Calculo_Vectorial-7

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DEFINICIÓN
Si e son funciones continuas de en un intervalo , entonces
las ecuaciones
Se llaman ecuaciones paramétricas y se llama parámetro. El
conjunto de puntos que se obtiene al variar en el
intervalo se denomina gráfica de las ecuaciones paramétricas.
La gráfica de las ecuaciones paramétricas se llama curva
paramétrica o curva plana y se denota por .
Observa en esta definición que e se usan de dos maneras. La
primera es como funciones de la variable independiente t. Como t
varía en el intervalo , las funciones e generan un conjunto
de pares ordenados . Este conjunto de pares ordenados genera
la gráfica de las ecuaciones paramétricas. En este segundo uso, para
designar los pares ordenados, e son variables. Es importante
distinguir las variables e de las funciones y .
Graficando una curva definida
paramétricamente
Dibuja las curvas descritas por las siguientes ecuaciones
paramétricas:
a. 
b. 
c. 
x y t I
x = x(t) e y = y(t)
t
(x, y) t
I
C
x y
I x(t) y(t)
(x, y)
x y
x y x(t) y(t)
x(t) = t−1, y(t) = 2t+ 4, −3 ≤ t ≤ 2
x(t) = t −3, y(t) =2 2t+ 1, −2 ≤ t ≤ 3
x(t) = 4cost, y(t) = 4sent, 0 ≤ t ≤ 2π
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Haz clic en el siguiente botón, para ver la solución al ejercicio.
Dibuja la curva descrita por las ecuaciones paramétricas:
Sugerencia: Haz una tabla de valores para y usando
valores de de a .
1.2.2 Eliminando el parámetro
Para comprender mejor la gráfica de una curva representada de
manera paramétrica, es útil reescribir las dos ecuaciones como una
sola ecuación que relaciona las variables e . Luego podemos
aplicar cualquier conocimiento previo de ecuaciones de curvas en el
plano para identificar la curva. Por ejemplo, las ecuaciones que
describen la curva plana en la parte b del primer ejercicio, son:
Resolviendo la segunda ecuación para t, obtenemos:
x(t) = 3t+ 2, y(t) = t −1, −3 ≤2 t ≤ 2
x(t) y(t)
t −3 2
x y
x(t) = t −3, y(t) =2 2t+ 1, −2 ≤ t ≤ 3
t =
2
y − 1
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Este resultado puede ser sustituido en la primera ecuación:
Esta ecuación describe como una función de . Estos pasos dan un
ejemplo de eliminación del parámetro. La gráfica de esta función es
una parábola que se abre hacia la derecha. Recuerda que la curva
plana comenzó en y terminó en . Estas terminaciones se
debieron a la restricción del parámetro .
Eliminando el parámetro
Elimina el parámetro para cada una de las curvas planas
descritas por las siguientes ecuaciones paramétricas y describe
el gráfico resultante.
x = −(
2
y − 1)
2
3 = −
4
y − 2y + 12
3 =
4
y − 2y − 112
x y
(1,−3) (6, 7)
t
a. x(t) = , y(t) =2t+ 4 2t+ 1, −2 ≤ t ≤ 6
b. x(t) = 4cost, y(t) = 3sent, 0 ≤ t ≤ 2π
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