PARCIAL 4A

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1. a. Evaluar ( 
 
 
)
 
 
Solución: 
Sea ( 
 
 
)
 
 ( 
 
 
)
 
 ( 
 
 
)
 
 
Ahora ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
Aplicando L´Hopital 
 
 
 
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 , 
Por lo tanto ( 
 
 
)
 
 
 
b. Determinar si la serie ∑ ( 
 
 
)
 
 
 es convergente o divergente en caso 
de ser convergente hallar su suma. 
 
Solución: 
Como la serie es geométrica, con primer término y razón 
 
 
, es decir 
| | | 
 
 
| 
 
 
 entonces es convergente y su suma es 
 
 
 
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Use los criterios de convergencia o divergencia de series de términos positivos 
para determinar la convergencia o divergencia de la serie 
∑ (
 
 
)
 
 
 
 
Solución: 
 (
 
 
)
 
 Consideremos el límite 
 √ 
 √(
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
Como entonces por criterio de la raíz la serie ∑ (
 
 
)
 
 
 converge 
 
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA 
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 
Instituto de Matemáticas 
Cursos de Servicios para Ingeniería y/o 
Facultad de Química Farmacéutica 
 
 
 CALIFICACION 
ALUMNO: SOLUCIÓN Carné: 
Asignatura: Cálculo Integral Profesor: Jorge Iván Londoño 
Parcial # 4 Valor: 25% Fecha: Jueves 1 de agosto de 2013 
3. Analice la convergencia absoluta, convergencia condicional o divergencia de la 
serie alterna ∑ 
 
 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
 Consideremos el límite 
 |
 
 
| |
 
 
 
 
 
 
| 
 
 
 
Se concluye del criterio del cociente para convergencia absoluta que la serie 
∑ 
 
 
 
 Converge absolutamente 
 
 
4. Escriba la serie y luego encuentre el radio de convergencia, el intervalo de 
convergencia y el intervalo de convergencia absoluta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
La serie correspondiente a la anterior expresión es ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Consideremos el límite 
 |
 
 
| |
 
 
 
 
 
 
| |
 
 
| | |
 
 
 | | 
Se concluye del criterio del cociente para convergencia absoluta que la serie 
∑ 
 
 
 
 converge absolutamente si y solo si | | . Por lo tanto el radio 
de convergencia es 
El intervalo de convergencia absoluta es 
Ahora para hallar el intervalo de convergencia analizamos los extremos 
Si se obtiene la serie armónica ∑
 
 
 
 la cual es divergente 
Si se obtiene la serie alterna ∑ 
 
 
 
 , la cual es convergente por 
criterio de Leibnitz. 
Por lo anterior El intervalo de convergencia es 
 
5. Escriba los cinco primeros términos de la expansión en una serie de Maclaurin 
para la función 
 
 
 
 
Solución: 
Como 
 
 
 luego 
 
 
 
 
 
 
 ∑