elementos geometricos

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©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 Elementos geométricos 
Por: Sandra Pérez 
Conceptos básicos 
De acuerdo a Fuenlabrada (2007): 
 
 
 
“La Geometría es la ciencia que estudia las propiedades 
de las formas o figuras” (p. 3). 
 
 
 
 
A la geometría también se le conoce como geometría plana o geometría euclideana. Esta última 
denominación es en honor a Euclides, un matemático y geómetra griego que desarrolló las bases de la 
geometría plana. 
 
 
Con base en las proposiciones lógicas existen las proposiciones matemáticas, las cuales se pueden 
dividir en: 
 
a. Axioma: es una proposición evidente que no requiere demostración. 
b. Postulado: es una proposición cuya verdad se admite sin demostraciones, aunque no sea tan 
evidente como el axioma. 
c. Definición: es una proposición que requiere de una descripción. 
d. Teorema. es una proposición que requiere de una demostración. 
e. Corolario: es una proposición que es consecuencia de otra y su demostración requiere de algún 
tipo de razonamiento. 
 
A continuación se enuncian algunos elementos básicos de la geometría que no se encuentran definidos 
como son: punto, recta y plano, sin embargo se pueden relacionar unos con otros, con el fin de 
establecer algunos postulados. 
 
 
 
 
 
 
 
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Punto 
 
Línea recta 
 
Plano 
 
 
 Figura 1. Punto. 
 
 Figura 2. Línea recta. Figura 3. Plano. 
Indican un lugar de referencia, 
generalmente se denominan con 
una letra mayúscula. 
No tiene límites, es decir, no tiene 
un inicio o un fin para indicar que 
no tiene fin, pero generalmente se 
le pone una flecha. 
Está conformado por varias líneas 
que se unen entre sí para formar 
una figura geométrica de dos 
dimensiones. 
Tabla 1. Punto, recta y plano. 
 
 
Postulados que relacionan punto, línea y plano 
 
1. Toda recta tiene por lo menos dos puntos 
distintos. 
 
 
 Figura 4. Postulado que relacionan punto, línea y plano 1. 
 
 
 
2. Dos puntos distintos en el espacio tienen 
una recta que los contiene. 
 
 Figura 5. Postulado que relacionan punto, línea y plano 2. 
 
 
3. Todo plano contiene por lo menos tres 
puntos distintos que no están sobre la 
misma línea 
 
 
 
 
 Figura 6. Postulado que relacionan punto, línea y plano 3. 
4. Tres puntos distintos que no están en la 
misma línea están contenidos en un 
plano. 
5. Ningún plano contiene todos los puntos 
del espacio. 
 
 
 
 Figura 7. Postulado que relacionan punto, línea y plano 4. 
 
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Estos postulados nos permiten establecer relaciones entre punto, recta, plano y espacio, así como 
desarrollar nuevos conceptos. 
 
Ángulos 
 
Un ángulo es la abertura formada por dos semirrectas llamados lados y que tienen un punto en común 
llamado vértice. 
 
Formas diferentes de denominar un ángulo 
Indicando con las tres letras 
mayúsculas que se colocan 
en los lados y el vértice. 
 
Ángulo AOB 
 
 
 Figura 8. Denominar un ángulo 1. 
Con una letra entre los dos lados 
que forman el ángulo. 
 
 
Ángulo A 
 
 
 Figura 9. Denominar un ángulo 2. 
Con una letra mayúscula 
colocada en el vértice del 
ángulo. 
 
Ángulo A 
 
 
 Figura 10. Denominar un ángulo 3. 
Tabla 2. Formas diferentes de denominar un ángulo. 
 
 
La medida de un ángulo la da la abertura que existe entre los dos lados que lo forman. 
 
Las medidas de los ángulos se dan principalmente en dos sistemas: 
 
a. Sistema sexagesimal 
Se basa en la división de la circunferencia en 360 partes iguales llamadas grados. Cada grado 
está dividido en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Se puede expresar como sigue: 
 
360 grados 1grado = 60 minutos = 3600 segundos 1 minuto=60 segundos 
360° 1°=60´=3600” 1´=60” 
 Tabla 3. Sistema sexagesimal. 
 
 
b. Sistema cíclico 
Se basa en la división de la circunferencia en varias partes denominadas radianes. 
 
Un ángulo de un radian se obtiene cuando la abertura es igual al radio de la circunferencia. 
 
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Figura 11. Sistema cíclico. 
La longitud del arco AB es la distancia que existe entre el punto A al 
punto B. 
 
El radio 0A es la distancia que hay del centro de la circunferencia al 
punto A. 
 
 Como AB= OA, la razón (división) entre AB y OA será un radian: 
 
 
 
 
Con base en esta definición se puede establecer la siguiente fórmula que relaciona la longitud de arco 
con el radio. 
 
 
La relación que existe entre los grados sexagesimales y los radianes es la siguiente: 
 
 
Con esta relación y una regla de tres simple se puede convertir de radianes a grados o de grados a 
radianes. 
 
 
A continuación se presentan algunos ejemplos: 
 
Ejemplo 1 
 
Convertir 60° a radianes. 
Podemos utilizar cualquiera de las dos relaciones, usemos 180° = π radianes 
 
Aplicando la regla de tres simple, escribimos la equivalencia en el primer renglón y en el segundo renglón el 
dato conocido, debajo de la unidad que le corresponde y una x en el dato que se quiere conocer. 
 
180° p radianes 
60° x 
 
 
 
o 
 
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Recuerda que para hacer la operación se multiplica en cruz y se divide entre el dato que sobra: 
 
180º 𝜋 radianes 
60º x 
 
 
Así, la operación será: 
 
radianesradianesx 047.1
3180
))(60(
==
°
°
=
pp
 
 
Clasificación de ángulos 
 
Existen varias clasificaciones de los ángulos de acuerdo con el criterio que se considere. 
 
a. Por el sentido: 
 
Positivos: Cuando el lado final gira 
en sentido contrario del reloj 
Negativos: Cuando el lado final gira 
en sentido del reloj 
 
 Figura 12. Ángulos positivos. 
 
 Figura 13. Ángulos negativos.Tabla 4. Clasificación de ángulos por el sentido. 
 
 
b. Por la medida de sus ángulos: 
 
Ángulo agudo 
 
La abertura de los lados está entre 0° y 90° 
 
 Figura 14. Ángulo agudo. 
Ángulo recto 
 
La abertura de los lados es 90° (para indicar 90° se escribe 
un cuadro entre los lados) 
 Figura 15. Ángulo recto. 
Por lo tanto, 60° = 1.047 radianes 
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Ángulo obtuso 
 
La abertura de los lados es mayor a 90° y menor a 180° 
 
 Figura 16. Ángulo obtuso. 
Ángulo colineal o llano 
 
La abertura de los lados es de 180° 
 
 Figura 17. Ángulo colineal o llano. 
Ángulo entrante 
 
La abertura de los lados es mayor a 180° y menor a 360° 
 
 Figura 18. Ángulo entrante. 
Ángulo perígono 
 
La abertura de los lados es de 360° 
 Figura 19. Ángulo perígono. 
Tabla 5. Clasificación de ángulos por su medida. 
 
 
 
c. Por la suma de sus ángulos 
 
Ángulos complementarios 
 
Son dos ángulos contiguos (uno junto 
al otro), los cuales suman 90° 
A+B=90° 
Ángulos suplementarios 
 
Son dos ángulos contiguos (uno 
junto al otro), los cuales suman 180° 
A+B=180° 
Ángulos conjugados 
 
Son dos ángulos contiguos (uno 
junto al otro), los cuales suman 360° 
A+B=360° 
 
 
 
 
 
 
Figura 20. Ángulos complementarios. Figura 21. Ángulos suplementarios. Figura 22. Ángulos conjugados. 
Tabla 6. Clasificación de ángulos por su suma. 
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d. Por la posición que ocupan en dos rectas paralelas y lo atraviesa una recta transversal 
inclinada 
 
 Figura 23. Ángulos por posición. 
 
 
 
Ángulos alternos internos 
 
 
c=f 
 Figura 24. Ángulos alternos internos 1. 
 
 
 
 
d=e 
 Figura 25. Ángulos alternos internos 2. 
 
 
Ángulos alternos externos 
 
 
a=h 
 Figura 26. Ángulos alternos externos 1. 
 
 
 
 
b=g 
 Figura 27. Ángulos alternos externos 2. 
 
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Ángulos opuestos por el vértice 
 
 
c=b 
Figura 28. Ángulos opuestos por el vértice 1. 
 
 
 
a=d 
Figura 29. Ángulos opuestos por el vértice 2. 
 
g=f 
Figura 30. Ángulos opuestos por el vértice 3. 
 
 
e=h 
Figura 31. Ángulos opuestos por el vértice 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ángulos correspondientes 
 
a=e 
 Figura 31. Ángulos correspondientes 1. 
 
 
d=h 
 Figura 32. Ángulos correspondientes 2. 
 
b=f 
 Figura 33. Ángulos correspondientes 3. 
 
c=g 
 Figura 34. Ángulos correspondientes 4. 
Ángulos colaterales internos 
 
c + e= 180º 
 Figura 35. Ángulos colaterales internos 1. 
 
 
 
d + f =180º 
 Figura 36. Ángulos colaterales internos 2. 
Ángulos colaterales externos 
 
a + g =180º 
 
 
b + h = 180º 
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 Figura 37. Ángulos colaterales externos 1. Figura 38. Ángulos colaterales externos 2. 
Angulos adyacentes 
 
a + b=180º 
e + f =180º 
 Figura 39. Ángulos adyacentes 1. 
 
 
 
c+d=180º 
g+h=180º 
 Figura 40. Ángulos adyacentes 2. 
 
b + d= 180º 
f + h= 180º 
Figura 41. Ángulos adyacentes 3. 
 
c + a = 180º 
g + e = 180º 
Figura 42. Ángulos adyacentes 4. 
Tabla 7. Clasificación de ángulos por su posición. 
 
 
 
Es tiempo que revises algunos ejemplos de problemas o situaciones que se pueden presentar y resolver 
mediante la aplicación de la geometría plana. Toma en cuenta que para resolver estos problemas se 
recomienda: 
 
 
Leer	el	problema		
con	detenimiento	
para	saber	qué	se	
pide	en	él.
Identificar	el	
concepto	o	figura	
geométrica	con	la	
que	tiene	relación.
Distinguir	qué	
fórmula	o	
postulado	aplicar.
Realizar	las	
operaciones	sin	
cometer	errores	en	
los	cálculos.
Verificar	el	
resultado	e	
interpretar	la	
solución.
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Figura 43. Recomendaciones para resolver problemas. 
Problemas de ángulos 
Ayudando a Laura 
 
Laura es arquitecto y diseña el proyecto de una casa que le 
solicitaron unos clientes. Parte de los dibujos que ha 
desarrollado se muestran en la siguiente figura. 
 
Laura midió el ángulo A y encontró que es igual a 35º, pero 
desconoce cuál es el valor de los ángulos B y C, ¿puedes 
ayudarle? Calcula los ángulos B y C. 
 
 
 
 
 
Solución 
Figura 44. Problema ayudando a Laura. 
 
Comenzaremos por asignar las variables D y E a los ángulos 
internos del triángulo que se forma en el dibujo para poder 
identificarlos más fácilmente. 
 
 
 Figura 45. Asignación de variables D y E 
 
 
Como puedes observar el ángulo D es un ángulo recto, es decir mide 90° y como la suma de los 
ángulos internos de un triángulo deben sumar 180° se puede determinar el valor del ángulo E como 
sigue: 
 
Si °=++ 180EDA y °=°= 9035 DyA 
 Sustituyendo los valores de DyA se puede despejar el valor de C 
 °=+°+° 1809035 E 
 
 Haciendo operaciones 
 °=+° 180125 E 
 
 Despejando E55125180 =-=E 
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Por lo tanto, el valor de E es 55° 
 
Como el ángulo E y el ángulo C son opuestos por el 
vértice se dice que CE = 
 
 
 
Figura 46. Los ángulos C y E son opuestos por el vértice y los 
ángulos C y B son suplementarios 
 
 	
Por lo tanto, el valor de °= 55C 
 
Si observas te darás cuenta que los ángulos ByC son suplementarios, es decir, suman 180°. 
 
 De esta forma °=+ 180BC 
 Sustituyendo el valor de °= 55C 
 °=+° 18055 B 
 
Despejando el valor de B 
 °=°-°= 12555180B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La tienda de Laura 
 
Además de ser arquitecto, Laura tiene una tienda de piezas de ornato en donde vende muchos artículos 
como: jarrones, velas, macetas, portarretratos. Debido a que la tienda se encuentra en una zona de la 
ciudad en donde se han presentado robos últimamente, Laura acudió a una tienda de electrónica y 
De esta forma los valores de los ángulos 
que está buscando Laura son: 
 
 
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encontró dos modelos de sensores que detectan el movimiento y emiten un sonido indicando que un 
cliente acaba de entrar a la tienda. 
 
Laura desea que el sensor cubra el mayor ángulo posible pero se encontró con el problema que los 
ángulos de los dos sensores están dados en radianes y ella está acostumbrada a utilizar los grados 
sexagesimales para dimensionar ángulos. 
¿Qué sensor debe comprar Laura si el sensor A cubre un ángulo de 7
p
radianes y el sensor B cubre un 
ángulo de 0.22 radianes? Ayuda a Laura a decidir. 
 
 
Solución 
 
Para que Laura pueda tomar una decisión necesita conocer el ángulo que cubre cada sensor, por lo que 
se requiere hacer la conversión de radianes a grados sexagesimales. 
 
Recuerda que p=°180 radianes 
 
Comencemos con 7
p
 radianes 
 
Aplicando la regla de tres escribimos la equivalencia en el primer renglón y en el segundo renglón el 
dato conocido, debajo de la unidad que le corresponde y una x en el dato que se quiere conocer. 
 
180° p radianes 
 
x 
 
7
p
 radianes 
 
Recuerda que para hacer la operación se multiplican en cruz los datos conocidos y se divide entre el 
tercer dato conocido. 
 
 
 
180° p radianes 
 
x 
 
7
p
 radianes 
 
Así, la operación será: 
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°=
÷
ø
ö
ç
è
æ°
= 71.257
)180(
p
p
x
 
 
Para el ángulo de 0.22 radianes se realiza el mismo procedimiento. Recuerda que para hacer la 
operación se multiplica en cruz y se divide entre el tercer dato conocido: 
 
 
180° 
 
p radianes 
 
 
x 
 
0.22radiane
s 
 
Así, la operación será: 
 
( )
°=
°
= 6.1222.0)180(
p
x
 
 
 
 
 
 
Karla y su fuente 
 
Figura 47. Diagrama de la Fuente de Karla. 
 
En otra ocasión, Karla, quien es prima de 
Laura, le pidió ayuda para instalar una 
fuente, como la que se muestra en la 
figura. 
 
Si el círculo de la fuente tiene un radio de 
1.8 metros y Karla desea que los escalones 
tengan una longitud de 90 centímetros, 
¿qué valor tiene el ángulo A? 
 
 
Como Laura prefiere el sensor que cubra el mayor ángulo posible es muy probable que 
compre el sensor A, ya que cubre radianes lo cual equivale a 25.71°. 
 
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Solución 
 
Por definición: 
 
 
 
Un ángulo de un radian se obtiene cuando la abertura es 
igual al radio de la circunferencia. 
 
 
 
 Figura 48. Puntos en una circunferencia. 
La longitud del arco AB (marcado en verde) es la distancia 
que existe entre el punto A al punto B. 
 
 
El radio 0A es la distancia que hay del centro de la 
circunferencia al punto A. 
 
 
 
Como AB= OA, la razón (división) entre AB y OA será un radian 
 
 
 
 
Utilizando estos conocimientos previos podemos encontrar la abertura del ángulo formado si tomamos 
como la longitud de arco los 90 cm del escalón y el radio de 1.8m 
 
Pero como para poder realizar cualquier operación se debe de trabajar con las mismas unidades es 
conveniente convertir los 1.8 metros a centímetros y para ello, podemos hacer una regla de tres 
considerando que 1 metro es igual a 100 centímetros. 
 
 
 
 
 
 
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La operación será 
( )( ) cm
m
cmmx 180
1
1008.1
==
 
Una vez que los datos los tenemos en las mismas unidades realizamos la operación para encontrar el 
ángulo: 
 
5.0
180
90
===
cm
cm
radio
arcodelongitud
radianesenángulo
radianes 
 
Si los convertimos a grados sexagesimales utilizando una regla de tres simple: 
 
 
 
180° 
 
p radianes 
 
 
x 
 
0.5 
radianes 
 
 
 
 
 
La operación es: 
( )( )
°=
°
= 64.28
5.0180
radianes
radianes
x
p 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, el ángulo A que está buscando Karla es de 
 o 
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Referencia	
Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México. Mc Graw 
Hill. 
 
	Bibliografía	
Clemens, S., O´Daffer, P. & Cooney, T. (1998). Geometría (Addison- Wesley 
Iberoamericana y M. López, Trads.). México: Pearson. 
Geltner, P. & Peterson, D. (1998). Geometría (3ª ed.; H. Villágomez, Trad.). México: 
Thomson. 
 Geltner, P., Peterson, D., Swokowski, E. & Cole, J. (2002). Geometría y 
Trigonometría (3ª. ed.; H. Villagómez y J. H. Romo, Trads.). México: 
Thomson.