabemos: 
' ' 2 2
( , ) (0,0)
( ; ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
lim ( , ) 0
x y
h k
f a h b k f a b f a b h f a b k G h k h k
G h k

        
 
 
Dividiendo por 2 2 0h k  se tiene: 
 
' '
2 2 2 2 2 2
( ; ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )x y
f a h b k f a b h k
f a b f a b G h k
h k h k h k
  
    
  
 
 
O bien ' '
2 2
( ; ) ( , )
( , ) cos ( , ) ( , )x y
f a h b k f a b
f a b f a b sen G h k
h k
 
  
    

 
 
Si calculamos el límite para 2 2 0h k  resulta: ' ' '( , ) ( , ) cos ( , )x yf a b f a b f a b sen      
 
TEOREMA 4: 
 
Si f(x,y) tiene derivadas continuas en un entorno del punto (a,b) , interior a su dominio, 
entonces f(x,y) es diferenciable en (a,b) 
 
DEMOSTRACIÓN: Por el teorema del Valor Medio: 
 
' '
1 2
1 2
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ,
0 1 0 1
x yf a h b k f a b f a t h b h f a h b t k
con t y t
       
   
 
Por Hipótesis 
 
IES TACO POZO ANÁLISIS MATEMÁTICO II 
________________________________________________________________________________________________
___ 
 
PROFESOR ADRIAN RUIZ 
' '
' '
1
0
0
' '
2
0
0
,
( ; ) ( ; ) ( ; ) lim ( ; ) 0
( )
( ; ) ( ; ) ( ; ) lim ( ; ) 0
inf
x y
x x
h
k
y x
h
k
f y f son continuas en el entorno considerado entonces
f a t h b f a b M h k M h k
A pues toda función continua es igual
f a h b t k f a b N h k N h k
a su límite más un




    


      


.initésimo en el punto
 
 
' '
2 2
' ' 2 2
2 2
Re : ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( )
0 , ( )
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
tan : (
x y
x y
emplazando quedaf a h b k f a b f a b h f a b k M h k h N h k k B
como h k multiplicando y dividiendo en B
M h k h N h k k
f a h b k f a b f a b h f a b k h k
h k
por lo to G
      
 
 
        
  
2 2 0
0
2 2 2 2
2 2 2 2
( ; ) ( ; )
; ) ; ar lim ( ; ) 0
1 1
h
k
M h k h N h k k
h k debemos prob que G h k
h k
h k
sabemos que h h k k h k
h k h k



 

         
 
 
 
2 2 2 2
1 1 ( )
h k
C
h k h k
  
 
 
 
2 2 2 20 0
0 0
lim ( ; ) lim ( ; ) ( ; )
h h
k k
h k
Sea G h k M h k N h k
h k h k  
 
  
   
 
 
2 20
0
2 20
0
0
0
lim ( ; ) 0
inf cot
lim ( ; ) 0
( ) ( )
lim ( ; ) ( ; ) ( ).
,
h
k
h
k
h
k
h
M h k
h k
pero por tratarse de initésimos de una función a ada
k
N h k
h k
por A y C
Luego G h k o y f x y es diferenciable en a b
El recíproco es falso






 
 
   

  
  
    

pues existen funciones diferenciables cuyas derivadas parciales
no son continuas
 
 
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DIFERENCIALES SUCESIVAS 
 
2
2 ' ' ' '
( ; ) : , sup ,
tan 2 ..
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
do
x y x y
Si f x y D R conD R tiene derivadas parciales continuas de orden erior
considerando h y k cons tes puede hallarse el diferencial parcial de orden
d f x y d d fx y f x y h f x y k h f x y h f
x y
 
 
       
2 '' '' '' ''
2 '' 2 '' ''
( ; )
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; ) 2 ( ; ) ( ; )
x x y x x y y y
x x x y y y
x y k k
d f x y f x y h f x y k h f x y h f x y k k quedando
d f x y f x y h f x y h k f x y
  
         
  
 
 
Este diferencial segundo puede anotarse simbólicamente: 
2
2 ( ; ) ( ; ) ;
:
( ; ) ( ; ); 1
n
n
d f x y f x y
y por inducción
d f x y f x y para n x e y deben ser independientes
h k
x y
h k
x y

 
  
   
  
   
 
Plano tangente y recta normal a una superficie 
Recordemos en primer lugar que el gráfico de una función continua F (x ; y) de dos 
variables es el conjunto { (x;y;z) / z = F(x;y) que determina una superficie en R3. 
Si Po = (Xo;Yo;Zo) es un punto que pertenece a dicha superficie y F tiene deriva-
das parciales continuas en (Xo;Yo), queremos definir plano tangente a la superficie en P0. 
 
 Para ello, nos apoyamos en la idea geométrica de que el plano tangente a una su-
perficie en un punto de la misma, es el lugar geométrico de las rectas tangentes a todas 
las curvas que pasan por el punto y están en la superficie. Sabemos que F tiene deriva-
das parciales en (Xo;Yo). Por lo tanto, FX’ (Xo;Yo) es la pendiente de la recta tangente en 
PO a la curva intersección de la superficie con el plano de ecuación y = y0' y lo mismo 
sucede para F’0 (Xo;Y 0) en el plano x = Xo . 
 
Llamaremos plano tangente al determinado por esas dos rectas. Para encontrar su 
ecuación, podemos considerar, en primer lugar, el vector v = (1 ;O; F'(x ;y) ). 
 Dicho vector tiene la dirección de la recta tangente mencionada, en el plano y = y0' 
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Análogamente, v = (0 ; 1 ; F'(x ;y )) tiene la dirección de la recta tangente, en el 
plano de ecuación x = Xo. 
Por lo tanto, la ecuación del plano tangente puede obtenerse como la de un plano 
que pasa por P0 y es paralelo a los vectores v1 y v2’ no paralelos. 
Su ecuación es 
0
);(10
);(01
);(
0
'
0
'
0000


ox
ox
t
yxF
yxF
yxFzyyxx
 
O bien, Zt - F(X0;Y0) = F
’
x(x0 ; y0) (x –x0) + Fy’ (x0 – y0) (x0 – y0 ) 
(En esta ecuación zt =T(x;y) es la altura para un punto ubicado en el plano tangente.) 
Interpretación geométrica del diferencial total 
 
Recordemos la definición de diferencial total para un campo escalar de dos variables en el 
punto (Xo;Yo) respecto de los incrementos Δx = X-Xo' ΔY=Y -Y0 
 )();()();();( '0'00
'
'0'00
'
'00 yyyxFxxyxFyxdF yx  
 Vemos que su expresión coincide con el segundo miembro de la ecuación hallada 
para el plano tangente a la superficie en (Xo;Yo;Zo). 
 
Es decir, resulta dF(Xo;Yo) = T(x;y) -F(X,);yo). 
Luego, en un entorno de P0 (xo;yo) si se aproxima el incremento de la función me-
diante el diferencial, se considera la altura hasta el plano tangente, en lugar de hacerlo 
hasta la superficie 
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La interpretación geométrica es análoga a la vista para funciones de una varia- ble, 
donde el diferencial indica el incremento hasta la recta tangente en lugar de hacerlo hasta 
la curva. 
Por definición de función diferenciable, la diferencia Δz-dz es infinitésimo para (x ; 
y) tendiendo a (x0 ; y0). 
 
Recta Normal : Si la superficie correspondiente a F(x ;y) admite plano tangente en 
P0 , entonces definimos como recta normal a la superficie en P0 a la recta perpendicular al 
plano tg. en dicho punto y su ecuación es: 
 
1
);(
);();(
00
00
'
0
00
'
0





 yxfz
yxf
yy
yxf
xx n
yx
 si ambas derivadas no se anulan en (x0 ; y0 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EJE TEMÁTICO Nº 5: EXTREMOS RELATIVOS 
 
 Fórmula de Taylor. Extremo de funciones. Clasificación de los puntos de una superfi-
cie. Condición necesaria para la existencia de extremo local. Condición suficiente para 
la existencia de extremo local. Teorema. Extremos ligados. Método de los multiplica-
dores de Lagrange. Máximos y mínimos de funciones y con variables ligadas. 
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FORMULA DE TAYLOR 
 
H) 2:),( RDconRDyxf  , una función que admite derivadas parciales continuas has-
ta el orden enésimo, (a, b) punto interior a D con E (a, b)    baEkbhaD ,,;  . 
 
T) 
              
         Tnbafkbafkhbafhkbafh
bafkbafhkbafhbafkbafhbafkbhaf
yyyxyyxxyxxx
yyxyxxyx


,,3,3,
!3
1
,,2,
!2
1
,,,;
'''3'''2'''2'''3
''2''''2''
 
 
DEMOSTRACIÓN: 
 
Por definición de diferenciales sucesivas se puede escribir: 
          
            
      baf
y
f
k
x
f
hkhbafd
baf
y
f
k
x
f
hbafkbafhkbafhkhbafd
baf
y
f
k
x
f
hbafkbafhkhbadf
n
n
yyxyxx
yx
,,;,
,,,,,;,
,,,,;,
2
''2''''22
''





































 
 
Luego, la fórmula puede escribirse: 
     
   bafbaf
y
f
k
x
f
hdondeccon
ckbchaf
y