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Taller de integrales Evalúe las integrales planteadas 1. Fracciones parciales: a) ∫ dx (x2 − 1)2 b) ∫ y2 + 2y + 1 (y2 + 1)2 dy c) ∫ 2t+ 2 (t2 + 1)(t− 1)3 dt d) ∫ 1 x3 − 1 dx e) ∫ 3x4 x3 + 1 dx f ) ∫ y4 + y2 − 1 y3 + y dy g) ∫ dx x6 − 1 dx Para las siguientes integrales, realice primero una sustitución conveniente h) ∫ etdt e2t + 3et + 2 i) ∫ cos y dy sen2 y + sen y − 6 j ) ∫ (x− 2)2 tan−1(2x)− 12x3 − 3x (4x2 + 1)(x− 2)2 dx k) ∫ 1 + ex 1− ex dx (Reto!) 2. sustituciones diversas:(*) a) ∫ √ x 4 √ x3 + 1 dx b) ∫ 6 √ x+ 1 6 √ x7 + 4 √ x5 dx Para las siguientes integrales, realice la sustitución z = tan x2 c) ∫ dx 4− 5 senx d) ∫ dx senx− cosx e) ∫ cosx dx 1− cosx 3. integración por dos métodos: (compare sus respuestas) a) ∫ secx dx primer método: use la sustitución z = tan x2 segundo método: escriba secx en términos de cosx, multiplique y divida por cosx, use la iden- tidad cos2 x = 1 − sen2 x y haga una sustitución adecuada para luego realizar fracciones parciales b) ∫ cscx dx (análogo al anterior) c) ∫ 1 1 + cosx dx primer método: use la sustitución z = tan x2 segundo método: multiplique y divida por 1− cosx d) ∫ dx 1 + senx+ cosx primer método: use la sustitución z = tan x2 segundo método: multiplique y divida por (1 + senx)− cosx Miscelánea de ejercicios Identifique el(los) método(s) más adecuado(s) para evaluar la integral 1. ∫ x cos2 x dx 2. ∫ x √ 1− x dx 3. ∫ √ z2 + 1 dz 4. ∫ (ln 2x)2 dx 5. ∫ 2 √ x−1 √ x dx 6. ∫ x sen−1 x dx 7. ∫ (sen−1 x)2 dx 8. ∫ xex cosx dx 9. ∫ etan −1 x (1 + x2)3/2 dx 10. ∫ 9dv 81− v4 Retos: 11. ∫ x dx√ 8− 2x2 − x4 12. ∫ √ 1 θ2 + 1 θ4 dθ 13. ∫ dθ 1− tan2 θ 14. ∫ dt t− √ 1− t2 15. ∫ (2e2x − ex) dx√ 3e2x − 6ex − 1 16. ∫ ln( √ x+ √ 1 + x) dx 17. ∫ 1 x4 + 4 dx (sugerencia: complete un trinomio cuadrado perfecto) 18. ∫ √ tanx dx (sugerencia: está resuelto en el texto del profesor Jesús del Valle) Integrales de funciones trigonométri- cas hiperbólicas(*) Recordemos que cos2 θ + sen2 θ = 1. Si hacemos x = cos θ y y = sen θ, se sigue que las funciones trigonométricas satisfacen la ecuación del ćırculo unitario x2 + y2 = 1 por esta razón, estas funciones trigonométricas se les llama funciones trigonométricas circulares. Las funciones eθ + e−θ 2 y eθ − e−θ 2 aparecen con mucha frecuencia en aplicaciones a la ingenieŕıa y se les ha dado un nombre especial de acuerdo a sus propiedades y semejanzas con las funciones trigonométricas coseno y seno. Veamos: Es fácil ver que la derivada de la primera función es la segunda y viceversa (algo muy similar a lo que ocurre con las funciones coseno y seno). También es fácil ver que( eθ + e−θ 2 )2 − ( eθ − e−θ 2 )2 = 1 (verif́ıcalo!) Si hacemos x = eθ + e−θ 2 y y = eθ − e−θ 2 , se sigue que estas funciones satisfacen la ecuación de la hipérbola unitaria x2 − y2 = 1, por estas razones a estas funciones se les llama funciones trigonométricas hiperbólicas y se simbolizan por: cosh θ = eθ + e−θ 2 senh θ = eθ − e−θ 2 Nótese que de lo anterior se tiene la “identidad” cosh2 θ − senh2 θ = 1 A continuación se definen, por analoǵıa con las funciones trigonométricas, las restantes funciones trigonométricas hi- perbólicas: tanh θ = senh θ cosh θ coth θ = cosh θ senh θ sech θ = 1 cosh θ csch θ = 1 senh θ De acuerdo a las definiciones anteriores se puede verificar las siguientes “identidades hiperbólicas”(hacerlo!) cosh2 θ = 1 + senh2 θ sech2 θ = 1− tanh2 θ csch2 θ = coth2 θ − 1 Pitagóricas cosh 2θ = cosh2 θ + senh2 θ senh 2θ = 2 senh θ cosh θ } Argumento duplo cosh2 θ = cosh 2θ + 1 2 senh2 θ = cosh 2θ − 1 2 Disminución de potencia TABLA DE DERIVADAS d dx senhx = coshx d dx coshx = senhx d dx tanhx = sech 2 x d dx cothx = − csch 2 x d dx sechx = − sechx tanhx d dx cschx = − cschx cothx TABLA DE INTEGRALES∫ senhx dx = coshx+ C∫ coshx dx = senhx+ C∫ sech2 x dx = tanhx+ C∫ csch2 x dx = − cothx+ C∫ sechx tanhx dx = − sechx+ C∫ cschx cothx dx = − cschx+ C Maneje un procedimiento similar al que se hizo con las in- tegrales de las funciones trigonométricas para resolver las si- guientes integrales: 1. ∫ senh3 x coshx dx 2. ∫ senh2 x cosh2 x dx 3. ∫ sech4 x tanh3/2 x dx 4. ∫ sech7/3 x tanh3 x dx 5. ∫ tanh5 x dx Use una sustitución trigonométrica hiperbólica adecuada para resolver las siguientes integrales: 1. ∫ dx√ x2 − 4 dx 2. ∫ dx (4x2 − 9)3/2 dx 3. ∫ dx√ x2 + 2x dx
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