Metodos numericos

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MÉTODOS NUMÉRICOS
NIVEL 5to 
AREA FUNDAMENTO TEÓRICO
NºHORAS SEMANA 04
GENERALIDADES Y CÁLCULO DE ERRORES
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
MÉTODOS PARA LA SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
AJUSTES DE CURVAS E INTERPOLACIÓN
1
2
3
4
MÉTODOS NUMÉRICOS
INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA5
6 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ANÁLISIS ERROR Y 
APROXIMACIÓN
UNIDAD 1: GENERALIDADES Y CÁLCULO DE ERRORES
Encontrar las 
raíces de una 
ecuación
UNIDAD 2: SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES 
SOLUCIÓN DE 
SISTEMAS DE 
ECUACIONES
UNIDAD 3: MÉTODOS PARA LA SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES. 
HALLAR VALORES 
DESCONOCIDOS 
EN FUNCIÓN DE 
LOS CONOCIDOS
UNIDAD 4: AJUSTES DE CURVAS E INTERPOLACIÓN
Solución 
aproximadas
de derivadas e 
integrales 
analíticamente 
complicadas
UNIDAD 5: INTEGRACIÓN Y DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA 
Proporcionar valores
numéricos de la
solución con una
aproximación
adecuada, en un
determinado
conjunto de puntos
UNIDAD 6: SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ACTIVIDADES A 
EVALUAR
PRIMER
PARCIAL
SEGUNDO 
PARCIAL
TERCER 
PARCIAL
EVALUACIÓN 
PRINCIPAL
SUSPENSIÓN
Exámenes 12 20
Lecciones 4 5 5
Tareas
Individuales
2 2 1
Trabajo equipo 1 2 2
Trabajo de
investigación
1 1 1
Aula virtual 1
TOTAL 8 PUNTOS 10 PUNTOS 10 PUNTOS 12 PUNTOS 20 PUNTOS
MÉTODOS NUMÉRICOS
Bibliografía
BÁSICA
1. CHAPRA,S , RAYMOND, C. (2011). Métodos Numéricos para 
Ingenieros: con aplicaciones en computadoras personales. Mc 
Graw-Hill.
2. VAZQUEZ, C , DE BERDUGOS R.J. (2011). Análisis y Métodos 
Numéricos: definición, teoremas y numéricos. Editorial García-
Maroto. 
COMPLEMENTARIA
1. OLMOS, M. A. (2010). Análisis numérico. Editorial McGraw-Hill 
Interamericana. 
2. CABRERA RAUL. Métodos Numéricos.
ATENCIÓN A ESTUDIANTES:
Martes: 11h00-12h00
PERFIL DEL PROFESOR DE LA 
ASIGNATURA
NOMBRE DEL PROFESOR MIGUEL ANGEL PÉREZ BAYAS
NÚMERO TELEFÓNICO 0999262941 
CORREO ELECTRÓNICO miguel.perez@espoch.edu.ec
TÍTULOS ACADÉMICOS DE
TERCER NIVEL
Ingeniero Mecánico
TÍTULOS ACADÉMICOS DE
POSGRADO
Máster Universitario en
Automática y Robótica
PRUEBA DE DIAGNÓSTICO 
1. Defina: Cifra significativa
2. ¿Qué es una linealización?
3. ¿Qué es un error?
4. ¿Qué implica obtener soluciones por métodos
numéricos y por métodos analíticos?
5. ¿Para qué sirve una regresión?
Tarea 1
Instalar:
- Látex:Miktex/Texmaker
https://www.youtube.com/watch?v=6akfDSf7omQ
- Matlab 2018ª
- Geogebra
UNIDAD I
Definición de los
métodos numéricos
y cálculo de errores
1. Consideraciones generales sobre los
métodos numéricos.
1. Consideraciones generales sobre los métodos numéricos.
Introducción
Historia
Los métodos numéricos como ciencia estructurada y rigurosa, tienen un estudio
relativamente joven, empezando a finales del siglo XIX inicios del siglo XX.
Sin embargo desde tiempos remotos se emplearon métodos de aproximación,
siendo un aprueba de esto el descubrimiento del Papiro de Rhind o Ahmes, que
data del año 1650 AC. Elemento de 6m por 33cm, representa la mejor fuente de
información sobre matemática egipcia, posee 80 ejercicios resueltos, de cálculo
de volumen de frutas, áreas, raíces cuadradas, Etc.
En contraste en 1984 Math Works desarrolla el lenguaje de programación
MatLab, orientado al trabajo de Matrices.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las
cuales es posible formular problemas matemáticos
de tal forma que puedan resolverse usando
operaciones aritméticas.
Importancia de los Métodos Numéricos
1.. Consideraciones generales sobre los métodos numéricos
1. Consideraciones generales sobre los métodos numéricos.
El objetivo principal es encontrar soluciones aproximadas a problemas
complejos utilizando las operaciones más simples de aritmética. Es decir
resolver problemas difíciles con muchos pasos fáciles. Permitiendo utilizar
calculadora o computadores para obtener resultados.
Por tanto no es extraño que con el desarrollo de las computadoras cada vez más
eficientes y rápidas, el papel de los MN haya aumentado considerablemente en
los últimos años.
Observación importante: Existen varios
tipos de MN pero comparten una
característica común, llevan a cabo un
proceso con cálculos matemáticos.
• Cálculo de derivadas
• Integrales
• Ecuaciones diferenciales
• Operaciones con matrices
• Interpolaciones
• Ajuste de curvas
• Polinomios
Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos 
matemáticos en:
1. Consideraciones generales sobre los métodos numéricos.
Los métodos numéricos se aplican en áreas como:
Ingeniería Industrial, Ingeniería Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, 
Ingeniería eléctrica, etc... 
1. Consideraciones generales sobre los métodos numéricos.
Razones para estudiar MN
1.- Métodos Numéricos: son herramientas extremadamente poderosas, capaces
de manejar sistemas de ecuaciones grandes, no lineales y geométricas
complicadas comunes en la ingeniería e imposibles de resolver analíticamente.
2.- Existen varios software disponibles de Métodos Numéricos, para
aplicaciones de ingeniería.
3.-Con conocimientos de Métodos Numéricos y programación es posible
diseñar un programa propio que resuelva un problema particular,
aprovechando de mejor manera las computadoras.
4.-Los MN son un medio para reforzar su comprensión de las matemáticas, ya
que una de sus funciones es convertir las matemáticas superiores en
operaciones aritméticas básicas, de esta manera se puede profundizar en los
temas que de otro modo resultarían oscuros.
1. Consideraciones generales sobre los métodos numéricos.
EN RESUMEN:
M.N. = algoritmo matemático + computadora
2. Aplicación de la computadora a los
métodos numéricos.
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una
característica común: invariablemente requieren de un buen número de
tediosos cálculos aritméticos.
No es raro que con el desarrollo
de computadoras digitales
eficientes y rápidas, el papel de
los métodos numéricos en la
solución de problemas en
ingeniería haya aumentado de
forma considerable en los
últimos años.
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
Además de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad
creciente de las computadoras y su asociación con los métodos numéricos han
influido de manera muy significativa en el proceso de la solución actual de los
problemas en ingeniería.
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
Antes de la era de la computadora los ingenieros sólo contaban con tres métodos para
la solución de problemas:
1. Se encontraban las soluciones de algunos problemas usando métodos exactos o
analíticos. Dichas soluciones resultaban útiles y proporcionaban una comprensión
excelente del comportamiento de algunos sistemas. No obstante, las soluciones
analíticas sólo pueden encontrarse para una clase limitada de problemas.
2. Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban soluciones gráficas, las
cuales tomaban la forma de gráficas o monogramas; aunque las técnicas gráficas se
utilizan a menudo para resolver problemas complejos, los resultados no son muy
precisos.
3. Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculadoras y reglas de
cálculo. Aunque dichas aproximaciones deberían ser perfectamente adecuadas para
resolver problemas complicados, en la práctica se presentan varias dificultades debido
a que los cálculos manuales son lentos y tediosos.
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
La amplia disponibilidad de las computadoras han llevado a una verdadera
explosión en el uso y desarrollo de los métodos numéricos. Al principio, este
crecimiento estaba limitado por el costo de procesamiento de las grandes
computadoras, por lo que muchos ingenieros seguían usando simples
procedimientos analíticos. La reciente evolución de computadoras personales
de bajo costo ha permitido el acceso, de mucha gente, a las poderosas
capacidades de cómputo.Los métodos numéricos son un vehículo 
eficiente para aprender a servirse de las 
computadoras. 
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
LAS TRES FACES EN SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN INGENIERÍA
Antes de la computadora La era de la computadora 
 
 FORMULACIÓN 
Leyes fundamentales 
explicadas brevemente 
 SOLUCIÓN 
Métodos muy elaborados y con 
frecuencia complicados para ser 
manejable el problema 
 INTERPRETACIÓN 
Análisis profundo limitado 
por una solución que 
consume tiempo 
 FORMULACIÓN 
Exposición profunda de la relación del 
problema con las leyes fundamentales 
 SOLUCIÓN 
Método de la computadora fácil 
de usar 
 INTERPRETACIÓN 
La facilidad de calcular permite pensar 
holísticamente y desarrollar la intuición; 
es factible estudiar la sensibilidad y el 
comportamiento del sistema 
Programación y software
• Los programas computacionales son únicamente
conjuntos de instrucciones que dirigen a la computadora
para realizar una cierta tarea. Un ejemplo de programas
o software utilizados son el Excel, Geogebra y MATLAB.
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
Algoritmo
Es importante definir el término Algoritmo, y analizar sus principales 
características.
• Algoritmo.- procedimiento que nos indica la serie de pasos y decisiones que 
se va a tomar para la solución de un problema.
• Finito.- siempre debe terminar en un número determinado de pasos
• Definido.- las acciones deben definirse sin ambigüedad.
• Entrada.- puede tener una o varias entradas
• Salida.- debe tener una o varias salidas.
• Efectivo.- las operaciones deben ser básicas para q pueden hacerse en un 
determinado tiempo. Tiempo no mayor al que le tome a una persona 
empleado papel y lápiz. 
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
Algoritmo
• Ej : algoritmo 
que permita 
leer dos valores 
distintos, 
determinar 
cuál es el 
mayor y 
escribirlo
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
Diagrama de flujo
Los algoritmos por tanto son necesarios para poder potencializar la aplicación de recursos
tecnológicos (computadora) a los Métodos Numéricos, pues esta se convierte en una herramienta
útil, pero no resuelve problemas por sí sola, sino que necesita que alguien especifique una serie de
instrucciones para la solución de estos problemas.
Para lograr esto se requiere los siguientes pasos.
Especificación del problema.- identificar el problema con sus limitaciones, las variables implicadas,
resultados que se pretende encontrar.
Análisis.- formular la solución, definir el algoritmo, con una serie de pasos aritméticos que puedan
ser ejecutados por un computador.
Programación.- traducir el algoritmo, expresándolo como una serie de operaciones. Diagrama de
flujo-codificación, traduce el diagrama en lenguaje de computador.
Verificación.- se aplica para eliminar errores, para que el programa haga lo que es requerido,
comparar con resultados conocidos. Sintaxis-Lógicos
Documentación.- preparar un manual de usuario para que otros logren utilizar el programa.
Producción.- aquí se proporcionan los datos de entrada del programa y se obtienen los resultados.
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
• En el transcurso de su carrera, es posible que el
ingeniero tenga la oportunidad de utilizar paquetes
disponibles comercialmente, o programas
«enlatados» que tengan métodos numéricos. El uso
eficiente de estos programas depende del buen
entendimiento de la teoría básica en los que se basan
tales métodos.
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
LOS MÉTODOS NUMÉRICOS Y LA PRÁCTICA EN 
INGENIERÍA
• Hay muchos problemas que no se
pueden resolverse con programas
«enlatados». Si se conoce de los
métodos numéricos y se es hábil en
la programación de computadoras,
entonces tiene la capacidad de
diseñar sus propios programas para
resolver los problemas, sin tener
que comprar un software costoso.
LOS MÉTODOS NUMÉRICOS Y LA PRÁCTICA EN 
INGENIERÍA
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
MODELO MATEMÁTICO SIMPLE
Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación o una ecuación
que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos
matemáticos. En general, el modelo se representa mediante una relación funcional de la
forma:
Variable dependiente= f (variable independiente, parámetros, funciones de fuerza)
Variable dependiente: es una característica que generalmente se refleja al comportamiento o
estado de un sistema.
Variable independiente: son por lo común dimensiones tales como tiempo y espacio a
través de las cuales se determina el comportamiento del sistema .
Parámetros: son el reflejo de las propiedades o la composición del sistema.
Funciones de Fuerza: son influencias externas que actúan sobre el sistema.
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
La expresión matemática, o el modelo, de la segunda ley de Newton es la ya conocida 
ecuación:
F=ma
Dividiendo, simplemente, ambos lados entre m
a= F/m
donde:
a es la variable dependiente que refleja el comportamiento del sistema.
F es la función de la fuerza.
m es un parámetro que representa una propiedad del sistema. 
Obsérvese que en este caso específico no existe variable independiente por que aún no se 
predice como varía la aceleración con respecto al tiempo o al espacio.
F fuerza neta que actúa sobre el objeto (N).
m masa del objeto Kg.
a aceleración (m/s2 ).
Características típicas de los modelos matemáticos del mundo físico.
• 1. Describe un proceso o sistemas naturales en término matemáticos.
• 2. Representa una idealización y una simplificación de la realidad. Es decir,
ignora los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus
manifestaciones esenciales. Por ende, la segunda ley de Newton no incluye los
efectos de la relatividad, que tiene una importancia mínima cuando se aplican a
objetos y fuerzas que interactúan sobre o alrededor de la superficie de la Tierra,
a velocidad y a escalas visibles a los seres humanos.
• 3. Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llegada
a emplearse con la finalidad de predecir. Por ejemplo, dada la fuerza aplicada
sobre un objeto de masa conocida, la ecuación anterior se emplea para
calcular la aceleración.
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
2. Aplicación de la computadora a los métodos numéricos.
3. Números exactos y aproximados.
3. Números exactos y aproximados.
En el proceso de resolución de un problema se deben tratar con diferentes clases
de números.
Los números exactos representan el valor verdadero del número:
Ejemplo: - El triángulo tiene 3 lados
- La carrera tiene 10 semestres
- La mano tiene 5 dedos
Los números aproximados representan un valor próximo al verdadero y su grado
de proximidad se determina por el error de cálculo.
Ejemplo: -El radio de la tierra es igual a 6000 Km
-La altura del Chimborazo es de 6268m
-La distancia de Riobamba a Ambato es de 59 Km
3. Números exactos y aproximados.
No existen aparatos de
medida absolutamente
exactos, sino cada uno
tiene su precisión o sea
admiten cierto grado de
error en las mediciones
(tolerancia o
incertidumbre).
El error de cálculo se deriva de
la precisión de los
instrumentos (medios) de
medida que se usa y de la
capacidad visual del
observador.
3. Números exactos y aproximados.
En otros casos , un mismo número puede ser exacto y aproximado:
Ejemplo:
-El número 3 es exacto si se trata del número de lados de un triángulo
-El número 3 es aproximado si se trata del número PI usado para calcular el
área del círculo mediante A=π R2 ,si se considera:
π =3,15 a>A aproximación por exceso (mayor)
π =3,1416… a=A
π =3,14 a<A aproximación por defecto (más pequeña)
a → número aproximado.
A → número exacto
3. Números exactosy aproximados.
Otras definiciones:
Exactitud
Precisión
Tolerancia o incertidumbre
•Exactitud: Aproximación
con la cual la lectura de un
instrumento se acerca al
valor real de la variable
medida.
De acuerdo a la norma ISO
5725-1, la exactitud está
compuesta por la veracidad
(proximidad de los
resultados al verdadero
valor)
3. Números exactos y aproximados.
3. Números exactos y aproximados.
Precisión: Medida de la
reproducibilidad de las
mediciones: i.e. dado el valor fijo
de la variable, la precisión es
una medida del grado con el cual
las mediciones sucesivas
difieren una de otra.
De acuerdo a la norma ISO 5725-1,
Precisión es la “repetibilidad o
reproducibilidad de la medición”
3. Números exactos y aproximados.
Rango = Xmax-Xmin
Ejemplo: suponiendo que de la medición de X 
variable se obtiene los siguientes valores, obtenga la 
exactitud, y la precisión del aparato de medición.
X1 75
X2 67
X3 72
X4 69
X5 70
X6 74
X7 68
X8 72
X9 65
x10 70
=70,2
s =3,12
3. Números exactos y aproximados.
TOLERANCIA O INCERTIDUMBRE
Es una estimación del posible error en una medida. Dicho de otra forma, es un estimación del rango de
valores que contienen el valor verdadero de una medida. La incertidumbre generalmente esta referida en
términos de la probabilidad de que el valor verdadero difiera de un rango establecido de valores.
Los valores verdaderos no existen, existen valores de alta precisión o probables.
La medida de un valor esta dada por: 
Donde:
x : Es la exactitud de la medida.
s : Es la precisión de la medida.
R= x ± s
3. Números exactos y aproximados.
Ejemplo: Dadas las siguientes lecturas tomadas por un operador calcular la
incertidumbre R de la medida.
3. Números exactos y aproximados.
3. Números exactos y aproximados.
4. Redondeo de números.
4. Redondeo de números
En la práctica de métodos numéricos, surge a menudo la necesidad de
redondear un número, o sea, reemplazarlo con otro que tienen una menor
cantidad de cifras.
En este caso se conserva una o más
cifras, contando de la izquierda a la
derecha y se omiten todas las
sucesivas.
Se lo puede hacer considerando las
décimas, centésimas y milésimas.
4. Redondeo de números
Reglas:
a.- El último digito que se conserva se
aumenta en 1 si el primer dígito
descartado es mayor que 5
b.- Si el primer digito descartado es 5 
o 5 seguido de ceros, el último digito 
que se conserva se incrementa en 1, 
solo si este es impar
847,469 → 4 cifras ó redondeo décim
=847,5
4931,367→ 5 cifras 
=4931,4
39,75000 → 3 cifras 
=39.8
563,45000 → 4cifras 
= 563.4
563,4500001 → 4 cifras 
= 563.5 por el 1
4. Redondeo de números
¿Cuál de los 2 números esta mas cerca de 4256?
¿Entre que unidades de mil se encuentra 16.867 ?
4. Redondeo de números
Truncamiento.-
Consiste en omitir todas las cifras a partir de cierta posición:
Ejem: 
39,7500 → 3 cifras= 39.7
Se lo puede hacer considerando las décimas, centésimas y milésimas.
4. Redondeo de números
4. Redondeo de números
Se puede considerar el uso de funciones de redondeo de Excel.
Esta figura ilustra cómo el número 9.45 se ve afectada por el uso de
Round, Roundup, y Rounddown (REDONDEAR)
5. Cifras significativas.
5. Cifras significativas
RECORDEMOS:
Precisión.- relacionada con la cantidad de números.
Exactitud.- relacionado con la cercanía de un valor
aproximado con su valor real.
5. Cifras significativas
Concepto de cifra significativa:
Son todas las cifras de un número a excepción de los
ceros puestos a la izquierda de la primera cifra distinta
de cero.
0,000956 → 3 cifras 
956,00 → 5 cifras
3,76*10 10 → 3 cifras
5. Cifras significativas
Condiciones: 
1.- Cuando hay un entero todas las cifras son significativas.
2.- Cuando un cero se encuentra entre dos cifras distintas, este también es
considerado cifra significativa
Ej: 1,05 →3 cifras significativas
3.- Cuando los ceros se usan solo para la ubicación de la coma no son
significativas Ej: 0.009 → 1 cifras significativas
4.- cuando los ceros estas después de la coma, y antes de esta, están otras
cifras los ceros también son cifras significativas
Ej: 17.00 → 4 cifras significativas
5.-cuando tenemos cantidades grandes terminadas en ceros, estos pueden o
no ser cifras significativas.
Ej: 12300 → 5 o 3 cifras significativas
5. Cifras significativas
5. Cifras significativas
La función MULTIPLO.INTERIOR en Excel nos permite redondear
un número hacia abajo, hasta el múltiplo significativo más cercano
de la cifra especificada. La función MULTIPLO.INFERIOR acepta
dos argumentos y ambos son obligatorios.
•Número (obligatorio): El
número que será redondeado.
•Cifra_significativa
(obligatorio): La cifra significativa
hacia la que será redondeado el
número.
5. Cifras significativas
Ejemplo de la función MULTIPLO.INFERIOR
Si se tiene en Excel una lista de productos con sus respectivos precios.
Al aplicar un descuento a los productos, dará un nuevo precio para cada
uno de ellos:
5. Cifras significativas
Ejemplo de la función MULTIPLO.INFERIOR
Al observar los precios de la columna D me doy cuenta de que al pagar en efectivo,
los clientes necesitarán varias monedas de centavos para pagar el precio exacto. Sin
embargo, las monedas de centavos son cada vez menos utilizadas, a excepción de
las monedas de 50 centavos, por lo que se decide redondear todos los precios hacia
el múltiplo inferior más cercano de $0.50 y para ello se usa la función
MULTIPLO.INFERIOR.
Observe cómo la función MULTIPLO.INFERIOR hace el redondeo adecuado para 
los precios de los productos.
6. Clasificación de los errores.
ERROR
En la literatura técnica y científica, el término error se utiliza
frecuentemente con dos significados bastante diferentes:
• En unos casos se utiliza para cuantificar la diferencia entre el
resultado de una medida y el considerado como valor de la
misma (valor verdadero, valor real o estándar)
• En otros casos se utiliza para
denominar la incertidumbre
del resultado de una medida,
es decir, para cuantificar la
imperfección del método e
instrumento de medida
empleado.
ERROR
• Pero los términos error e incertidumbre no son sinónimos, sino que representan
conceptos completamente distintos, y por tanto, no deben confundirse entre sí ni
utilizarse incorrectamente, uno en lugar del otro.
ERROR
ERROR
En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de
los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de
aproximación de la solución que se obtiene.
ERROR
ERROR ABSOLUTO
Es la diferencia entre el valor exacto “A” y el valor tomado como
aproximado “a” (o valor de la medida), y tiene unidades, las mismas
que las de la medida.
Δa ≥ |A-a|
Esta diferencia puede ser positiva o negativa, según si la medida es
superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa),
pero como tiene un definición ABSOLUTA, siempre será positivo.
ERROR
ERROR ABSOLUTO
Para obtener el número exacto A, se debe añadir el error absoluto
Δa al número aproximado a:
A= a±Δa
Se lo puede observar de otra manera, considerando que el error absoluto es
la cota superior de desviación de número exacto A respecto al aproximado a:
a- Δa ≤ A ≤ a+ Δa
En calidad de error absoluto se toma, en la medida de lo posible, el número
mínimo.
ERROR
ERROR ABSOLUTO
Ejemplo: determínese la cota del error absoluto del número a=3,14 utilizado en lugar del
número π .
a- Δa ≤ A ≤ a+ Δa
3,14 - Δa ≤ π ≤3,14+ Δa
3,14< π < 3,15 supuesto
|π-a |<0,01
Por tanto: Δa=0,01
a- Δa ≤ A ≤ a+ Δa
3,14 - Δa ≤ π ≤3,14+ Δa
3,14< π < 3,142 supuesto
|π-a |<0,002
Por tanto: Δa=0,002
Para fines prácticos es conveniente tomar el número más pequeño de Δa. 
ERROR
ERROR RELATIVO
Se puede definir como el cociente entre el error absoluto y el valor
verdadero:
𝐸𝑟 ≥
𝐴−a
a , a≠0
Y también se define el error relativo porcentual, como sigue:
𝐸𝑣 ≥
𝐴−a
a x100%, a≠0
ERROR
ERROR RELATIVO
Ejemplo: el peso de 1 dm3 de agua a 0°C viene dado por p=999,847±0,001(gramos
fuerza). Determine la cota del error relativo porcentual del resultado del peso del agua.
Δp=0,001
p≤ 999,846 gf
𝐸𝑣 ≥
0,001
999,846
x100%= 1x10-4 %
ERROR
EJERCICIO:
Medidas Errores absolutos Errores relativos
3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s -0,11 / 3,12 = - 0,036
(- 3,6%)
3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s -0,01 / 3,12 = - 0,003
(- 0,3%)
3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s +0,08 / 3,12 = + 0,026
(+ 2,6%)
3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s +0,03 / 3,12 = + 0,010
(+ 1,0%)
Si las medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos son:
3,01s / 3,11s / 3,20 s / 3,15 s
Hallar los errores absoluto y relativo de cada medida.
ERROR
EJERCICIO:
Al medir la longitud de una varilla para construcción se obtiene el
resultado aproximado de 19999 cm. mientras que al medir la longitud
de un clavo, se obtiene el resultado de 9 cm. Suponiendo que los
valores verdaderos de la varilla y el clavo son de 20000 cm. y 10 cm.
respectivamente, calcular el error absoluto y el error relativo
porcentual en ambos casos.
6. Clasificación de los errores
6. Clasificación de los errores
ERROR
Los errores encontrados en problemas matemáticos se dividen fundamentalmente en 5 
tipos:
1. Errores del problema
2. Errores iniciales
3. Error numérico
a) Errores de truncamiento
b) Errores de redondeo
3. Errores de operación
4. Error residual
6. Clasificación de los errores
ERROR
1. Errores del problema.- aparecen durante la formulación o planteamiento del problema.
2. Errores iniciales.- debidos al uso de constantes en ecuaciones o fórmulas cuyos valores 
son expresados aproximadamente.
Y=ex
me=9,104x10-28 , masa del electrón
NA=6.03x10
23atom/mol, constante de Avogadro. 
Número de Avogadro es el número de partículas 
elementales (usualmente átomos o moléculas) en un mol de una sustancia cualquiera.
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_part%C3%ADculas
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81tomo
https://es.wikipedia.org/wiki/Mol%C3%A9cula
https://es.wikipedia.org/wiki/Mol
6. Clasificación de los errores
ERROR
3. Errores numéricos: Aparecen con el uso de aproximaciones para representar 
cantidades. Estos errores incluyen los de truncamiento y de redondeo.
Ej, pi. 3.141592653589793238462643 → 3.1416
Error de truncamiento: Ej. Cuando una calculadora básica sólo toma en cuenta los dígitos 
que cabe en la pantalla y no se analiza el primer dígito perdido.
Error de redondeo: Ej. Al usar 1/3 =0.333 se comete un error de redondeo.
6. Clasificación de los errores
ERROR
4. Errores de operación.- se originan durante las operaciones cuando utilizamos números
aproximados.
Área de un circulo diámetro 2: A= pi*d2/4
5. Errores residuales.- originado por la presencia de procesos infinitos en el análisis 
matemático, ej serie de Taylor
7. Errores en las operaciones
7. Errores en las operaciones
Errores de la suma y resta.
Si se conocen los errores absolutos: ∆𝑎1, ∆𝑎2……∆𝑎𝑛.
El error total de la suma y resta será:
∆𝑎 = ∆𝑎1 + ∆𝑎2+. . . +∆𝑎𝑛
Ejm.
Hallar la suma exacta de A+B:
C= A+B= 325,21 + 32,43 = 357,64
Δc= 0,02+0,01= 0,03
Valor exacto = C= A+ B = 357,64 ± 0,03
A= 325,21 ± 0,02
B= 32,43 ± 0,01
7. Errores en las operaciones
Errores de la suma y resta.
Si se conocen los errores absolutos: ∆𝑎1, ∆𝑎2……∆𝑎𝑛.
El error total de la suma y resta será:
∆𝑎 = ∆𝑎1 + ∆𝑎2+. . . +∆𝑎𝑛
Ejm.
Hallar la resta exacta de A+B:
A= 325,21 ± 0,02
B= 32,43 ± 0,01
C= A- B= 325,21 - 32,43 = 292,78
Δc= 0,02+0,01= 0,03
Valor exacto = C= A- B = 292,78 ± 0,03
7. Errores en las operaciones
Errores del Producto: Se requiere la aplicación de errores relativos.
𝛿𝑎 = 𝛿𝑎1 + 𝛿𝑎2
A= 241,25 ± 0,02
B= 19,74 ± 0,03
𝛿a=
0,02
241,25
= 8,29𝑥10−5
𝛿b=
0,03
19,74
= 1,5197𝑥10−3
𝛿c= 𝛿a+ 𝛿b= 1,6026 𝑥10−3
Δc= (4762,275)(1,6026 𝑥10−3)=7,632
Valor exacto = C=(A)(B)=4762,275 ± 7,632
C=(A)(B)=4762,28 ± 7,632
C= A.B= (241,25) (19,74) 
= 4762,275
7. Errores en las operaciones
Errores del Cociente: Se requiere la aplicación de errores relativos.
𝛿𝑎 = 𝛿𝑎1 + 𝛿𝑎2
A= 241,25 ± 0,02
B= 19,74 ± 0,03
C= A/B= (241,25) /(19,74) 
= 12,2214
𝛿a=
0,02
241,25
= 8,29𝑥10−5
𝛿b=
0,03
19,74
= 1,5197𝑥10−3
𝛿c= 𝛿a+ 𝛿b= 1,6026 𝑥10−3
Δc= (4762,275)(1,6026 𝑥10−3)=7,632
Valor exacto = C=(A)/(B)=12,2214 ± 7,632
C=(A)/(B)=12,22 ± 7,632
UNIDAD 2: 
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO 
LINEALES
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Una ecuación con 1 incógnita se puede representar de la forma:
ϕ(x)=g(x) ϕ(x)-g(x)=0
Definida sobre un conjunto numérico “x” llamado domino de valores
admisibles de la ecuación.
El conjunto de valores de “x” con los cuales la ecuación se transforma
en identidad se denomina solución de la ecuación, y cada valor de x
de este conjunto se denomina raíz de la ecuación.
Resolver una ecuación implica hallar el conjunto (finito o infinito) de
todas las raíces de dicha ecuación.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
El conjunto de varias ecuaciones con varias incógnitas se llama 
sistema de ecuaciones, y su solución es el conjunto de valores 
(raíces) de estas incógnitas que convierten en identidad a cada 
ecuación del sistema.
X2+y=5 x=2 22+1=5 
X+y2=3 y=1 2+12=3
Las raíces de una ecuación pueden ser:
reales y no reales (complejas)
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Ecuación algebraica: con una incógnita
a0x
n + a1x
n-1 + a2x
n-2+…….+ an-1x+ an=0
Funciones trascendentes: 
Exponencial ax 
Logarítmica logax
Trigonométricas senx , cosx , tgx, ctgx
Ecuaciones algebraicas y funciones trascendentes cuyo grado
supera el primero suelen llamarse ecuaciones no lineales.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Este capítulo sobre raíces de ecuaciones se ocupa de métodos que
aprovechan el hecho de que una función cambia de signo en la
vecindad de una raíz.
A estas técnicas se les llama métodos cerrados, o de intervalos,
porque se necesita de dos valores iniciales para la raíz.
Como su nombre lo indica, dichos valores iniciales deben “encerrar”,
o estar a ambos lados de la raíz.
Los métodos particulares descritos aquí emplean diferentes
estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y
así converger a la respuesta correcta.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Como preámbulo de estas técnicas se analizarán los métodos
gráficos de separación de raíces para representar tanto las funciones
como sus raíces.
Además de la utilidad de los métodos gráficos para determinar
valores iniciales, también son útiles para visualizar las propiedades
de las funciones y el comportamiento de los diversos métodos
numéricos.
Así mismo, se tratarán los Métodos: Analíticos, de Bisección y de la
regla falsa.
MÉTODO DE SEPARACIÓN DE RAÍCES
SEPARACIÓN DE RAÍCES
Separar las raíces quiere decir partir todo el dominio de los valores
admisibles en segmentos en cada uno de los cuales existe una sola
raíz.
Método gráfico:
Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la
ecuación f(x) = 0 consiste en graficar la función y observar dónde
cruza el eje x.
Este punto, que representa el valor de x para el cual f(x) = 0, ofrece
una aproximación inicial de la raíz.
SEPARACIÓN DE RAÍCES
Método gráfico:
En la figura, se ve que la función tiene 2 raíces: una negativa en x1
entre [-1 y 0] y otra positiva en x2 entre [1 a 2].
SEPARACIÓN DE RAÍCES
Método gráfico:
Ejercicio:
Determinar gráficamente en Geogebra entre qué números enteros
están encerradas las raíces de la ecuación: x3 -3x-1=0
SEPARACIÓN DE RAÍCES
Método gráfico:
Ejercicio:
Determinar gráficamente en Geogebra,
entre qué números enteros están
encerradas las raíces de la ecuación:
x3 -3x-1=0
SEPARACIÓN DE RAÍCES
Método gráfico:
Ejercicio:
Utilice el método gráfico para determinar el coeficiente de arrastre c
necesario para que un paracaidista de masa m = 68.1 kg tenga una
velocidad de 40 m/s después de una caída libre de t = 10 s.
Nota: La aceleraciónde la gravedad es 9.8 m/s2.
Ecuación obtenida a partir de la segunda ley de Newton, para la velocidad del
paracaidista:
SEPARACIÓN DE RAÍCES
Método gráfico:
Ejercicio:
Utilice el método gráfico para
determinar el coeficiente de arrastre
c necesario para que un paracaidista
de masa m = 68.1 kg tenga una
velocidad de 40 m/s después de una
caída libre de t = 10 s.
Nota: La aceleración de la gravedad
es 9.8 m/s2.
SEPARACIÓN DE RAÍCES
Método gráfico:
Ejercicio:
Utilice el método gráfico para
determinar el coeficiente de arrastre
c necesario para que un paracaidista
de masa m = 68.1 kg tenga una
velocidad de 40 m/s después de una
caída libre de t = 10 s.
Nota: La aceleración de la gravedad
es 9.8 m/s2. rpta= 14,8
SEPARACIÓN DE RAÍCES
Método Analítico:
Si una función f(x) es continua sobre el segmento [xa, xb], entonces
en este segmento siempre hay puntos en los cuales ella toma los
valores máximos y mínimos, y para determinarlos es necesario:
• Determinar los ptos críticos de la función
• Calcular los valores de la función en los ptos críticos y en los
extremos del segmento [a,b]
• El mayor de los valores hallados anteriormente, será el máximo de
la función en el segmento y el menor será el valor mínimo.
SEPARACIÓN DE RAÍCES
Método Analítico:
De acuerdo a esto se tiene el siguiente procedimiento a seguir:
• Hallar f ´(x), o sea, la primera derivada y calcular la raíz.
• Hacer una tabla de signos de f(x), suponiendo x igual a:
a) Los valores críticos (raíces) de la derivada o próximos a ellos
b) 3 valores de frontera (según dominio de valores admisibles x)
• Determinar los intervalos en cuyos extremos f(x) toma los valores
de signo contrario. Dentro de estos intervalos se analiza si
contiene, cada vez, una y solo una raíz o si representa el cambio de
pendiente.
SEPARACIÓN DE RAÍCES
Método Analítico:
Ejercicio:
Separar las raíces de la ecuación:
F(x)=x3-6x+2
• Hallar f ´(x), o sea, la primera
derivada y calcular la raíz.
• Hacer una tabla de signos de f(x)
• Determinar los intervalos en
cuyos extremos f(x) toma los
valores de signo contrario.
Rpta 3 raíces
3𝑥2 − 6 = 0
𝑥 = 1.414
-2 -1 0 2 3 1.414
F(x)=x3-6x+2 +6 +7 +2 -2 -7 -3.655
3x2-6 = 0 +6 -3 -6 +6 +21 0
SEPARACIÓN DE RAÍCES
Método Analítico:
Lección:
Separar las raíces de la ecuación:
F(x)= 2x-5x-3
F′(x)=2𝑥𝑙𝑛2 − 5 = 0
MÉTODO DE BISECCIÓN
MÉTODO DE BISECCIÓN
Método de Bisección
Base: Una función cambia de signo en 
la proximidad de una raíz
•Una raíz está acotada en el intervalo 
[a1,b1] si el signo de F(a1) es diferente al 
signo de F(b1)
•La precisión del acercamiento a la raíz 
se denota con , número positivo 
suficientemente pequeño cercano a 0
MÉTODO DE BISECCIÓN
Algoritmo:
1. Selecciona un intervalo [a1,b1] donde 
exista un cero
2. Calcula el punto medio c1 como nuevo 
punto: 𝑪𝟏 = 𝑎1+𝑏1
2
3. Comprueba si hay cambio de signo en 
[a1, c1] o en [c1, b1]. Comprobación: 
f(a1)*f(c1)<0 ; b1=c1
f(a1)*f(c1)>0; a1=c1
4. Si el producto es cero, entonces c1 es una 
raíz. Si no es cero volver al punto 2.
c1
Iteración 1 con c1
Iteración n, donde: 
f(cn) < 
c2 c3
Iteración 2 con c2
Iteración 3 con c3 
MÉTODO DE BISECCIÓN
Ejemplo 1: Determinar la menor raíz positiva de la
ecuación:
𝑓 𝑋 = 𝑋4 − 2𝑋3 − 4𝑋2 + 4𝑋 + 4
con una precisión =0,00001
MÉTODO DE BISECCIÓN
Iter a1 f(a1) b1 cn f(cn) f(a1)*f(cn)
1 1 3 1,8 1,4 0,1136 +
2 1,4 0,1136 1,8 1,6 -1,4784 -
3 1,4 0,1136 1,6 1,5 -0,6875 -
4 1,4 0,1136 1,5 1,45 -0,286744 -
5 1,4 0,1136 1,45 1,425 -0,086343 -
6 1,4 0,1136 1,425 1,4125 0,013707 +
7 1,4125 0,013707 1,425 1,41875 -0,036301 -
8 1,4125 0,013707 1,41875 1,415625 -0,041292 -
9 1,4125 0,013707 1,415625 1,4140625 0,0012084 +
--- --- --- --- --- --- ---
19 1,414212 1,22x10-5 1,414215 1,414213562 2,89x10-9 +
Ejemplo: Determinar la menor raíz positiva de la ecuación:
𝑓 𝑋 = 𝑋4 − 2𝑋3 − 4𝑋2 + 4𝑋 + 4
con una precisión =0,00001
f(cn) < 
2,89x10-9<0.00001
MÉTODO DE BISECCIÓN
Separar las raíces de la ecuación:
Iter a1 f(a1) b1 cn f(cn) f(a1)*f(cn)
19 1,414212 1,22x10-5 1,414215 1,414213562 2,89x10-9 +
f(cn) < 
2,89x10-9<0.00001
MÉTODO DE BISECCIÓN
Ejercicio: Determinar la menor raíz positiva de la ecuación:
𝑓 𝑋 = 𝑒𝑥 − 2 con una precisión =0,06
a1 cn b1 fa fc
0 1 2 -1 0,7182
0 0,5 1 -1 -0,3513
0,5 0,75 1 -0,3513 0,117
0,5 0,625 0,75 -0,3513 -0,132
0,625 0,6875 0,75 -0,132 -0,0113
0,6875 0,71875 0,75 -0,0113 0,05186
Matlab
Características.
 Lenguaje de alto nivel para cálculo numérico y desarrollo de
aplicaciones.
 Cuenta con funciones matemáticas para algebra lineal
estadística, integración numérica, resolución de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
 gráficos integrados para visualización de datos y herramientas
para crear gráficos personalizados.
 Herramientas de desarrollo para mejorar la calidad del código.
 Herramientas para creación de aplicaciones con interfaces
graficas personalizadas.
 funciones para integrar algoritmos con aplicaciones externas
como c java Excel.
Matlab
Comand Window
Ventana donde se ejecutan interactivamente las
instrucciones, y donde se muestran los resultados
correspondientes. Es la ventana más importante.
Lo caracteriza el prompt o aviso. Programa
preparado para recibir instrucciones. Ingreso de variables.
a=3 enter
…b=6 enter….
c=3 enter…. 
d =a+b+c enter
a=3; enter… que sucede.?
a=3; b=6; c=9; d=a+b+c …. Enter
Matlab
WORKSPACE
En esta ventana se lista las
variables que en un
determinado momento se
están utilizando. Se pueden ver
las variables antes utilizadas.
Click derecho en una variable
se puede cambiar de nombre.
Característica importante,
MATLAB trata las variables
como arrays o matrices, en
este caso de 1x1
Matlab
Editor debugger.
Ventana en la que el usuario, puede escribir o crear sus propios programas en
archivos con extensión .m. New Script.
Contienen conjuntos de comandos o definición de funciones. Se logra
ejecutar uno tras otro todos los comandos contenidos en este tipo de fichero.
Limpiar variables.
Clear all
Clc
Matlab
Vectores o matrices.
Vectores fila elementos separados por espacios o coma. v= [2 3 4]
Vector columna.- separados por punto y coma; m= [3 4 5; 6 7 8; 9 10 11]
Crear dos matrices distintas, probar operaciones.
Matlab
Graficas
>> x=[-2:0.01:2];
>> y=sin(x)+cos(x)*2;
>> plot(x,y)
x=[-5:0.01:5];
y=3*x.^3+2*x-17;
z=zeros(size(x));
grid on
hold on
plot (x,y)
Matlab
ALGORITMOS
EJEMPLO:
Programa que calcula error absoluto, relativo y valor aproximado de las 
cifras significativas
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Aún cuando la bisección es una técnica
perfectamente válida para determinar raíces, su
método de aproximación por "fuerza bruta" es
relativamente ineficiente.
La falsa posición es una alternativa basada en
una visualización gráfica que consiste en unir
f(a1) y f(b1) con una línea recta. La intersección
de esta línea con el eje de las x representa una
mejor aproximación de la raíz.
El hecho de que se reemplace la curva por una
línea recta de una "falsa posición" de la raíz da
el nombre de método de la falsa posición, o en
latín, regula falsi. También se le conoce como
método de interpolación lineal.
f(a1)
f(b1)
a1
b1
ai an
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Usando triángulos semejantes, y haciendo
algunos arreglos matemáticos, la intersección
de la línea recta con el eje de las x se estima
mediante:
f(a1)
f(b1)
a1
b1
ai𝑎2 = 𝑏1 −
ሻ𝑓 𝑏1 . (𝑎1 − 𝑏1
ሻ𝑓 𝑎1 − 𝑓(𝑏1
f(b1)
an
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
f(a1)
f(b1)
a1
b1
ai
Algoritmo:
1. Se escogen los valores iniciales a1 y b1, que 
encierran la raíz
2. Determinar la primera aproximación a2:
3. Realizar las evaluaciones (una sola vez, en la 
primera iteración.)
f(a1)*f(ai)<0 raíz en primer intervalo
f(a1)*f(ai)>0 raíz en segundo intervalo
f(a1)*f(ai)=0 raíz encontrada
an
𝑎i = 𝑏1 −
ሻ𝑓 𝑏1 . (𝑎1 − 𝑏1
ሻ𝑓 𝑎1 − 𝑓(𝑏1
f(b1)
4.- Se realiza una nueva aproximación hasta que sealcance la tolerancia especificada
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Ejemplo 1. Aproximar la raíz de f(x) = e-x-ln(x)
Hasta que el error relativo porcentual sea menor al 1%
Considerar un intervalo (a1, b1) en el que 
se garantice que la función tiene raíz (y que 
sea única), en este caso sirve [1, 1.5].
Se obtiene el punto de intersección de 
esta recta con el eje de las abscisas: 
(ai, 0); se toma ai como aproximación 
de la raízbuscada.
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Ejemplo 1. Aproximar la raíz de f(x) = e-x-ln(x)
Hasta que el error relativo porcentual sea menor al 1%
𝑎i = 𝑏1 −
ሻ𝑓 𝑏1 . (𝑎1 − 𝑏1
ሻ𝑓 𝑎1 − 𝑓(𝑏1
𝑎i = 1.5 −
ሻ𝑓 1.5 . (1 − 1.5
ሻ𝑓 1 − 𝑓(1.5
𝑎i = 1.5 −
ሻ−0,182335 . (−0.5
ሻ0,367879 − (−0,182335
𝑎i = 1.334306
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Ejemplo 1. Aproximar la raíz de f(x) = e-x-ln(x)
Hasta que el error relativo porcentual sea menor al 1%
-Se evalúa f(ai) y f(a1) para determinar en cuál 
de los dos intervalos está la raíz:
f(1.334306) = e- (1.334306) - ln (1.334306) = -0.025070
𝑎i = 1.334306
f(1) = e- (1.334306)
𝑎1 = 1
- ln (1) = 𝟎, 𝟑𝟔𝟕𝟖𝟕𝟗
f(a1)*f(ai)<0 raíz en primer intervalo
Dado que f(1) * f(1.334306) < 0
-0,009222< 0  La raíz está en el intervalo [ 1 , 1.334306 ].
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Ejemplo 1. Aproximar la raíz de f(x) = e-x-ln(x)
Hasta que el error relativo porcentual sea menor al 1%
En este punto, vemos que todavía no podemos
calcular ningún error relativo, puesto que
solamente tenemos la primera aproximación.
El valor ai se convierte en el nuevo b1.
Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo
[ 1,1.334306 ]
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Ejemplo 1. Aproximar la raíz de f(x) = e-x-ln(x)
Hasta que el error relativo porcentual sea menor al 1%
𝑎i = 𝑏1 −
ሻ𝑓 𝑏1 . (𝑎1 − 𝑏1
ሻ𝑓 𝑎1 − 𝑓(𝑏1
𝑎i = 1.334306 −
ሻ𝑓 1.334306 . (1 − 1.334306
ሻ𝑓 1 − 𝑓(1.334306
= 1.312977
Aquí podemos calcular el error relativo porcentual, puesto que contamos ya con la aproximación nueva
y la aproximación anterior:
Erp = * 100% = 1.62%
ai nueva - ai anterior
ai nueva
Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Ejemplo 1. Aproximar la raíz de f(x) = e-x-ln(x)
Hasta que el error relativo porcentual sea menor al 1%
Se evalúa f(xr) para determinar en cuál de los dos intervalos está la raíz:
f(1.312977) = e- (1.312977) -
Dado que f(a1) * f(ai) < 0
ln (1.312977) = -0.003279
 La raíz está en el intervalo [ a1 ,ai].
f(1) * f(1.312977) < 0  La raíz está en el intervalo [ a1, ai].
Dado que (0.367879) * (-0.003279) < 0  La raíz está en el intervalo [ 1 , 1.312977 ].
El valor ai se convierte en el nuevo b1.
Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo [ 1 , 1.312977 ]
Con ese nuevo intervalo y aplicando la expresión, La nueva ai= 1.310211
y el nuevo Erp = 0,21% < 1% y aquí se termina el proceso.
Entonces se toma como aproximación a la raíz ai = 1.310211
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Ejercicio. Obtener una solución única de
en el intervalo [1,2] mediante el método de la regla falsa
𝒇 𝑿 = 𝑿𝟑 + 𝟒𝑿𝟐 − 𝟏𝟎
Iteración a1 F(a1) b1 F(b1) ai F(ai)
1 1 -5 1,5 2,375 1,33898305 -0,4278675
2
3
4
5
6
7
𝑎i = 𝑏1 −
ሻ𝑓 𝑏1 . (𝑎1 − 𝑏1
ሻ𝑓 𝑎1 − 𝑓(𝑏1
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Ejercicio. Obtener una solución única de
en el intervalo [1,2] mediante el método de la regla falsa
𝒇 𝑿 = 𝑿𝟑 + 𝟒𝑿𝟐 − 𝟏𝟎
Iteración a1 F(a1) b1 F(b1) ai F(ai)
1 1 -5 1,5 2,375 1,33898305 -0,4278675
2
3
4
5 1,36523002
6 1,36523001
7 1,36523001
𝑎i = 𝑏1 −
ሻ𝑓 𝑏1 . (𝑎1 − 𝑏1
ሻ𝑓 𝑎1 − 𝑓(𝑏1
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Al inicio de éste tema referente a la solución de ecuaciones
no lineales, se mencionaron los Métodos que usan
intervalos cerrados como son los de Bisección y Regla falsa
Ventajas: siempre convergen
Desventajas: Son lentos
MÉTODOS ABIERTOS
Al contrario, los métodos abiertos se basan en fórmulas que requieren de un
solo valor de x, o de un par de ellos que no necesariamente encierran la raíz. A
veces divergen o se alejan de la raíz a medida que aumentan las iteraciones.
Pero cuando convergen en general lo hacen mucho más rápido que los
métodos que usan intervalos.
Método de Newton-Raphson.
Método de la Secante.
Aproximaciones sucesivas
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Método de Newton-Raphson
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Este método es uno de los más utilizados para
localizar raíces ya que en general es muy eficiente
y siempre converge para una función polinomial.
Se requiere que las funciones sean diferenciables,
y por tanto, continuas, para poder aplicar este
método.
Se debe partir de un valor inicial para la raíz: 𝑥𝑖 ,
este puede ser cualquier valor, el método
convergirá a la raíz mas cercana, es decir se pude
trazar una tangente desde el punto 𝑥𝑖 , 𝑓 𝑥𝑖 de
la curva.
Si se extiende una tangente desde el punto
𝑥𝑖 , 𝑓 𝑥𝑖 , el punto donde esta tangente cruza al
eje x representa una aproximación mejorada de la
raíz r.
Método de Newton-Raphson
𝒙𝒊 , 𝒇 𝒙𝒊
• La fórmula de Newton-Raphson se deduce a partir de la fórmula de la pendiente de una recta.
Pendiente de una recta:
Se conoce como fórmula de Newton – Rapshon.
Método de Newton-Raphson
𝑋𝑖+1 = 𝑋𝑖 −
ሻ𝑓(𝑋𝑖
𝑓′ 𝑋𝑖
𝑚 = 𝑓′ 𝑋𝑖
Ejercicio: precisar hasta = 0,000001 la raíz de la ecuación , situada sobre el
segmento [0 ; 1].
-Escojo una coordenada en X dentro del intervalo y evaluo f(x): X=0,6f(x)=-0,504 punto 𝑥𝑖 , 𝑓 𝑥𝑖 =[0.6 ; -0,504]
-Se determina la primera derivada:
-Se aplica la fórmula:
Y así sucesivamente hasta alcanzar la precisión deseada.
Método de Newton-Raphson
𝑋𝑖+1 = 𝑋𝑖 −
ሻ𝑓(𝑋𝑖
𝑓′ 𝑋𝑖
= 0,6 −
(0,6ሻ3+3(0,6ሻ2−3(0,6ሻ
3(0,6ሻ2+6(0,6ሻ−3
=0,9
𝑓 𝑋 = 𝑋3 + 3𝑋2 − 3𝑥
𝑓′ 𝑋 = 3𝑋2 + 6𝑋 − 3
𝑥𝑖 , 𝑓 𝑥𝑖
𝑋𝑖+1 = 𝑋𝑖 −
ሻ𝑓(𝑋𝑖
𝑓′ 𝑋𝑖
= 0,9 −
(0,9ሻ3+3(0,9ሻ2−3(0,9ሻ
3(0,9ሻ2+6(0,9ሻ−3
=0,80496894
Iteración Xi F(xi) F’(xi) Xi+1 F(xi+1)
1 0,6 -0,504 1,68 0,9 0,459
2 0,9 0,459 4,83 0,80496894 0,05061792
3
4 0,79128795
5 0,79128785
Ejercicio: precisar hasta = 0,000001 la raíz de la ecuación , situada sobre el
segmento [0 ; 1].
• Se puede observar que |Xfinal5-Xfinal4|=|0,79128785-0,79128795|
= 0,0000001
Por lo tanto 0,0000001< 
Método de Newton-Raphson
𝑓 𝑋 = 𝑋3 + 3𝑋2 − 3𝑥
𝑥𝑖 , 𝑓 𝑥𝑖
Iteración Xi F(xi) F’(xi) Xi+1 F(xi+1)
1 0,6 -0,504 1,68 0,9 0,459
2 0,9 0,459 4,83 0,80496894 0,05061792
3
4 0,79128795
5 0,79128785
Método de la Secante
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Un problema que presenta el
método de Newton Raphson es
que existen algunas derivadas
que no son muy fáciles de
evaluar.
El método de la secante, es otro
método para aproximar el cero
de una función en el que en
cada iteración se evalúa la
función y no la derivada.
Se puede aproximar la derivada
mediante una diferencia.
El método de la secante usa una
diferencia en vez de la derivada,
para aproximar la pendiente.
Método de la Secante
• Se deriva del método de 
Newton-Raphson
• Se aproxima la derivada 
mediante diferencia 
finita dividida hacia atrás
)(
)(
1
i
i
ii
xf
xf
xx


ii
ii
i
xx
xfxf
xf





1
1 )()()(
Método de la Secante
• Se obtiene la fórmula de la secante:
• Se observa que este método requiere 2 valores 
iniciales de x. 
• Sin embargo, no se necesita que f(x) cambie de 
signo, por lo que no es un método cerrado.
)()(
))((
1
1
1
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx






Método de la Secante
Algoritmo para la Secante
1) Se dan 2 valores: Xi y Xi-1
2) Se calcula f(xi) y f(xi-1)
3) Se obtiene Xi+1 mediante la fórmula de 
la secante:
4) Se vuelve al paso 2 para encontrar una 
nueva raíz
Método de la Secante
)()(
))((
1
1
1
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx






Diferencia entre Secante y Falsa Posición
• Si recordamos la fórmula 
de la falsa posición:
• Y vemos la fórmula de la 
secante:
)()(
))((
ul
ulu
ur
xfxf
xxxf
xx



)()(
))((
1
1
1
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx






Método de laSecante
Diferencia entre Secante y Falsa Posición
• Se diferencian por 
la forma en que 
uno de los valores 
iniciales se 
reemplaza con la 
aproximación.
Método de la Secante
Ejemplo:
-Determine la menor raíz real de:
a) Gráficamente
b) Usando el método de la secante para un valor 
de Erpcon tres cifras significativas
32 5.2172211)( xxxxf 
Método de la Secante
a) Gráficamente: 4.0x
32 5.2172211)( xxxxf b) Por el método de la secante (Erp<0.05%):
Iter xi-1 xi F(xi) F(xi+1) xi+1=ai Erp(%)
1 -1 0 30,5 -11 -0.2651 -
2 0 -0.2651 -0.4123 35.7
3 -0.2651 -0.4123 -0.3793 8.7
4 -0.4123 -0.3793 -0.3813 0.52
5 -0.3793 -0.3813 -0.3813 0.004
Método de la Secante
1) Se dan 2 valores: Xi y Xi-1  [Xi y Xi-1 ] = [-1 y 0]
2) Se calcula f(xi) y f(xi-1)  f[-1 y 0]=[30,5 y -11]
3) Se obtiene Xi+1 mediante 
la fórmula de la secante:
2651.0
)5.3011(
))1(0)(5.30(
1 



)()(
))((
1
1
1
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx






4) Se vuelve al 
paso 2 para 
encontrar una 
nueva raíz:
Ejercicio:
-Usando el método de la secante, 
precisar hasta E=0,00001 la raíz de la 
ecuación: 
situada sobre el segmento [0;1]
-Se pueden tomar valores mayores o
menores aproximados a la raíz.
-Trabajar con 9 cifras significativas 
aproximadas
3233)( xxxxf 
Método de la Secante
Ejercicio:
Raíz en [0;1] 
E=0,00001
3233)( xxxxf 
Método de la Secante
Iter xi-1 xi F(xi) F(xi+1) xi+1=ai Erp(%)
1 0,6 0,7
2
3
4
5
)()(
))((
1
1
1
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx






Ejercicio:
R=0,79128785
-0,000000056268 < 0,00001
3233)( xxxxf 
Método de la Secante
Iter xi-1 xi F(xi) F(xi+1) xi+1=ai Erp(%)
1 0,6 0,7
2
3
4
5 0,79128785 -5,6268E-09
Raíz en [0;1] 
E=0,00001
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Método de las Aproximaciones sucesivas
¿Qué es?
• Es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no 
necesariamente lineales. 
• En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma f(x), 
siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.
• El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación 
sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación f(x)=0 en la forma x=g(x).
• Si para cualquier función g(x) dada se puede encontrar un punto fijo, entonces cada 
problema de búsqueda de las raíces de f(x) = 0 tiene soluciones que corresponden 
precisamente a los puntos fijos de g(x)=x con g(x)=x-f(x).
• Esta transformación se lleva a cabo mediante operaciones algebraicas.
Método de las Aproximaciones sucesivas
Método de las Aproximaciones sucesivas
• Si g es una función continua en [a, b] y g(x) [a, b] para
todo x [a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo
en [a, b].
• Si además, g’(x) existe para todo x [a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1
para todo x [a, b], K constante, entonces g tiene un único
punto fijo x [a, b].
Método de las Aproximaciones sucesivas
Algoritmo
• Para encontrar una solución de p = g(p) dada una aproximación inicial po:
• ENTRADA aproximación inicial po; tolerancia TOL; numero máximo de iteraciones No.
• SALIDA solución aproximada p o mensaje de fracaso.
• Paso 1 Tomar i=1
• Paso 2 Mientras que i<=No seguir Pasos 3-6
• Paso 3 Tomar p = g(po) (calcular pi)
• Paso 4 Si |p-po|<TOL entonces
• SALIDA(p); (procedimiento completado satisfactoriamente).
• PARAR
• Paso 5 Tomar i = i + 1
• Paso 6 Tomar po = p (Redefinir po)
• Paso 7 SALIDA ("El método fracaso después de No iteraciones, No = ", No);
• (procedimiento completado sin éxito)
• PARAR
Método de las Aproximaciones sucesivas
• f(x) = x3 + 4x2 – 10 [a,b] = [1,2]
• Existen muchas maneras de cambiar la ecuación a la forma x = g(x)
• A) x=g1(x)=x - x3 - 4x2 + 10 
• B) x=g2(x)=(10/x – 4x) ½
• C) x=g3(x)=[(10 – x3) ½]/2
• D) x=g4(x)= (10/(4 + x)) ½
• E) x=g5(x)=x – [(x3 + 4x2 – 10) / (3x2 + 8x)] 
• Cabe la pena recalcar que NO TODAS estas funciones 
transformadas son convergentes
Ejemplo:
Método de las Aproximaciones sucesivas
n Pn(a) Pn(b) Pn(c) Pn(d) Pn(e)
1 -0.875 0.8165 1.286753768 1.348399725 1.373333333
2 6.732 2.9969 1.402540804 1.367376372 1.365262015
3 -469.7 (-8.65) ½ 1.345458374 1.364957015 1.365230014
4 1.03 * 108 1.375170253 1.365264748 1.365230013
5 1.360094193 1.365225594
6 1.367846968 1.365230576
7 1.363887004 1.365229942
8 1.365916733 1.365230023
9 1.364878217 1.365230012
10 1.365140061 1.365230014
15 1.365223680 1.365230013
20 1.365230236
25 1.365230006
30 1.365230013
Con p0 = 1:5, la tabla 
muestra los 
resultados del 
método para las 
cinco alternativas 
para g.
La raíz real es 
1.365230013
Método de las Aproximaciones sucesivas
Método de las Aproximaciones sucesivas
Ejercicio:
Obtener una solución única en 
el intervalo [0;1] mediante este 
método para la ecuación:
Si se toma:
y como valor inicial x=0,75 
Para 9 Cifras Significativas con aproximación
03205 3  xx
20
35 3 

x
x
Iter x g(x) F(x)
1 0,75 0,25546875 -2,02601008
2
3
4
5
6
7
Método de las Aproximaciones sucesivas
Ejercicio:
Obtener una solución única en 
el intervalo [0;1] mediante este 
método para la ecuación:
Si se toma:
y como valor inicial x=0,75 
Para 9 Cifras Significativas con aproximación
03205 3  xx
20
35 3 

x
x
Iter x g(x) F(x)
1 0,75 0,25546875 -2,02601008
2
3
4
5
6 0,15085832
7 0,15085832
SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES
Aplicación al campo de la Ingeniería
Aplicación al campo de la Ingeniería
En matemáticas, los sistemas no
lineales representan sistemas cuyo
comportamiento no es expresable como
la suma de los comportamientos de sus
descriptores. Más formalmente, un
sistema físico, matemático o de otro tipo
es no lineal cuando las ecuaciones de
movimiento, evolución o
comportamiento que regulan su
comportamiento son no lineales. En
particular, el comportamiento de
sistemas no lineales NO está sujeto
al PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN,
como lo es un sistema lineal.
Aplicación al campo de la Ingeniería
En matemáticas, los sistemas no
lineales representan sistemas cuyo
comportamiento no es expresable como
la suma de los comportamientos de sus
descriptores. Más formalmente, un
sistema físico, matemático o de otro tipo
es no lineal cuando las ecuaciones de
movimiento, evolución o
comportamiento que regulan su
comportamiento son no lineales. En
particular, el comportamiento de
sistemas no lineales NO está sujeto
al PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN,
como lo es un sistema lineal.
Aplicación al campo de la Ingeniería
“En un sistema no lineal, las entradas se combinan entre sí y producen
nuevos elementos en la salida que no estaban presentes en la entrada”.
EJEMPLO: acero-cromo-niquel. Resistencia a la tracción = 350 000 psi
ACERO Cr-Ni = Hierro + Niquel + Cromo + Carbono y otros elementos 
350000 = 60000 + 80000 + 70000 + 50000 (psi)
350000 ≠ 260000 psi
Aplicación al campo de la Ingeniería
-Material no lineales = C(e).e
-Mecánica del sólido
-Grandes desplazamientos y deformaciones
-Modelación numérica
-Resolución directa
-Elementos Finitos
-Diferencias Finitas
-Volúmenes finitos
-Ecuaciones no lineales en Ingeniería
-Problema de contacto
-Mecánica de los fluidos
-Problema de superficie libre
-La óptica no lineal.
El balanceo de un uniciclo robot.
-Las ecuaciones de campo de Einstein que
describen el campo gravitatorio dentro de la
teoría de la relatividad general.
-Las ecuaciones de Navier-Stokes de
la dinámica de fluidos, cuya complejidad las
ha convertido en un problema matemático
famoso (de hecho un problema peculiar
ligado a estas ecuaciones constituye uno de
los problemas del milenio propuestos por
el Instituto Clay).
-El sistema del tiempo atmosférico en la
Tierra.
-La ecuación de transporte de Boltzmann.
-La ecuación no lineal de Schrödinger.
-ETC.
Aplicación al campo de la Ingeniería
EJERCICIO: El rendimiento de un motor
viene dado por la siguiente ecuación:
𝑒 = 1 −
1
𝑟𝑘
𝑘−1
𝑟𝑝𝑟𝑐
𝑘−1
𝑟𝑝 − 1 + 𝑟𝑝𝑘 𝑟𝑐 −1
Si las relaciones 𝑟𝑘 = 12; 𝑟𝑝 = 4; 𝑟𝑐 =
8 y si las pérdidas son del 20%. Cuál es
el valor de k?.
NOTA: Utilice el método de la secante
Aplicación al campo de la Ingeniería
EJERCICIO: El rendimiento de un motor
viene dado por la siguiente ecuación:
𝑒 = 1 −
1
𝑟𝑘
𝑘−1
𝑟𝑝𝑟𝑐
𝑘−1
𝑟𝑝 − 1 + 𝑟𝑝𝑘 𝑟𝑐 − 1
Si las relaciones 𝑟𝑘 = 12; 𝑟𝑝 = 4; 𝑟𝑐 =
8 y si las pérdidas son del 20%. Cuál es
el valor de k?.
NOTA: Utilice el método de la secante
Reemplazando datos y graficando se 
tiene:
Aplicación al campo de la Ingeniería
EJERCICIO: El rendimiento de un motor
viene dado por la siguiente ecuación:
𝑒 = 1 −
1
𝑟𝑘
𝑘−1
𝑟𝑝𝑟𝑐
𝑘−1
𝑟𝑝 − 1 + 𝑟𝑝𝑘 𝑟𝑐 − 1
Utilizando el método de la secante:
xi-1 F(xi-1) xi F(xi) Xi+1 F(xi+1)
0.12 0.15
)()(
))((
1
1
1
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx






Aplicación al campo de la Ingeniería
EJERCICIO: El rendimiento de un motor
viene dado por la siguiente ecuación:
𝑒 = 1 −
1
𝑟𝑘
𝑘−1
𝑟𝑝𝑟𝑐
𝑘−1
𝑟𝑝 − 1 + 𝑟𝑝𝑘 𝑟𝑐 − 1
Utilizando el método de la secante:
xi-1 F(xi-1) xi F(xi) Xi+1 F(xi+1)
0.12 -0.09859332 0.15 0.01583931 0.14584752 0.00162534
0.15 0.01583931 0.14584752 0.00162534 0.14537269 -2.9928*10-5
0.14584752 0.00162534 0.14537269 -2.9928*10-5 0.14538128 -2.5521*10-8
)()(
))((
1
1
1
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx






Aplicación al campo de la Ingeniería
EJERCICIO: Una determinada sustancia
radiactiva se desintegra según la
ecuación
𝐴 = 𝑃𝑒−0.0248 𝑡
Donde P es la cantidad inicial en el
tiempo t=0 y A es la cantidad
resultante en t años. Si inicialmente se
depositan 800 mg de dicha sustancia.
¿Cuánto tiempo habrá transcurrido
para que quede el 2% de ésta?
NOTA: Utilice el método de la secante
Aplicación al campo de la Ingeniería
EJERCICIO: Una determinada sustancia
radiactiva se desintegra según la
ecuación
𝐴 = 𝑃𝑒−0.0248 𝑡
Donde P es la cantidad inicial en el
tiempo t=0 y A es la cantidad
resultante en t años. Si inicialmente se
depositan 800 mg de dicha sustancia.
¿Cuánto tiempo habrá transcurrido
para que quede el 2% de ésta?
NOTA: Utilice el método de la secante
0.02 800 = 800 𝑒−0.0248𝑡
𝑓(𝑡ሻ = 𝑒−0.0248𝑡-0,02=0
Aplicación al campo de la Ingeniería
EJERCICIO: Una determinada sustancia
radiactiva se desintegra según la
ecuación
𝐴 = 𝑃𝑒−0.0248 𝑡
Utilizando el método de la secante:
0.02 800 = 800 𝑒−0.0248𝑡
𝑓(𝑡ሻ = 𝑒−0.0248𝑡-0,02=0
ti-1 f(ti-1) ti f(ti) ti+1 f(ti+1)
150 200
)()(
))((
1
1
1
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx






Aplicación al campo de la Ingeniería
EJERCICIO: Una determinada sustancia
radiactiva se desintegra según la
ecuación
𝐴 = 𝑃𝑒−0.0248 𝑡
Utilizando el método de la secante:
0.02 800 = 800 𝑒−0.0248𝑡
𝑓(𝑡ሻ = 𝑒−0.0248𝑡-0,02=0
ti-1 f(ti-1) ti f(ti) ti+1 f(ti+1)
150 0.00423396 200 -0.01298707 162.292995 -0.00213419
200 -0.01298707 162.292995 -0.00213419 154.87801 0.00147266
162.292995 -0.00213419 154.87801 0.00147266 157.90551 -8.0515*10-5
154.87801 0.00147266 157.90551 -8.0515*10-5 157.748567 -2.8337*10-6
157.90551 -8.0515*10-5 157.748567 -2.8337*10-6 157.742842 5.7198*10-9
)()(
))((
1
1
1
ii
iii
ii
xfxf
xxxf
xx






Entonces, el tiempo para que la fuente se reduzca al 2% es t= 157,742842 años
UNIDAD 3: MÉTODOS PARA LA 
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES.
Algebra matricial.
Métodos de eliminación:
• Eliminación simple Gauss 
• Gauss Jordan.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
A continuación se usarán métodos para determinar los valores de x1, x2, …, xn, que
satisfagan simultáneamente un conjunto de ecuaciones.
x+2=4
Los métodos numéricos vistos con
anterioridad nos sirven para
determinar el valor de x que satisface
a una sola ecuación, f(x) = 0.
Un momento, ¡¡ usted dijo ayer que la x valía 2!!
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Introducción Histórica
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las
incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación
con problemas de medida.
Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en
los siguientes términos:
1/4 anchura + longitud = 7 manos 
longitud + anchura = 10 manos 
•Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución
podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de
eliminación.
En nuestra notación, sería:
y + 4x = 28 
y + x = 10
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Matrices 
Una matriz consta de un arreglo rectangular de elementos
representados por un símbolo simple. [A] es la notación abreviada
para la matriz, y aij representa un elemento individual de la
matriz. Normalmente i se refiere a la fila del elemento, y j a la
columna.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Un sistema de ecuaciones se puede representar de varias formas.
a.- Forma desarrollada
𝑎11𝑋1 + 𝑎12𝑋2 +⋯………𝑎1𝑛𝑋𝑛 = 𝐶1
𝑎21𝑋1 + 𝑎22𝑋2 +⋯………𝑎2𝑛𝑋𝑛 = 𝐶2
𝑎𝑚1𝑋1 + 𝑎𝑚2𝑋2 +⋯………𝑎𝑚𝑛𝑋𝑛 = 𝐶𝑛
Donde: a=coeficientes de las incógnitas
c= términos independientes
X1, X2….. Xn= incógnitas
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Un sistema de ecuaciones se puede representar de varias formas.
a.- Forma desarrollada
𝑎11𝑋1 + 𝑎12𝑋2 +⋯………𝑎1𝑛𝑋𝑛 = 𝐶1
𝑎21𝑋1 + 𝑎22𝑋2 +⋯………𝑎2𝑛𝑋𝑛 = 𝐶2
𝑎𝑚1𝑋1 + 𝑎𝑚2𝑋2 +⋯………𝑎𝑚𝑛𝑋𝑛 = 𝐶𝑛
Como paso previo a resolverlo necesitamos saber:
- si hay solución única (compatible determinado)
- si no hay solución (incompatible)
- si hay infinitas soluciones (compatible indeterminado)
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Un sistema de ecuaciones se puede representar de varias formas.
𝑎11𝑋1 + 𝑎12𝑋2 +⋯………𝑎1𝑛𝑋𝑛 = 𝐶1
𝑎21𝑋1 + 𝑎22𝑋2 +⋯………𝑎2𝑛𝑋𝑛 = 𝐶2
𝑎𝑚1𝑋1 + 𝑎𝑚2𝑋2 +⋯………𝑎𝑚𝑛𝑋𝑛 = 𝐶𝑛
b.- Forma matricial
M= 
𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛
X= 
𝑋1
𝑋2
𝑋3
C= 
𝐶1
𝐶2
𝐶𝑛
Matriz de coeficientes Vector incógnitas Vector términos independientes
Matricialmente el 
sistema se expresa:
M . X = C
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Transformaciones elementales.
a.- Intercambio de filas o columnas
𝑥1 + 7𝑥2 − 3𝑥3 = −51
−4𝑥2 + 4𝑥1 + 9𝑥3 = 61
3𝑥3 − 𝑥2 + 12𝑥1 = 8
12𝑥1 − 𝑥2 + 3𝑥3 = 8
𝑥1 + 7𝑥2 − 3𝑥3 = −51
4𝑥1 − 4𝑥2 + 9𝑥3 = 61
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Transformaciones elementales.
b.- Multiplicación de todos los elementos de una fila o 
columna por un mismo número distinto de cero.
4 ∗ 𝑥1 + 7𝑥2 − 3𝑥3 = −51
4𝑥1 + 28𝑥2 − 12𝑥3 = −204
c.- Operaciones de suma o resta entre 2 filas o columnas.
4x1 + 28x2 - 12x3 = -204
- ( 4x1 - 4x2 + 9x3 = 61 )
32x2 - 21x3 = -265
Suma y Resta de Matrices 
Se pueden efectuar suma y resta de matrices, si tienen las mismas dimensiones. Al sumar o 
restar dos matrices [A] y [B], el resultado se mostrará en la matriz [C], y se calcula: cij = aij ± bij
Producto de Matrices 
Para multiplicar una matriz [A] por un escalar g, se multiplica cada elemento de [A] por g. 
Para multiplicar dos matrices [A] y [B], la dimensión de columnas de [A] debe ser igual a la 
dimensión de filas de [B].
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Producto de Matrices 
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Eliminación Gaussiana Simple 
Se usa para resolver un conjunto de n 
ecuaciones.
1. Se divide la 1ra fila entre el coeficiente de la 1ra 
incógnita (Normalización) 
2. Se multiplica la 1ra fila por el coeficiente de la 1ra 
incógnita de la 2da fila. 
3. Se resta la 1ra fila a la 2da fila. 
4. El proceso se repite hasta que se elimina la 1ra 
incógnita de las ecuaciones restantes. 
5. Se repite para el resto de las ecuaciones. 
6. Se repite para el resto de las incógnitas. 
La fórmula general queda así: 
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Eliminación Gaussiana Simple 
• Ejm 1: 
3x+2y+z=1
5x+3y+4z=2
X+y-z=1
Compatible determinado
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Eliminación Gaussiana Simple 
• Ejm 2: 
Compatible 
indeterminado
SOLUCIÓN DE SISTEMASLINEALES
Eliminación Gaussiana Simple 
• Ejm 3: 
Incompatible 
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Eliminación Gaussiana Simple 
• Ejm 4: 
4𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 + 3𝑥4 = −9
2𝑥1 + 5𝑥2 + 2𝑥3 + 2𝑥4 = 6
3𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 = −11
2𝑥1 − 3𝑥2 − 4𝑥3 + 5𝑥4 = 17
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Eliminación Gaussiana Simple 
• Ejm 5: 
x+y+z=1
2x+3y-4z=9
x-y+z=-1
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Eliminación Gaussiana Simple 
• Ejm 6: 
4x+y-2z=-3
3x-y+4z=-2
-x+y+z=5
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Eliminación Gaussiana Simple 
• Ejm 7: 
−3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
X-2y+z=4
-x+y-3z=-7
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Eliminación Gaussiana Simple 
• EJERCICIO 8 : Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres
metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del metal A, 20 g del B y 60
del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero
contiene 20 g de A, 40 g de B y 40 g de C. Queremos elaborar, a partir de
estos lingotes, uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de
C.¿Cuántos gramos hay que coger de cada uno de los tres lingotes?
• Resumimos en una tabla los datos que nos dan:
• Llamamos x a los gramos que tenemos que coger del primer lingote, y a los del segundo
lingote y z a los del tercero.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Eliminación Gaussiana Simple 
• EJERCICIO 8 :
Método de Gauss Jordan.
Método de Gauss Jordan.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Es una variante de la eliminación Gaussiana. La diferencia consiste en que
en el método de Gauss Jordan cuando se elimina una incógnita no solo se
elimina de la ecuación siguiente sino de todas las otras ecuaciones. De
esta forma el paso de eliminación genera una matriz identidad en vez de
una matriz triangular. Por tanto no es necesario emplear la sustitución
hacia atrás para obtener la solución.
1 a12 a13 a14 a15
0 1 a23 a24 a25
0 0 1 a34 a35
0 0 0 a44 a45
1 0 0 0 x1
0 1 0 0 𝑥2
0 0 1 0 x3
0 0 0 1 x4
Método de Gauss Jordan.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Es una variante de la eliminación Gaussiana. La diferencia consiste en que
en el método de Gauss Jordan cuando se elimina una incógnita no solo se
elimina de la ecuación siguiente sino de todas las otras ecuaciones. De
esta forma el paso de eliminación genera una matriz identidad en vez de
una matriz triangular. Por tanto no es necesario emplear la sustitución
hacia atrás para obtener la solución.
1 a12 a13 a14 a15
0 1 a23 a24 a25
0 0 1 a34 a35
0 0 0 a44 a45
1 0 0 0 x1
0 1 0 0 𝑥2
0 0 1 0 x3
0 0 0 1 x4
Paso 1. Se forma la 
matriz aumentada
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
 
 
 
   
Paso 2. Como se busca obtener una diagonal de “1” en el primer renglón ya 
tenemos un número 1. Nuestro objetivo ahora será hacer obtener ceros 
debajo de este número “1”
Al numero “1” de la diagonal se le denomina “elemento pivote”; sobre 
éste vamos a apoyarnos para hacer ceros los números arriba y debajo de 
dicho numero con operaciones de eliminación renglón 
Método de Gauss Jordan.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
[ ]1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
 
 
 
   
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
 
 
 
   
Columna pivote
Renglón pivote
Seleccionamos el 
renglón pivote
Seleccionamos un 
renglón diferente 
al renglón pivote
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
 
 
 
   
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
 
 
 
   
Identificamos 
Renglón, Columna 
y elemento pivote
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
 
 
 
   
Como el objetivo es hacer “0” el número 
debajo del renglón pivote ¿Por qué número 
debemos multiplicar el renglón pivote?
0
Elemento pivote
Método de Gauss Jordan.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
(-2) [ ]1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
 
 
 
   
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
 
 
 
   
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
 
 
 
   
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
 
 
 
   
Modificamos el 
segundo renglón 
con la operación 
de eliminación 
renglón
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
 
 
 
   
10 -3 -2
Ahora modificamos 
el tercer renglón 
¿Por qué número 
multiplicamos el 
renglón pivote 
ahora?
[ ]1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
 
 
 
   
1 2 1 3
2 5 1 4
3 2 1 2
 
 
 
   -80 -4 -7
3 -2 -1 2
(-3) 
¿Cómo queda la 
nueva matriz?
1 2 1 3
0 1 3 2
0 8 4 7
 
 
  
    
Método de Gauss Jordan.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
1 2 1 3
0 1 3 2
0 8 4 7
 
 
  
    
Ya transformamos la 
primera columna, ahora 
vamos con la segunda; 
afortunadamente ya 
hay un “1” como nuevo 
elemento pivote
1
1
¿Qué hacemos 
ahora? Hay que 
transformar en 
ceros los números 
arriba y abajo del 
nuevo elemento 
pivote
[ 0 1 -3 -2 ]
Nuevo renglón pivote
Se repite la 
eliminación 
renglón
0
(-2)
1 2 1 3 
1 7 7
[ 0 1 -3 -2 ]
0 -8 -4 -7 
(8)
0 0 -28 -23
La siguiente matriz 
queda:
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 28 23
 
 
  
   
Método de Gauss Jordan.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 23/ 28
 
 
  
 
 
El siguiente elemento 
pivote es “28”; el cual 
debe ser 
transformado en “1” 
sin alterar la ecuación 
¿Cómo lo hacemos?
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 28 23
 
 
  
   
En otras palabras: 
Cada renglón 
representa una 
ecuación, si dividimos 
todo el renglón entre 
-28 obtenemos el “1” 
que estamos 
buscando
Convertimos el 
elemento pivote en 
“1” para facilitar las 
operaciones; 
dividimos todo el 
renglón entre el 
número pivote (-28) 
obteniendo el 
siguiente resultado
1
1
1
1
1
Método de Gauss Jordan.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Realizamos la 
operación de 
eliminación renglón
[ 0 0 1 23/28 ]
1 0 7 7 
(-7)
1 0 5/4
1 0 7 7
0 1 3 2
0 0 1 23/ 28
 
 
  
 
 
0
[ 0 0 1 23/28 ]
0 1 -3 -2 
(3)
0 0 13/281
1 0 0 5 / 4
0 1 0 13/ 28
0 0 1 23/ 28
 
 
 
 
 
Finalmente la matriz 
queda
Nuevo renglón pivote
Leyéndose el siguiente resultado: x = 5/4 y = 13/28 z = 23/28
Método de Gauss Jordan.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Respuestas: x = 5/4 
y = 13/28
z = 23/28
Sistema de 
ecuaciones original
2 3
2 5 4
3 2 2
x y z
x y z
x y z
  
  
  
Método de Gauss Jordan.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Método de Gauss Jordan.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
EJERCICIO 1 : Resolver por Gauss Jordan el siguiente sistema: 
2x + y - 3z = 5
3x - 2y + 2z = 6
5x – 3y – z = 16
X=18/13
Y=-5/2
Z=-41/26
Método de Gauss Jordan.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
EJERCICIO 2 : Resolver por Gauss Jordan el siguiente sistema:
4x1 – 2 x2 + 2x3 + 3x4 = -9
2x1 + 5 x2 + 2x3 + 2x4 = 6
3x1 + 2 x2 + 4x3 + x4 = -11
2x1 – 3 x2 - 4x3 + 5x4 = 17
X1=-2
X2=2
X3=-3
X4=3
Métodos iterativos:
Gauss- Seidel y Jacobi.
Método de Jacobi.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Método de Jacobi.
Es un método iterativo que se aplica solo a sistemas
cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas
como ecuaciones.
Similar a Gauss Seidel, pero los valores obtenidos en una
determinada iteración se utilizan para el cálculo de una
próxima iteración.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Método de Jacobi.
1. Primero se despeja de cada ecuación la incógnita
correspondiente.
2. Se evalúa cada ecuación despejada para Xi=0 en la primera
iteración .
3. Se itera en el ciclo que cambia la aproximación Xi+ 1 = C + BXi
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Método de Jacobi.
Ejemplo: 1) Primero se despeja de cada ecuación la incógnita correspondiente.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Método de Jacobi.
Ejemplo: 2)Se evalúa cada ecuación despejada para Xi=0 en la primera iteración .
.
x3 y x1 = 0
x2 y x3 = 0
x2 y x1 = 0
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Método de Jacobi.
Ejemplo: 3) Se itera en el ciclo que cambia la aproximación Xi+ 1 = C + BXi
X1=2.45
X2= -1,125
X3=5,555556
Desde la segunda iteración se repiteel mismo proceso 
trabajando con los valores obtenidos en la iteración anterior
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Método de Jacobi.
Ejemplo:
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Método de Jacobi.
Ejemplo:
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Método de Jacobi.
Ejemplo:
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Método de Jacobi.
Ejercicio: encontrar las tres primeras iteraciones del método de
Jacobi del sistema:
4x1+x2+x3=6
2x1-5x2+x3=-2
X1+2x2+7x3=10
X1=1,005
X2=0,994
X3=1,004
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Sobre los métodos iterativos…….
Hemos visto que son 2 los procedimientos iterativos para resolver
un sistema de ecuaciones lineales.
El primero de ellos conocido como el procedimiento de Jacobi
basado en la idea de punto fijo y un segundo procedimiento
conocido como método de Gauss-Seidel el cual es una
modificación simple del procedimiento de Jacobi.
La garantía de convergencia en la aplicación de estos métodos cual
se relaciona con el concepto de matriz diagonalmente dominante .
Veremos que en algunos casos es posible replantear el sistema
para garantizar la convergencia.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Sobre los métodos iterativos…….
Uno de los principales problemas de los métodos iterativos es la
garantía de que el método va a converger, es decir, va a producir una
sucesión de aproximaciones cada vez efectivamente más próximas a
la solución. En el caso del método de Jacobi no existe una condición
exacta para la convergencia. Lo mejor es una condición que
garantiza la convergencia, pero en caso de no cumplirse, puede o no
haberla, es la siguiente:
Si la matriz de coeficientes original del sistema de
ecuaciones es diagonalmente dominante, el método de
Jacobi seguro converge.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Sobre los métodos iterativos…….
Una matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cada una
de las filas, el valor absoluto del elemento de la diagonal principal es
mayor que la suma de los valores absolutos de los elementos
restantes de la misma fila.
A veces la matriz de un sistema de ecuaciones no es diagonalmente
dominante pero cuando se cambian el orden de las ecuaciones y las
incógnitas el nuevo sistema puede tener matriz de coeficientes
diagonalmente dominante.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Sobre los métodos iterativos…….
Ejemplo:
Son matrices diagonalmente dominantes:
4 1
3 8
4 1 1
2 8 −3
3 2 9
−6 1 2
1 3 0
3 2 −9
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Sobre los métodos iterativos…….
Ejemplo:
NO son matrices diagonalmente dominantes:
4 4
3 8
4 1 1
2 8 −7
3 −10 20
4 1 3
2 8 1
3 −10 2
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Sobre los métodos iterativos…….
En ciertas ocasiones al aplicar Jacobi la matriz no es diagonalmente
dominante y por tanto no existirá garantía de convergencia. Sin
embargo, en algunos casos será posible reordenar las incógnitas en
otra manera de forma que la nueva matriz de coeficientes sea
diagonalmente dominante. Esto se puede detectar revisando todos
los posibles ordenamientos de las incógnitas y ver cómo es la matriz
resultante. Claro que esto conlleva un buen número de pruebas pues
el número posible de ordenamientos en n variables es (n − 1)! pero
cuando n es reducido es sencillo.
Veamos algunos ejemplos.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Sobre los métodos iterativos…….
Ejemplo:
Indique cuál es el orden conveniente para aplicar Jacobi al sistema:
3x + 12y − z = −2
11x − 4y + 3z = −3
−3 x − 2y − 12z = −2
Solución
Con el orden y → x → z el sistema y su matrizde coeficientes quedan:
12y + 3x − z = −2
− 4y + 11x + 3z = −3
− 2y − 3x − 12z = −2
→
12 3 −1
−4 11 3
−2 −3 −12
la matriz de coeficientes es diagonalmente dominante.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Sobre los métodos iterativos…….
Ejercicio:
Dado el sistema: x1 + 3x2 − x3 = 6 
4x1 − x2 + x3 = 5 
x1 + x2 − 7x3 = −9
¿Es estrictamente la matriz del sistema diagonalmente dominante? En caso
negativo, indique si hay algún intercambio que permita pasar del sistema
dado a otro cuya matriz sea diagonalmente estrictamente dominante.
Método de Gauss-Seidel.
Método de Gauss-Seidel.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
El método de Gauss-Seidel es muy semejante al método de Jacobi.
Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para
determinar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se va
utilizando los valores de las incógnitas recién calculados en la misma
iteración, y no en la siguiente.
Método de Gauss-Seidel.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Por ejemplo, en el método de Jacobi se obtiene en el primer cálculo X,
pero este valor de X no se utiliza sino hasta la siguiente iteración.
En el método de Gauss-Seidel en lugar de eso se utiliza Xi+1 en lugar
de Xi en forma inmediata para calcular el valor de Yi+1 de igual
manera procede con las siguientes variables; siempre se utilizan las
variables recién calculadas.
Método de Gauss-Seidel.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
CRITERIO DE PARO
∈𝑎,𝑖=
|𝑥𝑖
𝑗−1
| − |𝑥𝑖
𝑗
|
𝑥𝑖
𝑗
𝑥100% < ∈𝑟𝑝
Para toda i en donde j y j-1 denotan la iteración actual y anterior.
Método de Gauss-Seidel.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Ejemplo:
DIAGONALMENTE 
DOMINANTE
Método de Gauss-Seidel.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Ejemplo:
Método de Gauss-Seidel.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Ejemplo:
Método de Gauss-Seidel.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Ejemplo:
Método de Gauss-Seidel.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Ejemplo:
Método de Gauss-Seidel.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Ejemplo:
Método de Gauss-Seidel.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Ejemplo: Para el criterio de paro 
0,96 0,99
0,42 0,49
5,95 5,99
|𝑥𝑖
𝑗−1
| |𝑥𝑖
𝑗
|
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Es difícil estimar el costo computacional de un método iterativo, pues
de antemano se desconoce cuántas iteraciones requerira para obtener
una respuestas que satisfaga al usuario.
Generalmente, se procede a calcular el costo computacional por
iteración.
En el caso del método de Jacobi la relación de recurrencia utilizada es:
xi+1 = c + B xi
Utilizando esta información podemos concluir que si el algoritmo toma
m iteraciones entonces el total de FLOPs será de:
2 m n 2
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Se recomienda utilizar el archivo de excel que se provee para ilustrar la
convergencia de los métodos, sobre todo los siguientes hechos:
• Que la convergencia se tiene siempre que la matriz es diagonalmente
dominante, sin importar cual sea la semilla o el vector de constantes.
• Que cuando la matriz de coeficientes no es diagonalmente dominante,
se puede tener convergencia ya sea por que la semilla es la adecuada
ya sea por el vector de constantes.
En términos formales, que la condicional Si la matriz de coeficientes es DD,
entonces Jacobi converge es cierta, mientras que su recíproca no lo es.
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
EJERCICIO:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método 
de Gauss-Seidel para Erp<10E-5 en X3, para 6 cifras significativas:
8x1+4x2-2x3=24
3x1+6x2-x3=13
2x1-2x2+6x3=16
Rpta=1,99999 en iter 10
SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
EJERCICIO:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método 
de Gauss-Seidel para 7 iteraciones, para 5 cifras significativas:
4x1+10x2+8x3=142
2x1+6x2+7x3=13
9x1+2x2+3x3=16
Rpta=x1=3,0202
x2=11,1862
x3=2,3346
9x1+2x2+3x3=16
4x1+10x2+8x3=142
2x1+6x2+7x3=13
Métodos deFactorización:
Raíz Cuadrada y Choleski
Método de la Raíz Cuadrada
Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene la forma: Ax=c
Hay que descomponer en dos matrices L y LT.
L matriz triangular superior
LT es la transpuesta de L
𝐿 =
L11 L12 L13 L14
0 L22 L23 L24
0 0 L33 L34
0 0 0 L44
𝐿𝑇 =
L11 0 0 0
L12 L22 0 0
L13 L23 L33 0
L14 L24 L34 L44
Método de la Raíz Cuadrada
Primer elemento de L
𝐿11 = 𝑎11
Elementos de la primera fila:
𝐿1𝑗 =
𝑎1𝑗
𝐿1𝑖
i=1 j=2,3,……,n
Elementos diagonales:
𝐿𝑖𝑖 = 𝑎𝑖𝑖 −෍
𝑘=1
𝑖−1
𝐿𝑘𝑖
2
Demás elementos:
𝐿𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑗−σ𝑘=1
𝑖−1 𝐿𝑘𝑖𝐿𝑘𝑗
𝐿𝑖𝑖
Método de la