ecuaciones de primer grado con incognita

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FEC-03_M1AA1L2_Aplicaciones 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
 
 
 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
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 Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado con una 
incógnita 
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
 
En matemáticas es común encontrar problemas que pueden ser modelados como una ecuación de 
primer grado con una incógnita, sin embargo, la modelación de una ecuación requiere del conocimiento 
del lenguaje algebraico, es decir, el saber cómo las palabras que vienen en el problema las podemos 
traducir a expresiones algebraicas separadas y, por lo tanto, a una ecuación. 
La tabla 1 muestra algunas de las frases más comunes que se pueden encontrar en los problemas. 
Lenguaje común Lenguaje algebraico 
El doble de un número x2 
El triple de un número incrementado 
en 5 
53 x 
El 15 % de un número x15.0 
Dos enteros consecutivos 1, xx 
La tercera parte de un número 
3
x
 
Un número incrementado en el 3 % xx 03.0 
8 menos que un número 8x 
La diferencia de dos números yx  
El cubo de un número 3x 
El cociente de dos números 
y
x
 
La semisuma de dos números 
2
yx 
 
Tabla 1. Conversión de lenguaje común a lenguaje algebraico. 
 
Además de conocer la conversión del lenguaje común al lenguaje algebraico, es conveniente seguir un 
orden para resolver un problema. A continuación se presentan algunos pasos que nos pueden servir. 
 
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Pasos para resolver un problema 
 
1) Leer el problema, identificando los datos que 
proporciona el enunciado. 
2) Si es necesario, se puede trazar un diagrama. 
3) Elegir la variable que va a identificar la incógnita de la 
ecuación. 
4) Reescribir el problema como una ecuación. 
5) Resolver la ecuación. 
6) Contestar la pregunta solicitada en el problema. 
7) Verificar que la respuesta encontrada sea la que 
resuelva el problema. 
 
Veamos algunos ejemplos aplicando los pasos anteriores. 
 
Ejemplo 1: problema numérico 
¿Cuál es el número que sumado con su doble, con su tercera parte y disminuido en 3 es 37? 
Solución: 
 
 
El número será nuestra incógnita, y lo representaremos 
con la letra x . 
 
Lo mismo haremos con cada una de las partes del 
problema. 
 
Un número x 
El doble del número x2 
La tercera parte del número 
3
x
 
Reescribimos el problema en lenguaje algebraico: 
 
 
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3 
 
El número sumado con su doble, con su tercera parte y disminuido en 3 es 37 
373
3
2 
x
xx 
Resolvemos la ecuación, multiplicando toda la ecuación por el mcd que es 3. 
     
 
     37333
3
3
233 
x
xx 
111963  xxx 
911110 x 
12010 x 
12
10
120
x 
Como x representa el número que estamos buscando, entonces la respuesta es 12. 
Podemos verificar este resultado: 
El número sumado con su doble, con su tercera parte y disminuido en 3 es 37. 
37342412  
37 = 37 
Por lo tanto, el número que estamos buscando es 12. 
 
Ejemplo 2: problema con porcentajes 
Juan compra una camisa que tenía el 15 % de descuento en 125 pesos. ¿Cuál será el precio sin 
descuento? 
Solución: 
 
 
En este caso, el precio de la camisa antes del descuento 
es el valor que estamos buscando, por lo que lo 
representaremos con la letra x . 
 
 
 
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Representando los datos del problema: 
El precio de la camisa x 
El 15 % del precio de la camisa x15.0 
Reescribimos el problema en lenguaje algebraico: 
El precio de la camisa menos el 15 % es $125. 
12515.0  xx 
Resolvemos la ecuación: 
12515.0  xx 
12585.0 x 
06.147
85.0
125
x 
Como x representa el precio de la camisa antes del descuento, el precio era de 00.147$ 
redondeando los decimales. 
 
Podemos comprobar este resultado si lo sustituimos en la ecuación correctamente. 
El precio de la camisa menos el 15 % es $125. 
12522147  
 
Ejemplo 3: problema geométrico 
Roberto tiene un terreno rectangular. Su vecino ha construido una barda que abarca lo largo de su 
terreno. El primero ha decidido cubrir las tres partes restantes con tela de alambre, aprovechando así la 
barda del vecino. 
En el terreno de Roberto, el ancho es un metro más que la mitad de su largo, y el perímetro del terreno 
abarca 20 metros. ¿Cuánto medirá el terreno de Roberto de largo y de ancho? ¿Cuánto le faltará a 
Roberto por cubrir con la tela de alambre? 
 
Solución: 
 
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En este caso es conveniente hacer un diagrama. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Diagrama del terreno. 
 
Representamos los datos en lenguaje algebraico: 
Largo = x 
El ancho es un metro más que la mitad de su largo = 1
2

x
 
El perímetro del terreno es igual a 20 metros. 
Para calcular el perímetro de un rectángulo, se suman todos los lados. 
    201
2
1
2













xx
xx 
Resolvemos la ecuación. 
Sumamos términos semejantes: 
2023 x 
2203 x 
 
 
6
3
18
x 
Barda 
Ancho 
Largo 
183 x
 
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En este caso, la 6x representa el largo del terreno y el ancho se obtiene calculando con base en la 
relación que ya habíamos establecido: 
El ancho es un metro más que la mitad de su largo = m
x
4131
2
6
1
2
 
Por lo tanto, el ancho del terreno es de m4 y ellargo del terreno es m6 . 
Como Roberto sólo quiere cubrir los tres lados que le faltan, sumaremos dos veces el ancho y una vez 
el largo. 
Lados faltantes igual a m146)4(2  . 
Por lo tanto, el ancho del terreno es de m4 y el largo es m6 . Entonces la cantidad de tela de 
alambre que tiene que comprar Roberto para cubrir su terreno es de m14 . 
 
Ejemplo 4: problema con fracciones 
 
Juan trabaja en un restaurante. Distribuye su sueldo mensual de la siguiente manera: la mitad en 
comida y renta de su casa; la quinta parte en vestido; la sexta parte en diversiones y los $ 2,000.00 
restantes los ahorra. ¿Cuál es el sueldo de Juan? 
 
Solución: 
 
 
En este problema, no conocemos el sueldo de Juan, por 
lo tanto, lo representaremos con la letra x . 
 
 
Transcribiremos los datos del problema en lenguaje algebraico: 
La mitad del sueldo se gasta en comida y renta = 
2
x
 
La quinta parte en vestido =
5
x
 
La sexta parte en diversiones =
6
x
 
Ahorro = 2000 
 
Para establecer la ecuación, sabemos que si sumamos cada una de las cosas en las que Juan se gasta 
su dinero podremos determinar su sueldo, por lo tanto, gasto de comida y renta más vestido, 
diversiones y ahorro es igual al salario: 
 
 
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x
xxx
 2000
652
 
Resolvemos la ecuación: 
x
xxx
 2000
652
 
El mcd de 2, 5 y 6 es 30. 
  





 x
xxx
2000
652
30 
   x
xxx
30200030
6
30
5
30
2
30
 
xxxx 30600005615  
600003026  xx 
600004  x 
15000
4
60000



x 
Por lo tanto, el sueldo de Juan es de $ 15,000.00 
Sabiendo esa cantidad podemos calcular cuáles son los gastos de Juan. 
La mitad del sueldo se gasta en comida y renta: 00.500,7$
2
15000
2

x
 
La quinta parte en vestido: 00.3000$
5
15000
5

x
 
La sexta parte en diversiones: 00.2500$
6
15000
6

x
 
Ahorro: 00.2000$ 
 
Podemos comprobar el resultado sumando cada una de las cantidades: 
150002000250030007500  
 
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Ejemplo 5: problema de mezclas 
En un laboratorio químico se tiene una solución ácida al 70 % y otra al 25 %. ¿Cuántos mililitros de la 
solución al 70 % se deben agregar en 150 mililitros de la solución al 25 % para obtener una solución al 
45 %? 
Solución: 
Representamos los datos del problema: 
La solución ácida = x 
La solución al 70 % = x7.0 
Tenemos 150 mililitros al 25 % = )150(25.0 
La solución total debe ser la solución ácida más 150 mililitros al 45 % = )150(45.0 x 
Para establecer la ecuación tenemos: 
La solución ácida al 70% más los 150 ml al 25 % debe ser igual a la solución total al 45 %: 
 15045.0)150)(25.0(7.0  xx 
Resolvemos la ecuación: 
 15045.0)150)(25.0(7.0  xx 
5.6745.05.377.0  xx 
5.375.6745.07.0  xx 
3025.0 x 
120
25.0
30
x 
Por lo tanto, para obtener una solución ácida al 45 % se deben agregar 120 ml de solución al 70 
% de los 150 ml que ya se tenían al 25 %. 
 
 
Como puedes darte cuenta, existen diferentes tipos de 
 
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problemas que se pueden solucionar planteando una 
ecuación de primer grado con una incógnita. 
 
 
 
 
 
 
En esta lectura te mostramos la manera en que se 
resuelven algunos de ellos, sin embargo, es importante 
que recuerdes que para resolver un problema es muy 
importante leer con atención. Esto con la finalidad de que 
seas capaz de extraer la información necesaria y 
transformarla al lenguaje algebraico para establecer la 
ecuación que más tarde tendrás que resolver y 
determinar la respuesta al problema.