Calculo_Vectorial-63

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a. 
b. 
c. 
2.4.2 Producto punto y el ángulo entre dos vectores
Cuando dos vectores distintos de cero se colocan en posición
estándar, ya sea en dos dimensiones o en tres dimensiones, forman
un ángulo entre ellos (Figura 2.44). El producto punto proporciona
una forma de encontrar la medida de este ángulo. Esta propiedad es
el resultado del hecho de que podemos expresar el producto escalar
en términos del coseno del ángulo formado por dos vectores.
Figura 2.44. Sea el ángulo entre dos vectores distintos de cero y , de
modo que .
(a ⋅ b)c
a ⋅ (2c)
∥b∥2
u v
0 ≤ θ ≤ π
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TEOREMA 2.4
Evaluación de un producto punto
El producto punto de dos vectores es el producto de la magnitud
de cada vector y el coseno del ángulo entre ellos:
Prueba
Coloca los vectores y en la posición estándar y considera el
vector (Figura 2.45). Estos tres vectores forman un triángulo
con longitudes laterales y .
Figura 2.45. Las longitudes de los lados del triángulo están dadas por las
magnitudes de los vectores que forman el triángulo.
En la página siguiente puedes observar e interactuar con el tríangulo
en una escena tridimensional.
u ⋅ v = ∥u∥∥v∥cosθ (2.4)
u v
v−u
∥u∥, ∥v∥ ∥v−u∥
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Recordemos de la trigonometría que la ley de los cosenos describe la
relación entre las longitudes laterales del triángulo y el ángulo . La
aplicación de la ley de cosenos aquí da
El producto punto proporciona una forma de reescribir el lado
izquierdo de esta ecuación:
θ
∥v−u∥ = ∥u∥ +2 ∥v∥ −2∥u∥∥v∥cosθ2
∥v−u∥2 = (v−u) ⋅ (v−u)
= (v−u) ⋅ v−(v−u) ⋅ u
= v ⋅ v−u ⋅ v−v ⋅ u+ u ⋅ u
= v ⋅ v−u ⋅ v−u ⋅ v + u ⋅ u
= ∥v∥ −2u ⋅ v + ∥u∥2 2
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Juan Rivera
Sello