BCIN_U3_A2_JEMP

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Universidad Abierta y a Distancia 
de México 
División de Ciencias de la Salud, 
Biológicas y Ambientales 
Ingeniería en Biotecnología 
 
 
Cálculo integral 
 
 
Unidad 3 
Actividad 2 
Integración por partes 
 
Jessica Verónica Mendoza Prado 
ES202104539 
 Grupo BI-BCIN-2301-B2-002 
 
8 de mayo de 2023 
 
Problema 1 
𝐼 = ∫𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 
Primero identificamos los términos que vamos a sustituir 
𝐼 = ∫𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 = { 𝑢 = 𝑥
2
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
 
Derivamos esos términos 
𝐼 = ∫𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 = {
𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒𝑥 
 
Sacamos los términos de la integral original y les restamos las derivadas obtenidas previamente 
𝐼 = ∫𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 −∫2𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 
Integramos por partes la nueva integral 
∫𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = {
𝑢 = 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
→ {
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒𝑥
 
Lo incluimos nuevamente para integrar por partes, recordando sacar el 2 de la integración 
𝐼 = ∫𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 −∫2𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 − 2 |𝑥𝑒𝑥∫𝑒𝑥𝑑𝑥 ] 
Finalmente, obtenemos nuestro resultado multiplicando siempre por el 2 que sacamos de la integración 
y añadiendo la constante de integración 
𝑥2𝑒𝑥 − 2𝑥𝑒𝑥 + 2𝑒𝑥 + 𝑐 
Ejercicio 2 
𝐼 = ∫𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
Primero determinamos u y v y procedemos a derivar los términos de acuerdo a la regla ILATE. 
𝐼 = ∫𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = {
𝑢 = 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 = {
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥
 
Organizamos los términos obtenidos según la regla de la integral por partes 
∫𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥(−𝑐𝑜𝑠𝑥) − ∫(−𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 
Procedemos a realizar las operaciones anteriores y obtenemos (recordemos que negativo por negativo 
es positivo) 
−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + ∫𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
Integramos cosx que es sen x y tenemos y añadimos la constante de integración 
−𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑐 
Ejercicio 3 
𝐼 = ∫(2𝑥 + 2)𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 
Primero realizamos la operación dentro de la integral obteniendo 
∫(2𝑥 + 2)𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑒−2𝑥𝑥 + 2𝑒−2𝑥) 𝑑𝑥 
Debemos dividir en 2 la ecuación y sacar las constantes. Determinamos u y v según ilate 
2∫(𝑒−2𝑥𝑥)𝑑𝑥 = {
𝑢 = 𝑥
𝑑𝑣 = 𝑒−2𝑥
= {
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
𝑣 = −
1
2
𝑒−2𝑥
 
Para la segunda parte de la ecuación tenemos 
2∫𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 = −2𝑥 𝑑𝑢 = −2𝑑𝑥 = −𝑒−2𝑥𝑥 −
3
2
∫𝑒𝑢 𝑑𝑢 
Recordando que la integral de e^u es e^u, tenemos entonces 
−
3𝑒𝑢
2
− 𝑒−2𝑥 𝑥 + 𝑐 
Sustituimos el valor que habíamos otorgado a u de nuevo en la ecuación, u=-2x 
−𝑒−2𝑥𝑥 −
3𝑒−2𝑥
2
+ 𝑐 
Finalmente podemos reorganizar de la forma siguiente: 
−
1
2
𝑒−2𝑥(2𝑥 + 3) + 𝑐 
Problema 4 
𝐼 = ∫
𝑙𝑛𝑥
√𝑥
 𝑑𝑥 
Reorganizamos la ecuación para que nos sea más sencillo trabajar 
𝐼 = ∫
𝑙𝑛𝑥
√𝑥
 𝑑𝑥 = ∫
1
√𝑥
∗ ln(𝑥) 𝑑𝑥 
Determinamos según ilate quien será u y quien será v 
𝐼 = ∫
𝑙𝑛𝑥
√𝑥
 𝑑𝑥 = ∫
1
√𝑥
∗ ln(𝑥) 𝑑𝑥 =
{
 
 𝑢 = ln (𝑥)
𝑑𝑣 =
1
√𝑥
𝑑𝑥
=
{
 
 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑣 = 2∫
1
2√𝑥
𝑑𝑥 = 2√𝑥 
 
Organizamos los valores obtenidos en la fórmula para la integración por partes 
2√𝑥 ∗ ln(𝑥) − ∫
1
𝑥
+ 2√𝑥 𝑑𝑥 
Sacamos el termino constante de la ecuación 
2√𝑥 ∗ ln(𝑥) − 2∫
1
2√𝑥
 𝑑𝑥 
Finalmente, multiplicamos por la constante y añadimos la constante de integración 
2√𝑥 ∗ ln(𝑥) − 4√𝑥 + 𝑐 
Ejercicio 5 
𝐼 = ∫(4𝑥2 + 3𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
Primero, resolvemos la operación dentro de la integral 
𝐼 = ∫(4𝑥2 + 3𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 4𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
Sacamos las constantes de la integración 
4∫𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 + 3∫𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 
Integramos la primera parte 
∫𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = { 𝑢 = 𝑥
2
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
= {
𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
𝑣 = sin 𝑥
 
Organizamos según la regla de integración por partes y tenemos 
4(𝑥2 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑥) − ∫𝑥2 2𝑥𝑑𝑥 = 4(𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥) − 2∫𝑥2 𝑥𝑑𝑥 = 4𝑥2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 8∫𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 + 3 
Integramos la segunda parte de la ecuación 
3∫𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = {
𝑢 = 𝑥
𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥 
= {
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑣 = sin 𝑥
 
Sustituimos según la formula 
3 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑥 − ∫sin 𝑥 𝑑𝑥 = 3 𝑥 sin 𝑥 − 3 cos 𝑥 
Finalmente sumamos ambos resultados teniendo 
4𝑥2 sin 𝑥 + 3𝑥 sin 𝑥 − 8 sin 𝑥 + 8 𝑥 cos 𝑥 + 3 cos 𝑥 + 𝑐 
Referencias 
Profesor Alex (2018). Integración por partes Introducción. YouTube. Recuperado de 
https://youtu.be/93kW5colCAU 
Profesor Alex (2018). Integración por partes Ejemplo 1. YouTube. Recuperado de https://youtu.be/6nu-
snYlA0Q 
 Profesor Alex (2018). Integración por partes Ejemplo 2. YouTube. https://youtu.be/hvYDrt_Aq2U 
UnADM (s.f.) Contenido nuclear unidad 3. UnADM. Recuperado de 
https://dmd.unadmexico.mx/contenidos/DCSBA/BLOQUE2/BI/03/BCIN/unidad_03/descargables/BCIN_
U3_Contenido.pdf 
https://youtu.be/93kW5colCAU
https://youtu.be/6nu-snYlA0Q
https://youtu.be/6nu-snYlA0Q
https://youtu.be/hvYDrt_Aq2U