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MODELOS MATEMÁTICOS Ejemplo 1: Un acumulador de 12 volts se conecta a un circuito en serie LR, con una inductancia de ½ Henry y una resistencia de 10 ohms. Determinar la corriente i, si la corriente inicial es cero. 2 2 1d q dq E t L R q dt dt C 1 10 12 2 di i dt Ahora: dq i dt 2.10 12.2 20 24 di i dt di i dt 20 20P t dt dt te e e 20 20 20 20 20 24 24 20 24 20 t t t t t e i e dt e i e c i ce Ahora: 0 0i 24 6 0 20 5 c c 206 6 5 5 ti e MODELOS MATEMÁTICOS REDUCCIÓN DE ORDEN avI Uno de los hechos matemáticos más interesantes al estudiar ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda solución, , de: en un intervalo Z a partir de una solución 2y 0012 2 2 ya dx dy a dx yd a 1y Buscamos una segunda solución de la ecuación (1) tal que y1 y y2 sean linealmente independientes en Z. Recordemos que si y1 y y2 son linealmente independientes, su relación es no constante en r; esto es, . xy2 2 1 y y xuy y 1 2 12 yxuy avI Ejemplo 1: Si es una solución de la ecuación , en (-∞,∞) aplique la reducción de orden para hallar xey 1 0 ¡¡ yy 2y 0¡¡ yy xuey yxuy 12 Como xxx xxxx xx x ueeueu xd yd ueeueueu xd yd ueeu dx dy uey ¡¡¡ 2 2 ¡¡¡¡ 2 2 ¡ 2 Sustituyendo 02 02 02 ¡¡¡ ¡¡¡ ¡¡¡ uu uue ueueeueu x xxxx Se realiza el cambio ¡¡¡ ¡ uw uw 02 02 ¡ ¡¡¡ ww uu xdx ee 2 2 REDUCCIÓN DE ORDEN avI 2 21 2¡ 2 2 22 2 0 ce c u ceu cew cwe dxewe x x x x xx 1 21 2 1 2 2 2 x x x x x y uy y ue c y e c e c y e c e Ahora Si hacemos c2 = 0 y c1 = -2 2 0 2 x x x y e e y e REDUCCIÓN DE ORDEN 1ax axe dx e a 1 CosSen ax dx ax a 1 21 P x dx e y y x dx y x REDUCCIÓN DE ORDEN Ejemplo: La función es una solución de Determine la solución general en el intervalo (0,∞) 2 1y x 2 ¡¡ !3 4 0x y xy y 3 3 2 2 2 3 2 4 2 4 dx x Lnx Lnx e y x dx x e y x dx x e y x dx x ¡¡ 2 2 3 4 0 x y y y x x 3 2 4 2 x y x dx x y x Lnx c 1 1 2 2 2 2 1 2 y c y c y y c x c x Lnx ¡¡ ! 0y P x y Q x y PRÁCTICA avI Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la forma: se dice que es homogénea, mientras que una ecuación: con g(x) no igual a cero, se dice que es no homogénea. ECUACIONES HOMOGÉNEAS 1 1 011 ... n n n nn n d y d y dy a x a x a x a x y g x dx dx dx 1 1 011 ... 0 n n n nn n d y d y dy a x a x a x a x y dx dx dx Una ecuación diferencial de n-ésimo orden puede se puede escribir como: Donde con k = 0,1,2,3, También se escribe L(y) =g(x), donde L representa el operador diferencial. xgyaDyayDayDa nn n n 01 1 1 ... k k k dx yd yD !!! 4yy Los factores de un operador diferencial con coeficientes constantes conmutan. Una ecuación diferencial tal como: se puede expresar044 !!! yyy 044044 22 yDDyDyyD 022 yDD 2 2 0D 2 2 1 2 x x cy c e c e Si L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y f es una función suficientemente derivable tal que L( f (x)) = 0, entonces se dice que L es un anulador de la función. Por ejemplo el operador diferencial anula a la función y = x 2D En general El operador diferencial anula cada una de las funciones: 12 ,...,,,1 nxxx nD El operador diferencial anula cada una de las funciones nD xnxxx exexxee 12 ,...,,, Para ver esta solución, observe que la ecuación auxiliar de la ecuación es . Puesto que es una raíz de multiplicidad n, la solución general es: 0 yD n 0 nm xn n xxx exCexCxeCeCy 11 2 321 ... EJEMPLO 2 Operador anulador Encuentre un operador diferencial que anule: xSenexCose xx 2925 Solución: La inspección de las funciones muestra que a α = -1 y β = 2. Por tanto, de la ecuación se concluye que anulará cualquier función que sea combinación lineal de estas funciones. 522 DD EJEMPLO 1: Operadores anuladores Encuentre un operador diferencial que anule la función dada. a) b) c) 2 31 5 8x x 2 31 5 8x x 3xe 2 24 10x xe xe ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS Solución de una ecuación diferencial no homogénea (EDNH) Ejemplo: Resolver ¡¡ ¡ 23 2 4y y y x Paso n°1: Resolver la ecuación homogénea ¡¡ ¡3 2 0y y y 2 3 2 0 2 1 0 m m m m 2 1 m m 2 1 2 x x cy c e c e Paso n°2: como g(x) se anula con se puede expresar: 3D 3 2 3 23 2 4D D D y D x 3 2 3 2 3 3 2 0 3 2 0 2 1 0 D D D y m m m m o m m 1 2 3 4 50, 0, 0, 1, 2m m m m m 2 3 2 0D D 2 1 2 x x cy c e c e 2 1 2 3py c c x c x 2 2 1 2 3 4 5 c p x x y y y y c c x c x c e c e ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS Solución de una ecuación diferencial no homogénea (EDNH) Ejemplo: Resolver ¡¡ ¡4 0y y Paso n°1: Resolver la ecuación homogénea ¡¡ ¡4 0y y 24 0 4 1 0 m m m m 1 2 0 1 4 m m 1 0 0 0 4 1 2 1 4 1 2 xx c x c y c x e c x e y c c e ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS Solución de una ecuación diferencial no homogénea (EDNH) Ejemplo: Resolver ¡¡ ¡ 23 2 4y y y x Paso n°1: Resolver la ecuación homogénea ¡¡ ¡3 2 0y y y 2 3 2 0 2 1 0 m m m m 2 1 m m 2 1 2 x x cy c e c e Paso n°2: como g(x) se anula con se puede expresar: 3D 3 2 3 23 2 4D D D y D x 3 2 3 2 3 2 0 3 2 0 D D D y D D D 1 2 3 4 50, 0, 0, 1, 2m m m m m ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES Método de solución: ¡¡ ¡ 0ay by cy ¡ ¡ ¡¡ 2 mx mx mx mx y e y me y me y m e ¡¡ ¡ 2 0 0mx mx mx ay by cy am e bme ce 2 2 2 0 0 0 mx mx mx mx am e bme ce e am bm c am bm c Caso 1: Raíces reales distintas 1 2 1 2 m x m xy c e c e Caso 2: Raíces reales iguales 1 2 mx mxy c e c xe Caso 2: Raíces complejo conjugados 1 2Cos x xy c e x c e Sen x 2 24 4 0 2 b b ac m b ac a m i 1.- ¡¡ ¡ 6 0y y y 2.- 2 2 10 25 0 d y dy y dx dx 3.- ¡¡ ¡4 5 0y y y Solución ¡¡ ¡ 2 1 2 6 0 6 0 3 2 0 3 0 3 2 0 2 y y y m m m m m m m m 3 2 1 2 x xy c e c e 2 10 25 0 5 5 0 m m m m 1 2 5 0 5 5 m m m 5 5 1 2 x xy c e c xe 2 4 2 4 16 20 2 4 4 2 2 2 1 2 2 2 b b ac m a m m m m i 4 5 0 1, 4 5 m m a b c 2 21 2Cos x xy c e x c e Sen x ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES 4.- Resuelve la ecuación con y(0) =-1 y ¡¡ ¡4 13 0y y y ¡¡ ¡4 13 0y y y 2 4 13 0m m 2 4 2 4 16 52 2 4 36 2 2 36 1 2 2 2 3 b b ac m a m m m m i 2 21 2Cos 3 3 x xy c e x c e Sen x 2 0 2 01 2 1 1 Cos 3.0 3. 1 c e c e Sen o c Evaluando ¡ 2 2 2 21 1 2 22 Cos 3 3 3 2 3 3 Cos 3 x x x xy c e x c e Sen x c e Sen x c e x Evaluando 1 2 2 2 2 2 3 2 2 3 4 3 c c c c 2 2 4 Cos 3 3 3 x xy e x e Senx ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES ¡ 0 2y ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES CONSTANTES ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES INDETERMINADOS Ejemplo 1: Resolver COEFICIENTES INDETERMINADOS, MÉTODO DE LA SUPERPOSICIÓN ¡¡ ¡ 22 3 4 5 6 xy y y x xe Paso n° 1: Resolver la ecuación homogénea asociada ¡¡ ¡2 3 0y y y 2 1 2 2 3 0 1 3 0 1 3 m m m m m m 3 1 2 x x cy c e c e Paso n° 2: Como y Por que por derivadas presume a y 1 2g x g x g x 1g x Ax B 2 2 2 x xg x Cxe De 2xxe 22 xxe 2xe ¡¡ ¡ 2 22 3 3 2 2 3 2 3x xy y y Ax A B Cxe C D e Entonces 4 3 A 23 9 B 2C 4 3 D c py y y 3 2 24 23 42 3 9 3 x x x xy e e xe e 2 2 ! 2 2 2 !! 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 x x x x x x x x x g x Ax B Cxe De g x A Ce Cxe De g x Ce Ce Cxe De ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES INDETERMINADOS ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES INDETERMINADOS !! !4 4 0y y y 2 1 xy e 2 2 ! 2 2 2 !! 2 ! 2 ! 2 2 2 2 !! 2 ! 2 2 2 2 2 2 4 4 4 x x x x x x x x x x y ue dy u e ue dx d y u e u e u e ue dx d y u e u e ue dx !! 2 ! 2 2 ! 2 2 2 !! 2 ! 2 2 ! 2 2 2 !! 2 ! 2 2 ! 2 2 !! 2 4 4 4 2 4 0 4 4 4 8 4 0 4 8 4 8 0 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x u e u e ue u e ue ue u e u e ue u e ue ue u e u e ue u e ue u e ! ! !! w u w u ! 2 0 0x dx c we e e c 1 ! 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 0 x x x wc dx wc c w c u c u cdx u c x c y c x c e y c xe c e ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES INDETERMINADOS !! !4 4 0y y y 2 1 xy e 2 2 ! 2 2 2 !! 2 ! 2 ! 2 2 2 2 !! 2 ! 2 2 2 2 2 2 4 4 4 x x x x x x x x x x y ue dy u e ue dx d y u e u e u e ue dx d y u e u e ue dx 2 1 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2 P x dx dx x x x e y y dx y e y e dx e y xe c 2 2 2 2 2 1 2 x x x y xe c y c e c xe cxey dxey dx e e ey x x x x x 2 2 2 2 4 4 2 2 ECUACIONES DIFERENCIALES CON COEFICIENTES INDETERMINADOS !! !5 0y y 2 1 ! 2 !! 2 y uy y u dy u dx d y u dx !! ! !! ! 5 0 5 0 y y u u ! ! !! w u w u Ahora sustituimos !! ! ! 5 0 5 0 u u w w 5 5 5 5 5 5 0 dx x x x x x e e e w e dx e w c w ce 5 ! 5 5 51 2 51 2 2 5 5 x x x x x w ce u ce u ce dx c u e c c y e c
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