13-Aplicaciones,Máximos y Mínimos-FM-EO-bd

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Lic. Benjamín de Zayas Núñez 
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Resultados principales: Teoremas , corolarios, verdades matemáticas, fundamentos 
preestablecidos 
Preguntas problemas, ejercicios ejemplo etc.
Ejercicios interesantes cuya resolución aporta conocimiento y servirán de base en las 
evaluaciones posteriores 
Respuesta de los preguntas problemas y de los ejercicios ejemplo 
Índice 
2. Aplicaciones 
2.1 Ecuación de la recta tangente y normal 
2.2 Máximos y mínimos relativos 
2. Aplicaciones 
2.1 Ecuación de la recta tangente y normal
2.2 Máximos y mínimos relativos 
2.2 Máximos y mínimos relativos 
2.2 Máximos y mínimos relativos 
Otro método que veremos aquí para determinar si un punto critico es un máximo o mínimo relativo es el criterio 
de la segunda derivada que dice así: 
Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, … puntos críticos de la función 𝑓(𝑥) (esto es exactamente lo mismo que decir que
𝑓 𝑎
′
= 𝑓(𝑏) ′ = 𝑓 𝑐
′
= 𝑓 𝑑
′
= 0.
Entonces si 𝑓 𝑎
′′
< 0 esto implica que en el punto 𝑎 la función 𝑓(𝑥) tiene un máximo y
si 𝑓 𝑎
′′
> 0 esto implica que en el punto 𝑎 la función 𝑓(𝑥) tiene un mínimo
Esto se cumple para todos los puntos críticos 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, …
2.2 Máximos y mínimos relativos 
Vamos a hacer el proceso de obtención de máximos y mínimos de una función paso por paso:
Primero paso obtener los puntos críticos de una función en un intervalo dado:
Los puntos críticos de una función son aquellos que hacen cero la primera derivada por lo que el
procedimiento para obtenerlos es derivar la función e igualar a cero y por último encontrar los valores de las x.
Vemos un ejemplo que ilustre esto:
Encuentre los puntos críticos de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 10𝑥
𝑓 𝑥
′
= 𝑥2 − 10𝑥
′
= 0 Derivar e igualar a cero
2𝑥 − 10 = 0
𝑥 = 5 5 es el punto critico de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 10𝑥
2.2 Máximos y mínimos relativos 
Primero paso obtener los puntos críticos de una función en un intervalo dado:
Vemos otro ejemplo que ilustre esto:
Encuentre los puntos críticos de la función 𝑓 𝑥 =
1
3
𝑥3 −
5
2
𝑥2 + 6𝑥
𝑓 𝑥
′
=
1
3
𝑥3 −
5
2
𝑥2 + 6𝑥
′
= 0 Derivar e igualar a cero y luego resolver la ecuación para encontrar las x 
que cumplan con esta
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0
𝑥 − 3 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = 3 𝑥 = 2 Podemos ver que en los puntos cuyas x son 2 y 3 existen dos puntos críticos 
2.2 Máximos y mínimos relativos 
Segundo paso determinar entre los puntos críticos cuales son máximos y mínimos:
Para poder lograr determinar los puntos máximos y mínimos podemos aplicar el criterio de la segunda derivada 
que dice:
si 𝑓 𝑎
′′
< 0 esto implica que en el punto 𝑎 la función 𝑓(𝑥) tiene un máximo
si 𝑓 𝑎
′′
> 0 esto implica que en el punto 𝑎 la función 𝑓(𝑥) tiene un mínimo
Entonces veamos en los ejemplos anteriores que calculamos los puntos críticos si estos son máximos o 
mínimos 
2.2 Máximos y mínimos relativos 
Habíamos visto que la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 10𝑥 tenia un punto critico en 𝑥 = 5, ahora veamos si este
punto es máximo o mínimo, para esto derivemos la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 10𝑥 dos veces y evaluemos
en el punto 𝑥 = 5, si 𝑓 5
′′
< 0 tendrá un máximo y si por el contrario 𝑓 5
′′
> 0 tendrá un
mínimo:
𝑓 𝑥
′′
= 𝑥2 − 10𝑥
′′
= 2 Primero calculamos la segunda derivada
𝑓(5) ′′ = 2 Luego evaluamos en la segunda derivada de la función el valor de 5
𝑓(5) ′′ = 2 > 0 esto implica que en el punto 𝑥 = 5 la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 10𝑥 tiene un mínimo relativo y para
que esto se vea mas claro vamos a graficar la función para que vean el mínimo en el punto en la siguiente
diapositiva:
2.2 Máximos y mínimos relativos 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 10𝑥
Aquí claramente se puede ver que en
el punto 𝑥 = 5 la función tiene un
punto mínimo como habíamos
resuelto en la diapositiva anterior
2.2 Máximos y mínimos relativos 
Segundo paso determinar entre los puntos críticos cuales son máximos y mínimos:
Vamos a determinar ahora los puntos máximos y mínimos de la función del segundo ejemplo 𝑓 𝑥 =
1
3
𝑥3 −
5
2
𝑥2 + 6𝑥
En anteriores diapositivas calculamos los puntos críticos de esta función 𝑥 = 2 y 𝑥 = 3, ahora lo que nos resta es aplicar 
el criterio de la segunda derivada e identificar si son máximos o mínimos: 
𝑓 𝑥
′′
=
1
3
𝑥3 −
5
2
𝑥2 + 6𝑥
′′
= 2𝑥 − 5 Calculamos la segunda derivada 
𝑓 3
′′
= 2 ∗ 3 − 5 = 1 > 0
𝑓 2
′′
= 2 ∗ 2 − 5 = −1 < 0
Evaluamos en 𝑥 = 3
Evaluamos en 𝑥 = 2
Aquí podemos observar que la función 𝑓 𝑥 =
1
3
𝑥3 −
5
2
𝑥2 + 6𝑥 tiene un máximo en 𝑥 = 2 y un mínimo en 𝑥 = 3
2.2 Máximos y mínimos relativos 
Veamos la gráfica de 𝑓 𝑥 =
1
3
𝑥3 −
5
2
𝑥2 + 6𝑥 para corroborar que tiene un máximo en 𝑥 = 2 y un mínimo en 𝑥 = 3
Claramente podemos observar que en 𝑥 = 2 hay
un máximo y en 𝑥 = 3 un mínimo
2.2 Máximos y mínimos relativos 
Una vez entendido este proceso de determinar máximos y mínimos veamos alguna aplicación a la economía:
El departamento de economía de la empresa de venta Nike hizo un estudio de mercado y determinó que la función utilidad
de las ventas de sus zapatos dependía de la cantidad de zapatos que vendían como 𝑈 𝑥 =
1
3
𝑥3 −
500
2
𝑥2 + 60000𝑥
¿Cuántos zapatos debería vender Nike para obtener la mayor utilidad posible?
Para poder responder a esta pregunta debemos hallar los puntos críticos de esta función y ver si tiene un máximo, porque
el punto máximo correspondería a la mayor utilidad posible.
𝑈 𝑥
′
=
1
3
𝑥3 −
500
2
𝑥2 + 60000𝑥
′
= 𝑥2 − 500𝑥 + 60000 = 0
Solución
𝑥 = 200 𝑥 = 300 puntos críticos de esta función 
2.2 Máximos y mínimos relativos 
Solución
𝑥 = 200 𝑥 = 300 puntos críticos de esta función 
Ahora podemos determinar si son máximo o mínimos estos puntos 
𝑈 𝑥
′′
=
1
3
𝑥3 −
500
2
𝑥2 + 60000𝑥
′′
= 𝑥2 − 500𝑥 + 60000
′
= 2𝑥 − 500
𝑈 200
′′
= 2 ∗ 200 − 500 = −100 < 0
𝑈 300
′′
= 2 ∗ 300 − 500 = 100 > 0
De aquí podemos ver claramente que la compañía Nike debe vender 200 zapatos para obtener la mayor Utilidad posible.
Veamos algunas aplicaciones en ciencias naturales
Veamos algunas aplicaciones en ciencias naturales
1.4. Regla de la cadena
Veamos algunas aplicaciones en ciencias naturales
Veamos algunas aplicaciones en ciencias naturales
Fin