Regla de Simpson para aproximar integrales

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Regla de Simpson para aproximar integrales
Utiliza la regla de Simpson para aproximar la integral definida ∫[0 to 1] (x^3 + 2x) dx utilizando 4 subintervalos de igual longitud.
Solución:
La regla de Simpson para aproximar una integral definida en [a, b] se calcula mediante la fórmula:
∫[a to b] f(x) dx ≈ h/3 * [f(a) + 4∑[i=1 to n/2] f(x_2i-1) + 2∑[j=1 to n/2-1] f(x_2j) + f(b)]
Donde h es la longitud de cada subintervalo, n es el número total de subintervalos y x_i son los puntos en los que evaluamos la función f(x).
En este caso, tenemos a = 0, b = 1 y utilizaremos 4 subintervalos de igual longitud, por lo que h = (b - a) / n = (1 - 0) / 4 = 0.25.
Aplicando la fórmula de Simpson con los puntos de evaluación y la función dada:
∫[0 to 1] (x^3 + 2x) dx ≈ 0.25/3 * [f(0) + 4∑[i=1 to 2] f(x_2i-1) + 2∑[j=1 to 1] f(x_2j) + f(1)]
Sustituyendo los valores:
∫[0 to 1] (x^3 + 2x) dx ≈ 0.25/3 * [f(0) + 4(f(0.25) + f(0.75)) + 2(f(0.5) + f(1)]
Calculando las expresiones dentro de los paréntesis:
∫[0 to 1] (x^3 + 2x) dx ≈ 0.25/3 * [0 + 4(0.015625 + 1.890625) + 2(0.375) + 3]
Finalmente, simplificando la expresión:
∫[0 to 1] (x^3 + 2x) dx ≈ 0.25/3 * [0 + 4(1.90625) + 0.75 + 3] ≈ 0.859375
Por lo tanto, utilizando la regla de Simpson con 4 subintervalos, la aproximación de la integral definida ∫[0 to 1] (x^3 + 2x) dx es aproximadamente 0.859375.