1- Sistemas de Numeración

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Sistemas de Numeración
Dr. Ing. Pablo Martín Vera
•LOS NÚMEROS SE UTILIZAN PARA EXPRESAR CANTIDAD 
•PARA CONTAR COSAS
•HISTÓRICAMENTE
– Se usaron dedos, piedras, marcas, nudos, palitos,etc.
•PROBLEMAS CON LA CANTIDAD DE SÍMBOLOS
–Cantidades grandes, muchos símbolos para representarlas
–Se complican las operaciones matemáticas
Números
•DEFINICIÓN:
–Forma de representar cantidades por medio de una combinación de 
símbolos que cumplen determinadas reglas
Sistemas de Numeración
Tipos
Aditivos 
 Egipcio
 Griego
Híbridos
 Chino clásico
 Asirio
 Arameo, etc
Posicionales
 Babilónico
 Maya
 Hindú
Sistemas de Numeración
Sistemas de Numeración Aditivos
 Sistema Egipcio
 No importa el orden de los símbolos
 No existe el cero
¿Qué número es este?
100+100 +10+10+10 +1+1+1+1
234
¿Y este que número representa?
1+1+100+10 +1+10+10+100 +1
234
Sistemas de Numeración Híbridos
 Sistema Chino
 Se combina el sistema aditivo con el multiplicativo
 Utiliza ideogramas y potencias de 10
 Importante el orden de los símbolos
 No utiliza el cero
•SISTEMA POSICIONAL
– La cantidad se obtiene como la sumatoria de un coeficiente (el símbolo)
multiplicado por la base elevada a un exponente que depende de la posición
de ese símbolo dentro de la cantidad.
Sistemas de Numeración Posicionales
M
Σ ai Bi
i = -n 
símbolo
base
posición
BASE: CANTIDAD DE SÍMBOLOS
DISTINTOS QUE FORMAN PARTE DEL
SISTEMA DE NUMERACIÓN
INCLUYENDO EL 0.
– Por ejemplo:
•Base 10: símbolos del 0 al 9
•Base 2: símbolos del 0 al 1
•Base 8: símbolos del 0 al 70 <= ai < B
Ejemplo: 52.18 => 5 x 101 + 2 x100 + 1 x 10-1 + 8 x 10-2 
Ejemplo: 52.18 => 5 x 10 + 2 x 1 + 1 x 0.1 + 8 x 0.01
Ejemplo: 52.18 => 50 + 2 + 0.1 + 0.08
Ejemplo donde la posición del 
símbolo toma relevancia
 Sistema Maya
 Base 20 (se representa con 3 símbolos diferentes pero por nivel tiene 20 símbolos diferentes) 
 Tiene el 0
¿Qué número es este?
2 x 202
10 x 201
6 x 200
800
200
6
100610
200
201
202
Sistema actual (decimal):
 Inventado por los hindúes, transmitido a Europa por los árabes 
(aprox. Siglo VIII)
 Incluye el concepto del cero
 Sistema decimal: con 10 símbolos diferentes permite representar 
cantidades muy grandes y simplificar operaciones matemáticas.
394
300
439
30
Centena Decena Unidad Décima Centésima
100 10 1 1/10 1/100
102 101 100 10-1 10-2
… …
439 4 centenas + 3 decenas + 9 unidades
4 x 102 + 3 x 101 + 9 x 100
439,5 4 x 102 + 3 x 101 + 9 x 100 + 5 x 10-1
M
Σ ai Bi
i = -n 
2
Σ ai 10i
i = -1 
Decimal
Base 10
Binario
Base 2
Octal
Base 8
Hexadecimal
Base 16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Decimal
Base 10
Binario
Base 2
Octal
Base 8
Hexadecimal
Base 16
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 10000 20 10
Sistema binario
 Base: 2
 Símbolos: 0 y 1
 A cada símbolo se lo llama bit (binary digit)
11001011 palabra de 8 bits = 1 byte
Bit menos significativo (el de 
menor peso)
Bit más significativo (el de mayor peso)
 Paridad de los sistemas posicionales de 
base par (base 2,8,10,16,etc.)
 Si la base es par, todos los pesos son pares 
menos el de exponente 0
 El dígito menos significativo me dice si el 
número es par o impar
Sistemas de numeración posicionales
 Conversión de sistemas
 De cualquier base a decimal: Aplicar la fórmula del polinomio que 
define los sistemas posicionales
M
Σ ai Bi
i = -n 
Ejemplos:
10012 = 1 . 2
0 + 0 . 21 + 0. 22 + 1. 23
1 + 0 + 0 + 8 = 910
158 = 5 . 8
0 + 1 . 81
5 + 8 = 1310
7248 = 4 . 8
0 + 2 . 81 + 7 . 82
4 + 16 + 448 = 46810
7248 = ? 10
Ejemplos
11011,1012 = 1 . 2
0 + 1 . 21 + 0. 22 + 1. 23 + 1. 24 + 1 . 2-1 + 0 . 2-2 + 1 . 2-3
1 + 2 +0 + 8 + 16 + 0,5 + 0 + 0,125 = 27,62510
2AB8,C16 = 8 . 16
0 + B . 161 + A. 162 + 2. 163 + C. 16-1
8 + 11 . 16 + 10 . 162 + 2 . 163 + 12 . 16-1 
8 + 176 + 2560 + 8192 + 0,75 = 10936,7510
2AB8,C16 = ? 10
El caso del 10
10B
1016
102
= 0 . B0 + 1 . B1 = B10
= 0 . 160 + 1 . 161 = 1610
= 0 . 20 + 1 . 21 = 210
Sistemas de numeración posicionales
 Conversión de sistemas:
 Sistema decimal a cualquier otra base
 Parte entera: 
 Divisiones sucesivas por la base
 Distribución por pesos (lo vamos a usar sólo para base 2)
 Parte fraccionaria : Multiplicaciones sucesivas por la base
Conversión entre base 2 y 10 mediante los pesos
211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
1 0 0 0 0 1 1 , 1 1 67.7510
1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 56910
1 0 1 0 0 2010
0 , 0 1 1 0.37510
1) Partiendo del binario pongo pesos y sumo
2) Partiendo del decimal me fijo con cual no me paso y voy restando
-4
1
3710 = ?2
37
-32
5
-1
0
Conversión entre base 10 a otra base
 17810 -> Base 2 17810 -> Base 8 17810 -> Base 16
2178
81
0 49
1
2
2
20
0
2
12
0
2
51 2
21 2
10
8178 16
17816 =B216
1118
2
178
82218
2 26
17810 =2628
17810 =101100102
PARTE ENTERA
DIVISIONES SUCESIVAS POR LA BASE DESTINO
98
40
24
10
Conversión entre base 10 a otra base
 0.410 -> Base 2 0.410 -> Base 8 0.410 -> Base 16
PARTE FRACCIONARIA
0.4
x 2
0.8
0.8
x 2
1.6
0.6
x 2
1.2
0.2
x 2
0.4
0.4
x 2
0.8
0.4
x 8
3.2
0.2
x 8
1.6
0.6
x 8
4.8
0.8
x 8
6.4
0.4
x 8
3.2
0.410 =0.01102 0.410 =0.31468
MULTIPLICACIONES SUCESIVAS POR LA BASE DESTINO
0.4
x 16
24
4
6.4
0.4
x 16
0.410 =0. 616
Pueden quedar dígitos hasta 15
+
Pueden quedar digitos hasta el 7
Conversión entre base 10 a otra base
0.2510 -> Base 2
PARTE FRACCIONARIA
0.25
x 2
0.5
0.5
x 2
1.0
0.3
x 2
0.6
0.6
x 2
1.2
0.2
x2
0.4
0.4
x 2
0.8
0.8
x 2
1.6
0.2510 =0.012 0.310 =0.010012
CASO 1: Termina en 0
0.6
x 2
1.2
0.310 -> Base 2
CASO 2: Periódico
1 1 1 1 1 0 1 2 
Pasaje Directo
 11111012 -> Base 8 
Se puede usar cuando las bases origen y destino están relacionadas por 
una potencia entera y positiva
1
7
5
 65728 -> Base 2 
110 101 111 010
23 = 8
1758
6 5 7 2 8 1101011110102 
0 0 
Pasaje Directo
No hay pasaje directo
A B C . B 16 101010111100,10112 
1010 1011 1100 . 1011 
 ABC.B16 BASE 8
 ABC.B16 BASE 2 BASE 8 
1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 . 1 0 1 1 2 5274.548 0 0
8? = 16