racionalizacion

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FAL-02_M2AA2L4_Racionalización 
Versión: Septiembre 2012 
 Revisor: Sandra Elvia Pérez 
 
 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
 1 
Racionalización 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
¿Sabes lo que significa racionalizar o racionalización?, ¿a qué te suena? Supón que después de realizar una operación 
como suma, resta, multiplicación o división, tienes como resultado la expresión: 
 
 
Además, se te pide que expreses este resultado sin radicales en el denominador. ¿Cómo puedes hacer esto?, 
¿qué hacer para quitar 2 del denominador? 
 
Recuerda que un radicando se puede simplificar si éste tiene un exponente que se pueda dividir en forma exacta 
entre el valor del índice. En este caso, como es una raíz cuadrada, el exponente que necesitas es 2. 
 
Puedes multiplicar por la 2 , ya que si multiplicas 2222
2  
 
¡Recuerda! para hacer una expresión equivalente multiplicas tanto el numerador como el denominador por el 
mismo número. 
 
Para este caso como necesitas una 2 , entonces multiplicas el numerador y el denominador por 2 . 
 
2
2
2
2
2
2
2
1
2
 
 
A este proceso de encontrar una expresión equivalente sin raíces en el denominador se le llama racionalizar, y 
se pueden presentar dos casos: 
 
a) Cuando el denominador de la fracción es un monomio 
b) Cuando el denominador de la fracción es un binomio 
 
Analiza cada uno de los casos. 
 
a) Cuando el denominador de la fracción es un monomio 
 
Encuentras una expresión que multiplicada por el denominador pueda simplificar la expresión de tal forma que se 
elimine el radical y para que la fracción sea equivalente, se multiplica por el numerador. Ve algunos ejemplos. 
 
 
Ejemplo 1 
 
Racionaliza: 
5
3
 
 
 
De esta forma tienes una expresión 
equivalente sin una raíz en el 
denominador. 
 
2
1
 
FAL-02_M2AA2L4_Racionalización 
Versión: Septiembre 2012 
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 2 
Para poder simplificar la 5 , tienes que multiplicar por 5 el denominador y el numerador para obtener una 
fracción equivalente: 
 
5
53
5
53
5
5
5
3
2
 
 
Por lo tanto: 
5
53
5
3
 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
 
 
Racionaliza 
3 27
2
x
 
 
Para poder simplificar la 
3 27x tienes que multiplicar por 3 27 x el denominador y el numerador para obtener 
una fracción equivalente: 
 
x
x
x
x
x
x
x 7
72
7
72
7
7
7
2 3 2
3 33
3 2
3 2
3 2
3 2
 
 
Por lo tanto: 
x
x
x 7
72
7
2 3 2
3 2
 
 
 
Ejemplo 3 
 
Racionaliza 
a2
3
 
Para poder simplificar la a2 , tienes que multiplicar por a2 el denominador y el numerador para obtener una 
fracción equivalente: 
 
a
a
a
a
a
a
a 2
6
2
6
2
2
2
3
22
 
 
 Por lo tanto: 
a
a
a 2
6
2
3
 
 
 
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 3 
 
 
b) Cuando el denominador de la fracción es un binomio 
 
Supón que ahora quieres racionalizar la siguiente expresión: 
 
32
5

 
 
Si multiplicas por 3 el numerador y el denominador como en el caso anterior, no vas a lograr eliminar la raíz del 
denominador: 
 
 
332
35
332
35
3
3
32
5
2 




 
 
 
 
¿Cómo lograr que desaparezca la raíz del denominador? 
 
Utiliza las propiedades de los productos notables, en este caso especial el de los binomios conjugados. 
¿Recuerdas cuál es la forma de un binomio conjugado? 
 
   22 bababa  
 
Para este ejemplo, el denominador es: 32 
 
¿Cuál será el conjugado de este binomio? 
 
Si observas la expresión de los binomios conjugados, mientras que un binomio tiene signo positivo, el otro tiene 
signo negativo, cumpliendo con esta regla se puede aplicar el producto notable. 
 
Por lo tanto, si tienes 32 , su conjugado será 32 . Al multiplicar estos dos binomios te aseguras de tener 
como resultado una diferencia de cuadrados. No olvides que necesitas que la expresión sea equivalente, por lo 
que debes multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador. 
 
 
Observa lo siguiente: 
 
   
3510
1
3510
34
3510
32
3510
32
32
32
5
22













 
 
Por lo tanto: 3510
32
5


 
 
 
 
Observa cómo la raíz cambia de lugar, pero 
permanece en el denominador 
 
 
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 4 
En resumen 
 
Para racionalizar un binomio en el denominador: 
 
1) Determina el conjugado del denominador 
2) Multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado 
3) Simplifica 
 
 Observa algunos ejemplos. 
 
 
Ejemplo 1 
 
Racionaliza la siguiente expresión: 
53
2

 
 
El conjugado de 53 es 53 
 
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado: 
 
 
    59
1023
53
1023
53
53
53
2
22 









 
 
Simplifica: 
 
4
1023
59
1023 



 
 
 
 
Ejemplo 2 
Racionaliza la siguiente expresión: 
32
31


 
 
El conjugado de 32 es 32 
 
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado. 
 
1
335
34
3332
32
32
32
31 









 
 
 
Simplifica: 
 
 
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 5 
335
1
335
32
31





 
 
 
Ejemplo 3 
Racionaliza la siguiente expresión: 
yx 
1
 
 
El conjugado de yx  es yx  
 
Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado: 
 
    yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx 









222
1
 
 
 
Simplifica: 
 
yx
yx
yx 



2
1
 
 
En esta lectura aprendiste cómo racionalizar una expresión que tiene raíces en el denominador, debido a que es 
más sencillo hacer operaciones como la suma o resta de fracciones si en el denominador no existen radicales. 
 
Recuerda que realizar operaciones con radicales permite no perder decimales en el proceso, sobre todo cuando 
se tienenque hacer varias operaciones. 
 
Existen varias fórmulas que utilizan radicales y por ello que es importante saber realizar operaciones con ellas. A 
continuación te muestro un ejemplo donde se aplican radicales en la solución de problemas. 
 
 
Problema: 
 
Una fórmula utilizada para calcular la altura promedio en niñas de 1 a 60 meses es la siguiente: 193  ma
Donde a representa la altura en pulgadas y m es la edad de las niñas en meses. 
 
Edna está preocupada por la estatura de su hija porque es la más pequeña de la guardería y quiere saber si está 
muy debajo del promedio. La hija de Edna mide 26.5 pulgadas y tiene 32 meses. 
 
Analiza cómo puedes calcular la altura promedio que debe tener la hija de Edna. 
 
 
 
 
 
 
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 6 
Como la edad de la hija de Edna es de 32 meses, por lo tanto, 32m si lo sustituyes en la ecuación: 
193  ma 
 
10212
10223
1923
19323
2
5




a
a
a
a
 
 
Para determinar la medida más aproximada, determina el valor de 2 con tres decimales: 
 
968.26
10)414.1(12
10212



a
a
a
 
La altura que debe tener en promedio una niña de 32 meses es de 97.26 pulgadas aproximadamente y la altura 
que tiene actualmente la hija de Edna es de 5.26 pulgadas, por lo que aunque está debajo del promedio, la 
diferencia que existe es muy poca. 
 
Es importante que practiques las operaciones con radicales, ya que en temas posteriores los vas a utilizar como 
herramienta, como en trigonometría, donde se pueden calcular los valores de algunos ángulos a partir de relaciones 
establecidas. Al respecto, observa el siguiente ejemplo. 
 
 
Calcula el seno 105 , a partir de las funciones trigonométricas de 60 y 45 . 
 
Toma en consideración que: 
 
    4560cos45cos604560105 sensensensen 
 
Función trigonométrica Relación 
60sen 
2
3
 
60cos 
2
1
 
45sen 
2
1
 
45cos 
2
1
 
 
 
 
 
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 7 
Solución 
 
A partir de la relación: 
 
   4560cos45cos604560105 sensensensen 
 
Se puede decir que: 
   


























2
1
2
1
2
1
2
3
4560sen 
 
Como hacer esta operación se complica, es conveniente racionalizar: 
2
1
 
De esta forma: 
 
2
2
2
2
2
1
 
 
Sustituyes los valores racionalizados: 
 
 
































2
2
2
1
2
2
2
3
4560sen 
 
Haciendo operaciones: 
 
 
4
26
4
2
4
6
2
2
2
1
2
2
2
3
4560

































sen 
 
Por lo tanto, el  
4
26
105

sen 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Bibliografía 
Allen, A. (2004). Álgebra Intermedia (6ª. ed.). México: Prentice Hall. 
Baldor, A. (1988). Álgebra. México: Publicaciones Cultural. 
Barnett, R., Ziegler, M. & Byleen, K. (2000). Álgebra (6ª. ed.). México: McGraw-
Hill. 
Bello, I. (1999). Álgebra elemental. México: Internacional Thomson Editores.