Practica_3_DS

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Carrera 
INGENIERÍA MECATRÓNICA 
Materia 
DINÁMICA DE SISTEMAS 
PRÁCTICA 3 
04 de junio 2021 
Instrucciones: Resuelva por equipo los siguientes ejercicios usando MATLAB. 
A. Polos y ceros de la función de transferencia.
Para graficar los polos y ceros de una función de transferencia en MATLAB, se realizan
los siguientes pasos en la ventana de comandos.
Suponga que tiene la función de transferencia: 
𝐺(𝑠) =
2𝑠 + 4
𝑠2 + 4𝑠 + 3
Para graficar los polos y ceros de esta función de transferencia se escriben las siguientes 
instrucciones en MATLAB. 
En las variables num y den, se almacenan respectivamente los coeficientes del denominador y 
numerador de la función de transferencia, y con la instrucción tf, se forma la función de 
transferencia del numerador y denominador dado y se almacena en la variable sys. Para dibujar 
los polos y ceros, primero se calculan estos valores usando la instrucción pzmap, a esta función 
se le pasan como parámetros el numerador y denominador de la función de transferencia 
respectivamente, luego usando el comando pzplot, se obtiene la gráfica del plano complejo “s”, 
sobre la cual se colocarán los polos y ceros de la función de transferencia, identificándose a los 
polos con una “x” y a los ceros con un “o”. 
 
 
 
Como se puede observar, esta función de transferencia tiene dos polos ubicados en el 
semiplano izquierdo del plano complejo por lo que el sistema es estable. 
 
B. Respuesta de sistemas usando la función de transferencia. 
 
Ejemplo: la siguiente función de transferencia corresponde a un sistema masa-resorte-
amortiguador 
𝐺(𝑠) =
10
𝑠2 + 2𝑠 + 10
 
 
a) Encuentre de manera gráfica la respuesta del sistema ante una señal de entrada escalón 
unitario x(t)=u(t). 
Alternativa 1: 
Se forma la función de transferencia usando el comando tf, utilizado en el apartado anterior y 
almacenada en la variable G, luego se usa el comando step para obtener la respuesta al 
escalón para dicha función de transferencia. 
 
 
 
 
 
Alternativa 2: 
Se resuelve como si se trabajara el problema a mano, usando la transformada de Laplace 
para la señal de entrada (en este caso el escalón unitario) y luego multiplicando el resultado 
obtenido por la función de transferencia, para luego obtener la transformada inversa de 
Laplace. 
𝐺(𝑠) =
10
𝑠2 + 2𝑠 + 10
 
 
𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)
=
10
𝑠2 + 2𝑠 + 10
 
 
𝑌(𝑠) =
10
𝑠2 + 2𝑠 + 10
𝑋(𝑠) 
 
Donde X(s) es la transformada de Laplace del escalón, es decir 1/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) La gráfica de la respuesta del sistema ante una entrada 𝑥(𝑡) = cos(2𝜋𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤
10. 
Al igual que el ejercicio anterior, se tienen dos alternativas. 
Primero se usa el comando lsim que por lo general sirve para obtener la respuesta de un 
sistema (dada su función de transferencia) para cualquier entrada. 
Para este caso se graficarán en un solo plot tanto la repuesta del sistema como la señal de 
entrada. 
 
 
 
En una segunda alternativa, se resolverá este mismo problema usando transformada de 
Laplace. 
 
 
 
 
 
 
Si se quisiera resolver el apartado de la respuesta al escalón usando SIMULINK, se tendría que 
usar el bloque de Transfer Fcn, que se encuentra en la librería de Continuos, y una vez 
colocada sobre el área de trabajo de SIMULINK, dar doble click, para modificar las siguientes 
propiedades: 
 
 
 
 
 
Adicionalmente se agregará un SCOPE que se encuentra en la librería de sinks o de 
commonly used blocks, para poder graficar la respuesta del sistema ante la entrada antes 
mencionada. 
 
Se usará el bloque STEP que se encuentra en la librería de sources para obtener la respuesta 
de la función de transferencia. Modificando la propiedad de Step time del escalón para que 
inicie en cero y simulando durante 10 segundos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C. Transformación de la función de transferencia a espacio de estados y viceversa. 
Suponga que tiene la siguiente función de transferencia: 
 
𝐺(𝑠) =
𝑠
𝑠3+14𝑠2 + 56𝑠 + 160
 
 
De la cual se quiere obtener la representación en espacio de estados usando MATLAB, para 
ello se deben escribir las siguientes instrucciones en la ventana de comandos de MATLAB. 
 
 
 
 
 
Con la instrucción tf2ss, se hace la conversión de función de transferencia a espacio de 
estados, obteniéndose las matrices correspondientes a este modelo. 
 
 
Para ir de la representación en espacio de estados, a la función de transferencia se usa la 
instrucción ss2tf. 
 
 
Tarea. 
1. Dibuje los polos y ceros de la siguiente función de transferencia y determine la 
estabilidad del sistema. 
 
𝐺(𝑠) =
𝑠 + 7
𝑠3+10𝑠2 + 4𝑠 + 25
 
Se obtiene la función de transferencia: 
 
 
Se obtienen los polos y ceros: 
 
 
Se grafican los polos y ceros en el plano complejo ”s” 
 
 
 
Se observa que todos los polos se encuentran del lado izquierdo, por lo que el sistema se 
clasifica como estable. 
 
2. Usando SIMULINK y la función de transferencia del inciso B) de esta práctica, graficar 
de la respuesta del sistema ante una entrada x(t) = cos (2πt), para 0 ≤ t ≤ 10. 
Al utilizar SIMULINK el sistema nos quedo de la siguiente manera: 
 
Se utilizó el bloque de FCN para agregar la entrada al sistema de x(t) = cos (2πt) y un reloj, 
para poder delimitar el tiempo de 0 a 10 
La respuesta del sistema es la siguiente: 
 
 
 
 
3. Dada la siguiente función de transferencia, la cual proviene de un sistema mecánico de 
rotación, cuyas variables físicas de interés son: velocidad y posición angular: 
 
𝐺(𝑠) =
𝑌(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
2𝑠 + 3
𝑠2 + 5𝑠 + 4
 
 
Determine la respuesta temporal del sistema si la entrada es 𝑢(𝑡) = 2𝑠𝑒𝑛(20𝑡), usando 
dos alternativas en la ventana de comandos del MATLAB y además usando SIMULINK. 
 
Con las alternativas en la ventana de comandos, primero que nada, se tiene la del 
comando lsim, como se ve: 
 
 
Y, la gráfica queda de la siguiente manera 
 
 
Luego, utilizando los comandos para resolver mediante la Transformada de Laplace, se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y, la gráfica queda como se muestra: 
 
 
 
En SIMULINK, se tiene el siguiente diagrama. 
 
 
Y, en el Scope, para los primeros 5 segundos, se tiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Obtenga la representación en espacio de estados para la función de transferencia del 
ejercicio 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5. Obtenga la función de transferencia de la siguiente 
 representación en espacio de estados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES 
 
Matlab resulta ser una herramienta muy útil para estudiantes de ingeniería. Gracias al 
desarrollo de esta práctica, fue posible adentrarse un poco más en lo que ya se había 
analizado en clase virtual, hablando acerca de la función de transferencia, principalmente, así 
como la respuesta de los distintos sistemas a entradas de diferentes tipos; tales como se vio a 
lo largo de la práctica con senoidal, cosenoidal y escalón unitario 
Algo importante de la realización de esta práctica fue reutilizar los comandos y herramientas 
utilizadas en la unidad anterior, tal como el SIMULINK, pero ahora, con un nuevo tipo de 
bloque: el que indica la función de transferencia. De esa manera, fue posible analizar 
gráficamente la respuesta que tienen los sistemas con una señal dada, en este caso, un 
escalón unitario, una senoidal o una cosenoidal, según el problema, pero también podría 
haber sido cualquier otro tipo de función, tal como una rampa o una exponencial, ya sea 
creciente o decreciente. 
Ahora, continuando con los comandos nuevos, estos fueron, primero que nada, el tf, con el 
cual se puede representar la función de transferencia en la ventana de comandos, únicamente 
con colocar los coeficientes tanto del numerador como del numerador. 
Además, se analizó un comando con el cualse pueden obtener los polos y ceros de una 
función de transferencia: pzmap, donde se le pasan como parámetros el numerador y 
denominador de la función de transferencia respectivamente, luego usando el comando 
pzplot, se grafican. 
Otro de los comandos útiles que fueron requeridos para la realización es el lsim, el cual nos es 
de ayuda para obtener la respuesta que tiene la salida y ante una entrada x en un sistema 
dada su función de transferencia para, posteriormente, pasar a su graficación 
Además, para convertir una función de transferencia a una representación en espacio de 
estados tf2ss. Y, de manera inversa el comando ss2tf para pasar de una representación en 
espacio de estados a una función de transferencia, como ya pudo ser comprobado. 
Finalmente, el software Matlab es una herramienta muy potente, pero, como cualquier cosa, es 
necesario saberla utilizar. A diferencia de la primera y segunda unidad, ahora ya se cuenta con 
un poco más de conocimiento acerca del programa. Se espera seguir aprendiendo con el 
objetivo de poder seguir ampliando nuestros horizontes en el ámbito de ingeniería, además de 
seguir practicando ya que, mientras más se práctica, mejores resultados se tienen