Equilibrio de los Cuerpos Rígidos - REV00 - 2023

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UNIDAD II: Equilibrio de los Cuerpos Rígidos 
 
Autor: Ing. José Napoleone 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografía sugerida: 
 
- Estática – MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS – Beer Johnston 
 
- Estabilidad I – Enrique Fliess 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Edición y compilación: Ing. Mauricio Rossi 
Revisión 2021-V01 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CUERPOS VINCULADOS 
 
INTRODUCCIÓN 
En la naturaleza no es posible un cuerpo, en estado de reposo, que no se 
encuentre ligado o vinculado de alguna manera, ya sea directamente o por intermedio de 
otros cuerpos a la tierra. En este marco iniciaremos el estudio de los cuerpos vinculados. 
 
Elementos estructurales. 
Podemos clasificar tres tipos de elementos estructurales, según sean sus 
dimensiones predominantes: 
 
 
 
Se trabajará con esquemas estáticos que son los que resultan de llevar los 
elementos reales a esquemas simplificados. 
 
CONCEPTO DE CUERPO VINCULADO 
 
Podemos decir que un punto material se mueve con respecto a un sistema de 
referencia cuando sus coordenadas varían en función del tiempo. Si no cambian en un 
intervalo de tiempo entonces el punto se encuentra fijo. 
Supongamos que tenemos dos sistemas que llamaremos: 
 
- Sistema N°1 (S1): un punto material. 
 
- Sistema N°2 (S2): sistema (terna) de referencia. 
 
 
 
Para dejar definida la posición de cualquier sistema, en nuestro ejemplo, el 
sistema S1, debemos fijar parámetros de S1 respecto a S2. Estos parámetros son 
independientes entre sí y dependen del cuerpo en estudio, en este caso S1. 
Cuando los valores de dichos parámetros independientes varían en un intervalo 
de tiempo, se dice que el sistema S1 se mueve respecto al sistema S2. En cambio, si los 
parámetros no varían en un intervalo de tiempo, podemos decir que el sistema S1 está 
fijo respecto a S2. 
 
 
 
Cuerpos Tridimensionales
•Poseen tres dimensiones 
predominantes del mismo 
orden: ancho, largo y alto. 
Ejemplos: cuerpos en general 
o bloques.
Cuerpos Bidimensionales
•Poseen dos dimensiones
predominantes del mismo
orden: ancho y largo. El alto
(espesor) mucho menor
respecto a las anteriores.
Ejemplos: placas o losas en
donde la carga actúa en
forma normal al plano.
•Chapas: las cargas actúan en
su plano. Admiten un plano
de simetría. Su sustentación
también es simétrica al igual
que las fuerzas exteriores.
Cuerpos de una Dimensión
•Poseen una dimensión
predominante. Por ejemplo:
barras o pórticos.
•Pórticos: sucesión de barras,
de eje recto o curvo,
vinculadas entre sí en forma
espacial o en el plano.
Z 
Y 
X 
𝑆1 
𝑆2 
𝑂 
 (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) 
 
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GRADO DE LIBERTAD. 
Se define como grado de libertad (GL) al número de coordenadas independientes 
que son necesarias para especificar completamente la posición de un cuerpo. 
 
Análisis en el espacio 
Para un punto en el espacio (ejemplo anterior, S1) posee 3 grados de libertad ya 
que son necesarias 3 coordenadas independientes para indicar una determinada 
posición. 
 
Podemos decir entonces que al número de valores o parámetros que hay que fijar 
para dejar definido la única posición de S1 respecto a S2 se lo llama grado de libertad 
del sistema S1. Dar valores a esos parámetros independientes de forma tal de fijar S1 
respecto a S2 es establecer condiciones geométricas que ligan (vinculan) S1 con 
respecto a S2. Estas condiciones geométricas se denominan: condiciones de vínculo 
(CV). 
 
En el caso de una barra en el espacio se tendrá una posición perfectamente 
determinada si se conocen las coordenadas de dos de sus puntos (tres coordenadas por 
cada uno), pero siendo la barra indeformable (hipótesis de la rigidez), la distancia entre A 
y B permanecerá invariable y bastará conocer 5 de las 6 coordenadas, quedando la sexta 
coordenada determinada por la condición de rigidez. 
Entonces una barra en el espacio posee 5 GL. 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el caso de un pórtico espacial se tendrá una posición perfectamente 
determinada si se conocen las coordenadas de 3 de sus puntos (no alineados), pero 
como las distancias entre A y B, A y C y B y C son invariables (hipótesis de la rigidez) 
bastará conocer 6 de las 9 coordenadas, quedando 3 coordenadas restantes 
determinadas por la condición de rigidez. 
Por lo tanto, un pórtico espacial (un cuerpo en el espacio en el caso más general) 
posee 6 GL. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Definición de pórtico espacial: es toda estructura constituida por una sucesión de 
barras de eje rectilíneo o curvilíneo, vinculadas entre sí. Pueden ser planos o espaciales. 
 
Análisis en el plano: Chapa. 
La mayor parte de los elementos estructurales utilizados en construcciones son de 
una configuración tal que admiten un plano de simetría. Las fuerzas exteriores que 
solicitan a la estructura se encuentran en general dispuestas simétricamente respecto a 
Z 
Y 
X 
𝐴 (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) 
𝑂 
𝐵 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵) 
Z 
Y 
X 
𝐴 (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) 
𝑂 
𝐶 (𝑥𝐶 , 𝑦𝐶 , 𝑧𝐶) 
𝐵 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵) 
 
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dicho plano. En consecuencia, cada sistema de dos fuerzas ubicadas simétricamente 
respecto del plano de simetría admitirá una resultante que actúa en el mismo, por lo que 
la totalidad de las fuerzas actuantes puede reemplazarse por un sistema equivalente que 
actúa en el plano de simetría del cuerpo. Con lo cual, a los efectos prácticos se puede 
reemplazar el cuerpo rígido por un conjunto de puntos materiales planos coincidente con 
el plano de simetría y cargado con el sistema de fuerzas mencionado. Este sistema plano 
de puntos materiales recibe el nombre de chapa. 
El número de grados de libertad (GL) de una chapa surge como caso particular 
del sistema espacial. Ya que el elemento no podrá salir de su plano, no podrá llevarse a 
cabo los siguientes desplazamientos simples: a) traslación según la dirección del eje 
normal al plano; b) rotaciones según los ejes que definen el plano. Entonces de los 6 GL 
que posee un cuerpo en el espacio, quedarán 3 GL para el elemento plano chapa. 
 
Desplazamiento de una chapa. 
Los desplazamientos que pueda experimentar una chapa en su plano son dos: 
rotaciones y traslaciones. 
Decimos que una chapa experimenta una rotación cuando sus puntos se 
desplazan sobre arcos de circunferencias de centro común, denominado polo de rotación. 
Una chapa sufrirá una traslación si todos sus puntos se desplazan en la misma dirección, 
es decir cuando experimenta corrimientos paralelos. 
En consecuencia, podemos interpretar una traslación como una rotación en torno 
a un punto impropio (punto en el infinito). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclusión: todo desplazamiento de una chapa en su plano es una rotación en torno a un 
polo que puede ser propio o impropio. 
 
VINCULOS 
 
Es toda condición que limita la posibilidad de movimiento de un cuerpo. Los 
vínculos pueden ser absolutos o externos y relativos o internos. 
Absolutos o externos, son aquellos que limitan la posibilidad de movimiento del 
cuerpo con respecto a un sistema fijo o a la tierra. Un vínculo relativo, implica una 
limitación de movimiento con respecto a otro cuerpo. 
Por cada condición geométrica que limita 1 movimiento se dirá que se ha 
impuesto 1 condición de vínculo (CV). 
Se tendrán vínculos de 1era especie, de 2da especia, …, 6ta especie según sea 
el número de CV que imponen. 
Los vínculos se materializan por medio de dispositivos especiales denominados 
dispositivos de apoyo o simplemente apoyos. 
 
Ejemplo: Vincular S1 al sistema de referencia S2. Punto en el espacio  𝐺𝐿 = 3 
 
 
 
 
𝑜: 𝑝𝑜𝑙𝑜 
𝑎 𝑏 
𝑝𝑜𝑙𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜 
Z 
Y 
X 
𝑆1: 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒. 
𝑃𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎𝑟 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛 
𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜. 
𝑆2 𝑂 
 
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1) Fijamos un parámetro 𝑋 = 𝑥1 que es una condición geométrica que debe 
cumplirse en el movimiento de S1. Debe satisfacer las infinitas posiciones, peropuede ocupar cualquier posición del plano 𝑋 = 𝑥1. Estas infinitas posiciones 
cumplen con la condición geométrica establecida por lo cual hemos impuesto una 
condición de vínculo, restringiendo un grado de libertad. Ahora S1 está vinculado 
a S2, cumple con la condición 𝑋 = 𝑥1 pero no está fijo. 
 
2) Fijamos un segundo parámetro 𝑌 = 𝑦1. El cumplimiento de las dos condiciones 
geométricas implica que S1 ocupa infinitas posiciones condicionadas a que estas 
posiciones estén contenidas en la recta intersección de los planos 𝑋 = 𝑥1 y 𝑌 =
𝑦1, restringiendo un segundo grado de libertad. 
 
3) Finalmente fijamos el tercer parámetro 𝑍 = 𝑧1. El sistema está ahora vinculado y 
solo puede ocupar una posición. S1 está fijo respecto a S2. 
 
Las condiciones geométricas impuestas en total fueron 3 y hay una sola posición 
para la cual se cumplen las condiciones impuestas. A medida que vamos imponiendo 
condiciones geométricas vamos restringiendo grados de libertad. Tres condiciones 
geométricas fueron suficientes para restringir todo movimiento de S1 por lo tanto los 
grados de libertad de S1 son 3. 
Para sistemas vinculados planos (una chapa) será necesario imponerle tantas 
condiciones de vínculo (CV) como grados de libertad (GL) posea, o sea que deberán 
imponerse 3 (tres) CV. 
Del balance entre grados de libertad (GL) y condiciones de vínculo impuestos 
(CV) se desprenden las siguientes condiciones: 
- 𝐺𝐿 = 𝐶𝑉, sistema cinemáticamente determinado: el sistema ocupa una sola y 
única posición. 
 
- 𝐺𝐿 > 𝐶𝑉, sistema cinemáticamente indeterminado: el sistema tiene posibilidad de 
moverse en alguna dirección. 
 
- 𝐺𝐿 < 𝐶𝑉, sistema cinemáticamente sobre determinado: sistemas hiperestáticos 
(se verán en profundidad en Estabilidad II). 
En el siguiente cuadro se indican los distintos tipos de apoyos para sistemas 
estáticos espaciales: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TIPO APOYO o 
CONEXIÓN 
REPRESENTACIÓN ESPECIE CONDICIONES 
DE VÍNCULO 
Esfera 
 
 
1RA 
1 
 
Superficie 
lisa 
 
 
 
1RA 
 
1 
Rueda 
sobre carril 
 
 
2DA 2 
Rodillo 
sobre 
superficie 
rugosa 
 
 
2DA 2 
Rótula 
 
 
3RA 3 
Superficie 
rugosa 
 
 
3RA 3 
Bisagra 
 
 
4TA 4 
 
 
 
Z 
Y 
X 
�⃗� 
𝑂 
Z 
Y 
X 
�⃗� 
𝑂 
Z 
Y 
X 
�⃗�𝑍 
𝑂 
�⃗�𝑌 
Z 
Y 
X 
�⃗�𝑍 
𝑂 
�⃗�𝑌 
Z 
Y 
X 
�⃗�𝑍 
𝑂 
�⃗�𝑌 �⃗�𝑋 
Z 
Y 
X 
�⃗�𝑍 
𝑂 
�⃗�𝑌 �⃗�𝑋 
Z 
Y 
X �⃗�𝑍 
𝑂 
�⃗�𝑌 
�⃗⃗⃗�𝑌 
�⃗⃗⃗�𝑍 
 
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TIPO APOYO o CONEXIÓN REPRESENTACIÓN ESPECIE CONDICIONES 
DE VÍNCULO 
Junta 
Universal 
 
 
4TA 
 
4 
 
Pasador 
 
 
5TA 5 
Cojinete 
(soporta 
carga 
radial + 
axial) 
 
 
5TA 5 
Bisagra 
(Que 
soporta 
carga 
axial) 
 
 
5TA 5 
Apoyo 
Fijo 
 
 
6TA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z 
Y 
X 
�⃗�𝑍 
𝑂 
�⃗�𝑌 �⃗�𝑋 
�⃗⃗⃗�𝑋 
Z 
Y 
X �⃗�𝑍 
𝑂 
�⃗�𝑌 
�⃗⃗⃗�𝑌 
�⃗⃗⃗�𝑍 
�⃗�𝑋 
Z 
Y 
X �⃗�𝑍 
𝑂 
�⃗�𝑌 
�⃗⃗⃗�𝑌 
�⃗⃗⃗�𝑍 
�⃗�𝑋 
Z 
Y 
X 
�⃗�𝑍 
𝑂 
�⃗�𝑌 
�⃗⃗⃗�𝑌 
�⃗⃗⃗�𝑍 
�⃗�𝑋 
�⃗⃗⃗�𝑋 
Z 
Y 
X �⃗�𝑍 
𝑂 
�⃗�𝑌 
�⃗⃗⃗�𝑌 
�⃗⃗⃗�𝑍 
�⃗�𝑋 
 
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Para sistemas estáticos planos, los vínculos se resumen en el siguiente cuadro: 
 
ESPECIE APOYO o 
CONEXIÓN 
REPRESENTACIÓN CONDICIÓN 
DE VÍNCULO 
PUESTA EN 
EVIDENCIA 
DE CV 
1ra ESPECIE 
 
1 
 
1ra ESPECIE 
 
 
1 
 
 
2da ESPECIE 
 
2 
 
3ra ESPECIE 
 
3 
 
 
 
Vinculo Aparente: 
Existe vinculación aparente cuando la condición impuesta a un cuerpo no altera 
las posibilidades de desplazamiento de este. Veamos algunos ejemplos. 
 
- Caso N°1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supongamos una chapa sustentada mediante un apoyo fijo en A y un apoyo móvil 
en B. 
 
 
 
 
A 
B 
A 
E 
A 
A 
A 
B 
A 
z 
y 
A A 
z 
y 
E 
A 
B 
S1 
A 
B 
�⃗⃗� 
−�⃗⃗� 
𝑃𝑖⃗⃗⃗ 
CHAPA 
z 
y 
A 
𝑅𝐴 
𝑃𝑖⃗⃗⃗ 
CHAPA 
A 
𝑉𝐴 
𝑃𝑖⃗⃗⃗ 
CHAPA 
𝐻𝐴 
A 
𝑉𝐴 
𝑃𝑖⃗⃗⃗ 
CHAPA 
𝐻𝐴 
𝑀𝐴 
 
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De existir únicamente el apoyo fijo en A, el punto B estaría obligado a desplazarse 
según la dirección n-n normal a la dirección AB (ver figura debajo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si ahora aplicamos en B un apoyo móvil cuya dirección de desplazamiento m-m 
coincida con la recta n-n, NO estamos imponiendo a la chapa ninguna nueva condición 
por cuanto el apoyo móvil permite al punto B desplazarse en la dirección impuesta por la 
existencia del vínculo en A. 
Por lo tanto, la chapa NO se encuentra fija, estamos en un caso de vinculación 
aparente. 
Del análisis anterior se desprende que: en una chapa sustentada de la forma 
antedicha, existe vinculación aparente cuando la normal al desplazamiento del 
apoyo móvil pasa por el punto fijo perteneciente al vínculo de segunda especie. 
 
- Caso N°2: chapa sustentada mediante 3 apoyos móviles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Existirá vinculación aparente si las normales a las direcciones del desplazamiento 
de cada apoyo móvil concurren a un mismo punto O, propio. (Figura superior). 
Supongamos por un momento que el apoyo en C no existe. El apoyo móvil en A 
obliga a este punto a desplazarse en la dirección m-m. El apoyo móvil en B hace lo propio 
y permite desplazamiento en la dirección n-n. Esto equivale a suponer que ha de existir 
una rotación en torno a un polo (punto de rotación) ubicado en la intersección de las 
normal que pasa por A y B. Tenemos un polo común de rotación. Si ahora ubicamos el 
apoyo móvil en C, de tal manera que la normal a su desplazamiento pase por O, existirá 
vinculación aparente, dado que la chapa podrá rotar infinitesimalmente respecto de O. 
De forma análoga, si los tres apoyos móviles están ubicados de forma tal que las 
normales a los desplazamientos concurren a un punto impropio (𝑂∞) también existirá una 
vinculación aparente, dado que la chapa podrá trasladarse según n-n (Figura inferior): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: más ejemplos de vinculación aparente se verán en los apuntes de práctica. 
A 
B 
n-n 
S1 
n-n m-m 
A B 
S1 
normal 
S1 
B C 
𝑂∞ 
A 
normal 
n-n 
𝑂∞: POLO, EN UN 
PUNTO IMPROPIO 
A 
B 
normal 
S1 
C O 
m-m 
n-n 
O: POLO 
 
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Biela 
Sea el caso del punto A que está unido mediante una barra rígida al punto B, el 
que a su vez se encuentra vinculado con la tierra mediante una articulación (que 
llamaremos rótula). 
Como la distancia AB es invariable (barra rígida, hipótesis de la rigidez) entonces 
el punto A está obligado a moverse sobre una superficie esférica de radio AB como 
describe la siguiente figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La barra AB se denomina biela y constituye un vínculo de primera especie para el 
punto A. 
 
Concepto de pequeños desplazamientos. 
 
Si se da un desplazamiento al punto E, éste se moverá sobre un casquete 
esférico (de centro B y radio 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ ) pasando a ocupar la posición 𝐸1. Suponemos una 
rotación infinitésima con lo cual: la cuerda, el arco y la tangente se confunden, Cómo la 
tangente es normal al radio 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ se tiene que: para desplazamientos infinitesimales, los 
corrimientos que experimentan los puntos de la chapa resultan normales a las rectas 
determinadas por los puntos y el polo de rotación (punto B). 
EN CONSECUENCIA, SI PARA UN CHAPA QUE EXPERIMENTA UNA 
ROTACIÓN INFINITESIMA SE CONOCEN LOS CORRIMIENTOS INFINITESIMOS DE 
DOS DE SUS PUNTOS, QUEDA DETERMINADO EL POLO DE ROTACIÓN. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
𝐸 
𝐸1 
𝐸2 
Polo 
Z 
Y 
X 
𝑂 
B 
A 
Z 
Y 
X 
𝑂 
 
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REACCIONES DE VÍNCULO 
Consideramos un sistema estructural espacial que posee 6 grado de libertad. Le 
imponemos en la sección A un vínculo de sexta especie, es decir, un empotramiento 
espacial. Se han impuesto 6 condiciones geométricas. En consecuencia, no hay 
posibilidad de movimiento alguno. 
Por la condición de rigidez ningún otro punto del pórtico admitirá movimiento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En la sección (A) impusimos un empotramiento espacial, un vínculo espacialde 
sexta especie, por lo tanto, no hay posibilidad de desplazamientos ni giros. 
Sobre la estructura actúa un sistema de fuerzas generalizadas (𝑃𝑖, 𝑀𝑖) que son las 
fuerzas activas FA (datos del problema). 
El dispositivo de apoyo en la sección A es el medio mediante el cual se transmite 
la acción de las fuerzas activas al sistema fijo (tierra). 
Si quitamos el vínculo cortando la estructura por (A) queda el sistema dividido en 
dos partes. Si queremos restituir el equilibrio para restablecer las mismas condiciones 
que establecía la parte 𝐼𝐼 cuando estaba vinculada a la parte 𝐼 deberán colocarse las 
fuerzas generalizadas 𝑅 y 𝑀 a los efectos de que el sistema permanezca en las mismas 
condiciones que antes. 
 
Estas fuerzas generalizadas 𝑅 y 𝑀 serán opuestas a la suma de las fuerzas 
activas (FA) es decir, serán opuestas al momento de reducción en el punto A (𝑀𝑅
𝐴) y a la 
resultante de reducción (𝑅𝐴). Tendremos entonces −𝑅𝐴 y −𝑀𝑅
𝐴, vectores incógnitas que 
pasarán a ser las fuerzas reactivas (FR) que conjuntamente con las fuerzas activas (FA) 
conforman un sistema de fuerzas exteriores (FE) el cual deberá ser un sistema nulo o en 
equilibrio. Matemáticamente: 
 
 
𝐹𝐸 = 𝐹𝐴 + 𝐹𝑅 = 0 
 
En la otra cara de la sección A, deberán colocarse 
fuerzas (𝑅𝐴 y 𝑀𝑅
𝐴) a los efectos de que el vínculo quede 
en las mismas condiciones en que se hallaba antes 
de interrumpir la continuidad, esto es aplicación 
del cuarto principio de la estática. 
 
 
 
 
 
Al conjunto de fuerzas (−𝑅𝐴 y −𝑀𝑅
𝐴) y (𝑅𝐴 y 𝑀𝑅
𝐴) se las denomina REACCIONES 
DE VÍNCULO. 
 
−𝑅𝐴 
𝑅𝐴 
−𝑀𝑅
𝐴 
 𝑀𝑅
𝐴 
𝐴 
𝐴 
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝐼 
𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝐼𝐼 
A 
𝑃𝑖 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2,3, 𝑛 
𝑀𝐽 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐽 = 1,2,3, 𝑛 𝑀𝐽 
𝑃𝑖 
Z 
Y 
X 
𝑆2 𝑂 
 
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Trabajaremos con (−𝑅𝐴 y −𝑀𝑅
𝐴) que es la acción del sistema fijo al sistema 
estructural. Vínculo y reacción de vínculo no coexisten. 
Tendremos 6 incógnitas, 3 escalares de −𝑅𝐴 y 3 escalares de −𝑀𝑅
𝐴 . La estática 
nos brinda para el planteo del equilibrio 6 ecuaciones. 
Para el cálculo de las incógnitas aplicamos el concepto de fuerzas con incógnitas. 
Tenemos 6 incógnitas y seis ecuaciones se deben cumplir que: 
 
𝐹𝐴 + 𝐹𝑅 = 0 
 
La solución de este sistema de ecuaciones lineales será única si no hay 
vinculación aparente. 
 
El procedimiento de eliminar las condiciones de vínculo y colocar las fuerzas 
generalizadas que tienen el mismo efecto cinemático, se denomina poner en evidencia 
las reacciones de vínculos. 
Como criterio analítico para analizar la vinculación es el siguiente: 
 
 Se considerará que sobre el sistema no actúan fuerzas activas. Por lo tanto: 
 
𝐹𝐴 = 0 
 
 Deberá, por consiguiente, cumplirse que: 
 
𝐹𝑅 = 0 
 
Cada una de las reacciones 𝑋𝑗 es nula ya que sobre el sistema no actúan cargas. 
 
 El sistema de ecuaciones lineales que resulta de plantear las 6 ecuaciones de 
equilibrio será un sistema homogéneo porque 𝐹𝐴 = 0 
 
 Para que exista la solución trivial 𝑋1 … … 𝑋6 = 0 deberá cumplirse que el 
determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero (|𝐴| ≠ 0). 
 
Veamos el siguiente caso en que lo anterior NO se cumple: 
Consideramos un sistema plano formado por una chapa (𝐺𝐿 = 3)con un apoyo doble en 
A y un apoyo simple o móvil en E tal como se muestra en la figura inferior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tenemos: 
 
𝐺𝐿 = 3 
 
𝐶𝑉 = 3 
 
La chapa está isostáticamente sustentada ya que: 
 
𝐺𝐿 = 𝐶𝑉 
E A 
S1 
P 
E A 
S1 
P 
𝑋1 
𝑋2 
𝑋3 
Al poner en evidencia 
las reacciones de 
vínculo queda: 
 
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La chapa estará en equilibrio estático si se satisfacen las siguientes ecuaciones: 
 
∑ 𝐹𝑧 = 0 ⇒ 𝑋1 − 𝑋3 = 0 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 ⇒ 𝑃 − 𝑋2 = 0 
 
∑ 𝑀𝐴 = 0 ⇒ 𝑃 . 𝐿 = 0 
 
El determinante de la matriz de los coeficientes es: 
 
|
1 0 −1
0 −1 0
0 0 0
| = 0 
 
Para que una chapa quede fija a la tierra será necesario imponerle tantas 
condiciones de vínculos como grados de libertad posea y además no deberá existir 
vinculación aparente. 
 
 Conclusión: 
 
|𝐴| ≠ 0 ⇒ 𝑆𝐼𝑆𝑇𝐸𝑀𝐴 𝐼𝑆𝑂𝑆𝑇𝐴𝑇𝐼𝐶𝐴𝑀𝐸𝑁𝑇𝐸 𝑆𝑈𝑆𝑇𝐸𝑁𝑇𝐴𝐷𝑂 
 
|𝐴| = 0 ⇒ 𝐸𝑋𝐼𝑆𝑇𝐸 𝑉𝐼𝑁𝐶𝑈𝐿𝐴𝐶𝐼Ó𝑁 𝐴𝑃𝐴𝑅𝐸𝑁𝑇𝐸 
 
CADENAS CINEMÁTICAS 
 
Definimos cadenas cinemáticas al conjunto de 𝑛 cuerpos vinculados entre sí y a 
un sistema fijo (tierra) Las cadenas cinemáticas pueden ser: ESPACIALES y PLANOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si estamos trabajando en el plano, una cadena cinemática está compuesta por 𝑛 
chapas vinculadas entre sí. Se los clasifican en abiertas, cerradas y mixtas. Similar 
ocurre en el espacio, con la diferencia que se habla de cuerpos. 
En lo sucesivo se realizará un análisis detallado de cadenas cinemáticas en el 
plano. 
 
 
 
 
 
 
 
Cadena 
Cinemática 
de Cuerpos 
Espaciales 
Planos 
Cuerpo: 3 
dimensiones 
ROTULAS 
𝑅𝑖𝑗 
Chapa: 2 
dimensiones 
ARTICULACIÓNES 
𝐴𝑖𝑗 
 
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Cadenas Cinemáticas Abiertas 
Son las que poseen (𝑛 − 1) uniones siendo 𝑛 el número de chapas. La expresión 
para hallar los GL es: 
 
𝐺𝐿 = 3. 𝑛 − 2. (𝑛 − 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐺𝐿 = 3. 𝑛 − 2. (𝑛 − 1) = 3 . 𝑛 − 2 . 𝑛 + 2 = 𝑛 + 2 
 
𝐺𝐿 = 𝑛 − 2 
 
 
Algunos ejemplos son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐺𝐿 = 3. 𝑛 − 2. (𝑛 − 1) 
 
𝐺𝐿 = 3 . 2 − 2. (2 − 1) 
 
𝐺𝐿 = 4 
 
𝐶𝑉 = 2 + 1 + 1 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴1,2 
A B 
C 
S1 S2 
B 
S2 
A 
𝐴1,2 
S1 
S3 
𝐴1,2 ∞ 
A 
B C 
S1 
S2 
D 
𝐴2,3 
Grados de libertad por 
chapa libre. 
Número de Chapas Número de condiciones 
geométricas impuestas 
por las articulaciones 
relativas. 
Cantidad de 
articulaciones relativas. 
𝐺𝐿 = 3. 𝑛 − 2. (𝑛 − 1) 
 
𝐺𝐿 = 3 . 3 − 2 . (3 − 1) 
 
𝐺𝐿 = 9 − 4 = 5 
 
𝐶𝑉 = 2 + 1 + 1 + 1 = 5 
 
𝐺𝐿 = 3. 𝑛 − 2. (𝑛 − 1) 
 
𝐺𝐿 = 3 . 2 − 2. (2 − 1) 
 
𝐺𝐿 = 4 
 
𝐶𝑉 = 3 + 1 = 4 
 
 
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Cadena Cinemática Cerrada 
Poseen 𝑛 uniones, siendo 𝑛 el número de chapas. La expresión para hallar los GL 
es la siguientes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐺𝐿 = 𝑛 
Por ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En una cadena cerrada se tiene el mismo número de articulaciones relativas que 
de chapas del sistema. 
El mínimo número de chapas para una cadena cerrada será de tres chapas. 
 
Cadena Cinemática Mixta 
Son las generadas utilizando uniones de cadenas cinemáticas abiertas y/o 
cerradas. 
Analizando los casos anteriores, se puede generalizar los GL de la siguiente 
manera: 
 
 
 
 
Siendo: 
𝑛: número de chapas. 
𝑂: orden de la articulación. 
𝑐: cantidad de articulaciones del mismo orden. 
 
La expresión anterior es la fórmula general para determinar los grados de 
libertad de una cadena cinemática en el plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
S1 
S2 
S3 
S4 
𝐴1,2 𝐴2,3 
𝐴3,4 𝐴4,1 
B 
𝐺𝐿 = 3. 𝑛 − 2. 𝑛 
Grados de libertad por 
chapa libre. 
Número de Chapas 
Número de condiciones 
geométricas impuestas 
por las articulaciones 
relativas. 
𝐺𝐿 = 3. 𝑛 − 2. (𝑛) 
 
𝐺𝐿 = 3 . 4 − 2 . (4) 
 
𝐺𝐿 = 12 − 8 = 4 
 
𝐶𝑉 = 2 + 2 = 4 
 
𝐺𝐿 = 3 𝑛 − 2 ∑ 𝑂 . 𝑐 
 
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Nota: cuando las articulaciones relativas vinculen 2 chapas se dirá que son articulaciones 
de 1er orden. Si vinculan 𝑛 chapas, entonces el orden de la articulación será (𝑛 − 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cadenas cinemáticas abiertas. 
Sean dos chapas S1 y S2. Cada una posee en el plano 3 GL. El conjunto posee 6 
GL. 
 
 
 
 
 
 
 
Si ahora se coloca una articulación intermedia 𝐴12 entre S1 y S2, la movilidad 
entre las chapas se verá restringida y ya no podrá haber movimientos de traslación de 
una chapa respecto a la otra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desde el punto de vista del movimiento relativo, a esas chapas articuladas entre sí 
les quedará 1 GL y la articulación relativa será un vínculo de 2da especie interno, pues 
impone 2 condiciones geométricas que limitan la movilidadentre chapas (anula cualquier 
posibilidad de movimiento entre ambas). 
Luego el número de grados de libertad de la cadena de dos chapas será: 
 
𝐺𝐿 = 3 . 2 − 2 . 1 = 6 − 2 = 4 
 
 
 
 
Generalizando para un número “n” de chapas: 
 
A 
S1 
S2 
S3 
C 
𝐴1,2 
𝐴2,3,5 
𝐴3,4 
𝐴4,1 
B 
𝐴5,6 
S4 
S5 
S6 
A 
𝐺𝐿 = 3 𝑛 − 2 ∑ 𝑂 . 𝑐 
𝐺𝐿 = 3 . 6 − 2 . [(1 . 4) + (2 . 1)] 
 
𝐺𝐿 = 18 − 12 = 6 
 
𝐶𝑉 = 2 + 1 + 3 = 6 
 
S1 S2 
GL=3 GL=3 
Grados de libertad por 
chapa libre. 
Número de Chapas Número de condiciones 
geométricas impuestas 
por las articulaciones 
relativas. 
Cantidad de 
articulaciones relativas. 
S1 S2 
𝐴1,2 
 
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𝐺𝐿 = 3 . 𝑛 − 2 . (𝑛 − 1) 
 
𝐺𝐿 = 𝑛 + 2 
 
La articulación relativa entre dos chapas de una cadena cinemática puede 
también concebirse mediante dos bielas y la misma se encontrará en el punto de 
intersección de las bielas. 
El punto de unión de las dos bielas será ficticio. La existencia de la biela MN 
obliga al punto N a desplazarse según la dirección n-n. Algo similar ocurre con la otra 
biela. Ambas bielas son equivalentes a un apoyo fijo aplicado en el punto de concurrencia 
de estas, que pasará a ser el polo de rotación de la chapa S2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si las 2 bielas son paralelas, la articulación relativa ficticia encontrará ubicada en 
el punto impropio de la dirección común de las bielas. 
El desplazamiento relativo de las chapas será una rotación de polo impropio es 
decir, UNA TRASLACION. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volvamos a analizar las chapas S1 y S2 articuladas entre sí. Si se imponen 3 CV 
a la chapa S1 (Un apoyo fijo en A y un apoyo simple en B cuya normal al desplazamiento 
de este no pasa por A) la misma estará fija a tierra. Por lo visto anteriormente, la chapa 
S2 podrá rotar entorno a la articulación 𝐴12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S1 
S2 
𝐴1,2 ∞ 
S1 
S2 
𝐴1,2 
S1 
Polo 
n 
n 
M 
N 
S1 S2 
𝐴1,2 
A B 
 
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La articulación relativa 𝐴12 resultará ser un punto fijo (pertenece tanto a la chapa 
S1 como a S2) resultando para la chapa S2 como si en 𝐴12 estuviera aplicado un apoyo 
fijo (ficticio). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Luego si se coloca un apoyo móvil a la chapa S2 en C, dónde la normal a la 
dirección del apoyo no pase por 𝐴12 entonces la chapa S2 también se encontrará fija y 
por consiguiente el sistema será cinemáticamente invariante. Se han introducido al 
sistema tantas condiciones de vínculo como grados de libertad poseía el sistema y 
además se realizó el estudio cinemático. 
La condición 𝐶𝑉 = 𝐺𝐿 es necesaria pero no suficiente ya que además se deberá 
verificar que no exista vinculación aparente (estudio cinemático) para decir que el sistema 
es cinemáticamente invariante. También se debe verificar que ninguna de las chapas 
posea más de 3 CV. 
En resumen, la secuencia de análisis es la siguiente: 
 
 
 
Para una cadena cinemática abierta de dos chapas, la distribución de vínculo podrá ser: 
 
 
 
 
Arco a tres articulaciones. 
Es una cadena cinemática constituida por dos chapas articuladas entre sí, con dos 
condiciones de vínculos en cada chapa. 
Hay dos articulaciones fijas a tierra (articulaciones absolutas o externas) y una 
tercera articulación que vincula ambas chapas entre sí (articulación relativa). Las 
articulaciones absolutas son los apoyos fijos que vinculan cada chapa a tierra. 
En este caso no se tiene la situación de que una chapa resulta fija 
independientemente de la otra, sino que cada una de las chapas necesitará de la otra 
para estar fija. Es decir: cada chapa posee dos condiciones directas a tierra y la condición 
de vínculo restante debe resultar de la vinculación entre ambas chapas. 
 
 
 
 
 
 
Verificar que 
𝐶𝑉 = 𝐺𝐿
NO más de 3 
CV por chapa
Estudio 
cinemático
CHAPA S1
•3 CV
•2 CV
CHAPA S2
•1 CV
•2 CV
S1 S2 
𝐴1,2 
S1 S2 
𝐴1,2 
C 
S1 S2 
𝐴1,2 
A 
B 
 
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Existirá vinculación aparente en un arco a tres articulaciones cuando las tres 
articulaciones se encuentren alineadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si todas las articulaciones están alineadas, las chapas tendrán una posibilidad de 
desplazamiento infinitesimal en la dirección de n-n. 
 
Determinación de las reacciones de vínculo. 
 
Supongamos dos chapas, unidas entre sí por una articulación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las cadenas cinemáticas constituidas por dos chapas articuladas poseen cuatro 
grados de libertad (𝐺𝐿 = 4) por lo tanto le imponemos cuatro condiciones de vínculos 
(𝐶𝑉 = 4) para fijarlas a tierra. Ninguna de las chapas debe resultar con más de 3 
condiciones de vínculos. En consecuencia, impondremos tres condiciones a una chapa y 
una a la restante. La chapa S1 se encuentra vinculada a tierra por un apoyo fijo aplicado 
en A y un apoyo móvil en B. La normal al apoyo móvil en B no pasa por la articulación fija 
existente en A. La articulación 𝐴12 es fija por pertenecer a una chapa fija (S1) y además 
la normal aplicada en C no pasa por 𝐴12. Por lo tanto, no hay vinculación aparente. 
Analizando la cadena cinemática vemos que la chapa S1 por encontrarse vinculada 
mediante tres condiciones a tierra, no requiere colaboración de S2 a los efectos de 
sustentación. La chapa S2 requiere de la colaboración de S1 por lo tanto dos de las tres 
CV derivan de la existencia de 𝐴12 que constituye un punto fijo. De ahí que, una vez 
cargado el sistema, la chapa S1 no transmita ninguna acción a S2, mientras que esta 
última si lo hace a la primera. 
 
Para determinar analíticamente las reacciones de vínculo, ponemos en evidencia 
las reacciones de vínculos adoptadas en (A), sus componentes según los ejes 
coordenados 𝐻𝐴, 𝑉𝐴, 𝑉𝐵, 𝑉𝐶 lo que exige el planteo de 4 cuatro ecuaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S1 S2 
𝐴1,2 
A B 
C 
𝑃𝑖 
𝑉𝐴 
𝐻𝐴 
𝑉𝐵 𝑉𝐶 
z 
y 
S1 S2 
𝐴1,2 
A B 
C 
𝑃𝑖 
S1 S2 𝐴1,2 
A 
B 
n 
n 
 
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Para plantear el equilibrio de un sistema de fuerzas en el plano no concurrentes 
Si todo el sistema está en equilibrio, disponemos de 3 ecuaciones a plantear que deriven 
de las condiciones necesarias y suficientes del equilibrio de un sistema de fuerzas. 
Consideramos las fuerzas exteriores activas y reactivas que actúan sobre la chapa S1 las 
mismas admiten una Resultante. 
 
Lo mismo ocurre con la S2. Como el sistema de las fuerzas exteriores debe estar 
en equilibrio, también debe estar en equilibrio las mencionadas resultantes parciales. 
Para que ello sea posible es necesario que tenga igual intensidad, la misma recta 
de acción y que sus sentidos sean contrarios. Pero, para asegurar el equilibrio de la 
cadena cinemática, dichas resultantes parciales deben cumplir con la condición de que 
sus rectas de acción pasen por la articulación relativa 𝐴12 entre ambas chapas. Tal es el 
caso de las fuerzas 𝑇𝑆1 y 𝑇𝑆2 
 
 
 
 
 
 
 
 
De no ser así, si sus rectas de acción correspondieran a 𝑅𝑆1 = −𝑅𝑆2 , las mismas 
tendería a originar una rotación relativa entre las dos chapas, lo que es imposible por 
cuanto el sistema debe ser fija. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En consecuencia, la cuarta condición a cumplir por las fuerzas exteriores activas y 
reactivas es que la resultante de las fuerzas que actúan a la derecha o izquierda de la 
articulación relativa pase por esta última o, en otros términos, que su momento respecto a 
la misma sea cero. 
El planteo de las condiciones generales de equilibrillo lo haremos realizando dos 
ecuaciones de proyección sobre los ejes coordenados y una ecuación de momento 
respecto del punto A, por cuanto con respecto al mismo se anulan los momentos de 𝐻𝐴 y 
𝑉𝐴. 
La cuarta ecuación será una ecuación de momentos respecto de 𝐴12 de las 
fuerzas exteriores activas y reactivas aplicadas a la izquierda o derecha de dicho punto, 
indistintamente. De esta manera aseguramos que las resultantes 𝑇𝑆1 y 𝑇𝑆2 pasen por 𝐴12 . 
SI tomamos momentos de las fuerzas aplicadas sobre la chapa S1 conducirá a una solaecuación con una sola incógnita, 𝑉𝐶. 
 
 
 
 
 
 
S1 S2 
𝐴1,2 
A B 
C 
𝑇𝑆2 = −𝑇𝑆1 
𝑇𝑆1 
S1 S2 
𝐴1,2 
A 
B 
C 
𝑅𝑆2 
𝑅𝑆1 
z 
y 
z 
y 
 
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Analíticamente queda expresado de la siguiente forma: 
 
∑ 𝐹𝑧 = 0 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 
 
∑ 𝑀𝐴 = 0 
 
∑ 𝑀𝐴12
𝑆2 = 0 ó ∑ 𝑀𝐴12
𝑆1 = 0 (𝐴) 
 
 
Para el caso particular de una articulación impropia, se planteará que la suma de 
las proyecciones de las fuerzas exteriores 𝐹𝐸𝑆1 o 𝐹𝐸𝑆2 sobre un eje normal a la dirección 
común de las dos bielas (n-n) sea igual a cero. 
 
∑ 𝑃𝑆1
𝑛−𝑛 = ∑ 𝑃𝑆2
𝑛−𝑛 = 0 (𝐵) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las expresiones (A) y (B) se conocen como ecuaciones de equilibrio relativo o de 
condición. 
En resumen: 
El número de componentes de reacción de vínculos externos (incógnitas) a 
determinar en una cadena abierta de dos chapas isostáticamente sustentadas será igual 
al número de GL. 
 
El número de ecuaciones independientes que se podrá plantear serán igual a: 
 
- Tres ecuaciones de equilibrio absoluto (inmovilidad con respecto a tierra). 
 
- (𝑛 − 1) ecuaciones de equilibrio relativo o de condición. 
 
Entonces, el número de ecuaciones independientes que se podrá plantear será: 
 
𝑛° 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 3 + (𝑛 − 1) = 𝑛 + 2 
 
Es decir que se podrán plantear tantas ecuaciones independientes como número 
de incógnitas se tengan. 
 
 
 
 
 
S1 S2 
A B C 
𝑃𝑖 
𝑉𝐴 
𝐻𝐴 
𝑉𝐵 𝑉𝐶 
𝐴1,2 ∞ 
n 
n 
 
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Cadena cinemática de tres chapas 
Dado el siguiente sistema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐺𝐿 = 𝑛 + 2 
 
𝐺𝐿 = 3 + 2 = 5 
 
Luego, las condiciones de vínculo son: 
- En A, apoyo fijo: impone 2 CV 
- En B, apoyo móvil: impone 1 CV 
- En C, apoyo móvil: impone 1 CV 
- En D, apoyo móvil: impone 1 CV 
 
𝐺𝐿 = 5 = 𝐶𝑉 = 5 
 
Tenemos un sistema cinemáticamente determinado, isostático. 
Realizando un análisis, ninguna de las chapas debe poseer más de 3 CV 
absolutas. 
El análisis cinemático es el siguiente: S1 posee 3 CV (un apoyo fijo y un apoyo 
móvil). La normal al desplazamiento del apoyo móvil No pasa por A, con lo cual S1 esta 
fija. La articulación 𝐴12 vincula a S1 con S2. Dicha articulación pertenece a ambas 
chapas por lo tanto si S1 está fija, es correcto asumir que la articulación es un punto fijo y 
actúa para S2 como un vínculo de segunda especia (apoyo fijo) ficticio. Como S2 posee 
un apoyo móvil cuya normal al desplazamiento no pasa por la articulación 𝐴12 (apoyo fijo 
ficticio) entonces S2 también está fija. Por último, la articulación 𝐴23 une la chapa S2 con 
S3. Dicha articulación pertenece a ambas chapas con lo cual, es válido suponer que la 
articulación 𝐴23 es un punto fijo y actúa para S3 como un apoyo fijo ficticio. Como el 
apoyo móvil en S3 está ubicado de forma tal que su normal al desplazamiento no pasa 
por 𝐴23 entonces S3 está fija. 
Conclusión: todas las chapas están fijas sin posibilidad de movimiento, no existe 
vinculación aparente y todo el sistema es cinemáticamente invariante. 
 
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 (𝐹𝐴) + 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 (𝐹𝑅) = 0, 𝐸𝑄𝑈𝐼𝐿𝐼𝐵𝑅𝐼𝑂 
 
𝐹𝐴 + 𝐹𝑅 = 0 
𝐹𝐴: datos del problema. 
𝐹𝑅: incógnitas  𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4, 𝑋5 
 
Este es un caso de fuerzas en el plano NO concurrentes: la estática nos brinda 
tres ecuaciones de equilibrio absoluto y dos ecuaciones de condición (equilibrio relativo). 
En total podremos plantear 5 ecuaciones: 
 
𝑛° 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 𝑛° 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 
 
S1 S2 
𝐴1,2 
A B 
C 
𝑃𝑖 
S3 
𝐴2,3 D 
 
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Ponemos en evidencia las reacciones de vínculo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las ecuaciones a plantear son las siguientes: 
 
∑ 𝐹𝑧 = 0 ∑ 𝑀𝐴12
𝑆2+𝑆3 = 0 
 
∑ 𝐹𝑦 = 0 ∑ 𝑀𝐴23
𝑆3 = 0 
 
∑ 𝑀𝐴 = 0 
 
 
 
Cadena cinemática cerrada. 
 
El número de GL de la cadena cinemática cerrada de chapas es: 
 
𝐺𝐿 = 3. 𝑛 − 2. 𝑛 
𝐺𝐿 = 𝑛 → 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑛: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑐ℎ𝑎𝑝𝑎𝑠 
Sea el siguiente ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para la determinación de las componentes de reacción de vínculo externo se 
procederá efectuando la apertura de la cadena cinemática cerrada. 
Al abrir la cadena cinemática se presentarán dos posibilidades: 
 
1- Destruir la continuidad de una sección n-n. 
 
2- Destruir la continuidad de una articulación relativa. 
Ec. de equilibrio absoluto 
Ec. de equilibrio relativo 
A 
S1 
S2 
S3 
S4 
𝐴1,2 𝐴2,3 
𝐴3,4 𝐴4,1 
B 
S1 S2 
𝐴1,2 
A B 
C 
𝑃𝑖 
S3 
𝐴2,3 D 
𝑋2 
𝑋1 
𝑋3 
𝑋4 𝑋5 
 
Página 24 de 30 
 
 
 
Para el caso de la alternativa (1) al destruir la continuidad se deben poner en 
evidencia las componentes de reacción de vínculo interno en esa sección (n-n) 
Se tendrá así lo siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se tendrá así en una de las secciones las incógnitas 𝑋1, 𝑋2 y 𝑋3. En la otra cara 
del a sección n-n actuarán las correspondientes elementos iguales y opuestos en sentido. 
 
 
El número de incógnitas es: 
 
𝑛° 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 = 𝐶𝑉 + 3 = 𝑛 + 3 
 
 
 
 
 
 
El número de ecuaciones independientes que podrán plantearse es: 
 
𝑛° 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = 𝑛 + 3 
 
 
 
 
 
Disponemos así del mismo número de ecuaciones que de incógnitas. 
Respecto a la alternativa (2), al destruir la continuidad de una articulación relativa 
cualquiera, se está destruyendo un vínculo interno de 2da especie, con lo cual las 
componentes de reacción de vínculo interno serán solamente dos, ya que el par no podrá 
existir en una articulación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
S1 
S2 
S3 
S4 
𝐴1,2 𝐴2,3 
𝐴3,4 𝐴4,1 
B 𝑋2 
𝑋2 
𝑋1 
𝑋1 
𝑋3 
𝑋3 
𝑋1, 𝑋2, 𝑋3 
Equilibrio absoluto Equilibrio relativo 
A 
S1 
S2 
S3 
S4 
𝐴1,2 𝐴2,3 
𝐴3,4 
𝐴4,1 
B 
𝑋2 
𝑋1 
𝑋1 
𝑋2 
 
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En consecuencia, aparecerán o se ponen en evidencia las componentes 𝑋1 𝑦 𝑋2. 
El número de incógnitas es: 
 
𝑛° 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 = 𝑛 + 2 
 
 
 
 
 
 
 
Mientras que el número de ecuaciones independientes será: 
 
𝑛° 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = 3 + (𝑛 − 1) = 𝑛 + 2 
 
 
 
 
 
Con lo cual el número de ecuaciones independientes es igual al número de 
incógnitas. 
 
Importante: la diferencia entre una cadena abierta y una cadena cerrada es que en la 
cadena abierta cualquier sección siempre define dos partes, en cambio en la cadena 
cerrada esto no ocurre y para poder definir las dos partes será necesario abrir la cadena, 
siempre. 
 
 
CUERPOS EN EL ESPACIO: cadenas cinemáticas 
Los cuerpos en el espacio pueden formar cadenas abiertas o cerradas. 
La expresión general que determina los grados de libertad de una cadena 
cinemática en el espacio es: 
 
𝐺𝐿 = 6 𝑛 − 3 ∑ 𝑂 . 𝑐 
 
 
 
Siendo: 
𝑛: número de cuerpos. 
𝑂: orden de la rótula 
𝑐: cantidad de rótulas del mismo orden. 
 
De la cual se desprende: 
 
- Cadenas abiertas 
 
𝐺𝐿 = 6 𝑛 − 3 ∑ 𝑂 . 𝑐 = 6 . 𝑛 − 3 (𝑛 − 1) = 6 . 𝑛 − 3 . 𝑛 + 3 = 3 . 𝑛 + 3 
 
 
𝐺𝐿 = 3 . 𝑛 + 3 
Componentes de reacción de 
vínculo externo, igual al número 
de chapas. 
Componentes de reacción de 
vínculo interno en una 
articulación relativa cualquiera. 
Equilibrio absoluto 
Equilibrio relativo 
Rótulas: imponen 3 CV 
 
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- Cadenas cerradas 
 
𝐺𝐿 = 6 . 𝑛 − 3 𝑛 
 
𝐺𝐿 = 3 𝑛 
 
Sea el caso general de una cadena abierta de n cuerpos vinculados entre si con 
una rótula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponemos el sistema anterior cargado con las fuerzas exteriores (FE) las que 
conforman un sistema en equilibrio: 
 
𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 
 
Siendo: 
 
𝐹𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : Fuerzas activas. 
𝐹𝑅⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : Fuerzas reactivas. 
 
El sistema está cargado con las fuerzas exteriores (activas y reactivas)que 
conforman un sistema en equilibrio (cuerpo libre). 
Sobre cada uno de los cuerpos se tendrá actuando un conjunto de 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de manera 
que se cumpla: 
 
𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶1 + 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶2 + ⋯ + 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑛 = 0 
 
Si todo el sistema en su conjunto está en equilibrio, entonces cada una de las 
partes (cuerpos) que lo conforman también lo estará. 
Siempre que se tenga un sistema de fuerzas exteriores que configuran un sistema 
equilibrado, si se subdivide a dicho sistema de 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en 2 partes, la fuerza generalizada 
equivalente a las 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ que actúan en una de las partes tiene que ser opuesta a la fuerza 
generalizada equivalente a las 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de la otra parte o del resto del sistema. 
 
Dicho de otra manera: 
Dado un sistema de n cuerpos con un cierto grado de libertad. Le imponemos un 
numero de condiciones de vínculos a todas las partes del sistema; si el todo estaba en 
equilibrio entonces cada una de ellas también estarán en equilibrio. Deberá cumplirse: 
𝐴12 
𝑃𝑖⃗⃗⃗ 
𝑀𝑗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
Z 
Y 
X O 
𝑃𝑖⃗⃗⃗ 𝐺𝐿 = 3. 𝑛 + 3 
 
𝐺𝐿 = 3 . 2 + 3 
 
𝐺𝐿 = 9 
 
𝐶𝑉 = 6 + 1 + 1 + 1 = 9 
 
C1 
 
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𝐺𝐿 = 𝐶𝑉 = 𝑉𝐸 + 𝑉𝐼 
 
Siendo: 
𝑉𝐸: condiciones de vínculo externos. 
𝑉𝐼: condiciones de vínculo interno. 
 
Eliminamos las condiciones de vínculos externos e internos, quedando n partes 
libres y cargadas cada una con una parte del sistema: (𝑃𝑖 + 𝑀𝑗). 
Si quisiéramos establecer las condiciones iniciales de reposo, podríamos tomar un punto 
y reducir el sistema actuante en esa parte y hallar �⃗⃗� y �⃗⃗⃗�, luego en ese punto aplicamos: 
−�⃗⃗� y −�⃗⃗⃗�. Repitiendo el procedimiento para cada parte del sistema, tendremos n partes 
libres y en cada una de ellas un sistema nulo. Como se está analizando un sistema de 
fuerzas espacial no concurrentes, tenemos las siguientes posibilidades: 
 
 Equilibrio 
 Admiten par resultante 
 Admiten resultante 
 Admiten binomio de reducción (Resultante y Par) 
 
Esas fuerzas que cumplen con las condiciones antes dichas se llaman 
componentes de reacción de vínculos. Las componentes no se anulan, sino que cada 
una actúa sobre cada parte. 
Para resolver el problema tenemos que determinar las fuerzas que se ejercen a 
través de los vínculos. Tendremos un sistema de fuerzas datos y un sistema de 
incógnitas que son las componentes de reacción de vínculos. Cómo buscamos el 
equilibrio, tenemos un sistema de fuerzas con incógnitas. 
 
Escalarmente podemos escribir 6 ecuaciones por cada cuerpo libre o parte (6. 𝑛), 
siendo 𝑛 el número de cuerpos libres en las cuales aparecen las incógnitas: 
 
𝐶𝑉 = 𝑉𝐸 + 𝑉𝐼 
 
Será un sistema de (6. 𝑛) ecuaciones con CV como incógnitas. 
 
6 𝑛 = 𝑉𝐸 + 𝑉𝐼 
 
Si el sistema está formado por un solo cuerpo resulta: 𝑉𝐸 = 6 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠. 
 
Si el sistema está formado por más de un cuerpo con un sistema de FE nulo y lo 
partimos tantas veces como uniones existan, luego por cada unión quitamos las 
condiciones de vínculo internos y ponemos en evidencia las reacciones de vinculo 
interna, quedará el sistema partido en n partes. 
Las fuerzas componentes de reacción de vinculo interno que corresponde aplicar 
a una de las partes con las FA de la misma parte CONSTITUYEN UN SISTEMA NULO, y 
es equivalente al sistema de FE aplicadas al resto de los cuerpos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Uniones con Rótula. 
Sean las 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶1 del sistema de la figura. Si dicho conjunto no configura un sistema 
nulo, la única alternativa será que exista �⃗⃗�1, ya que nunca podrá dicho sistema ser 
equivalente a un par si la articulación relativa entre ambos cuerpos es un punto propio. 
Además, la resultante �⃗⃗�1 de las 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶1 tendrá su recta de acción tal que pase por la 
articulación relativa 𝐴12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Téngase presente que las fuerzas �⃗⃗�1 y �⃗⃗�2 están aplicadas a distintos cuerpos, por 
consiguiente, el hecho de que �⃗⃗�1 y �⃗⃗�2 pasen por la articulación relativa da lugar a que 
ambas configuren un sistema nulo, pues estarán actuando sobre un mismo punto y por lo 
tanto se estará de acuerdo con el segundo principio de la estática. 
 
∑ 𝑀𝑖𝐹𝐸𝑐1
𝐴12
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑀𝑖𝐹𝐸𝑐2
𝐴12
𝑛
𝑖=1
= 0 
 
Además, como debe satisfacerse la condición de equilibrio relativo entre ambas 
chapas, si �⃗⃗�1 y �⃗⃗�2 no pasaran por 𝐴12, como actúan en cuerpos distintos, darían lugar a 
una rotación de un cuerpo respecto al otro en torno a 𝐴12. Analíticamente, la condición de 
que �⃗⃗�1 y �⃗⃗�2 pasen por 𝐴12 podrá plantearse estableciendo que los momentos de las 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶1 
ó 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶2 respecto de 𝐴12 sea igual a cero. 
 
Uniones con biela 
Las uniones entre cuerpos pueden estar formados con una hasta cinco bielas. Si 
hubiese 6 o más de dos partes se considera una sola. 
Para cada unión escribimos ecuaciones de condición igual a: 
 
𝑒𝑐. 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑒𝑐. 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑡𝑣𝑜 = 6 − (𝑛° 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣í𝑛𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑢𝑛𝑖ó𝑛) 
 
Luego la cantidad de ecuaciones será igual a: 
 
∑(6 − 𝑉′𝑖)
𝑛−1
1
= 6(𝑛 − 1) − ∑ 𝑉′𝑖
𝑛−1
1
= 6(𝑛 − 1) − 𝑉′𝑖 
Siendo: 
𝑉′𝑖: N° de condiciones de vínculo de la unión 𝑖′ 
 
Estas ecuaciones de condición satisfacen las componentes de reacción de vínculo 
interno y a las fuerzas exteriores a un lado o al otro del cuerpo. 
 
 
 
𝐴12 
C1 
𝑃𝑖⃗⃗⃗ 
𝑃𝑖⃗⃗⃗ 
𝑀𝑗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 
𝑅1⃗⃗⃗⃗⃗ 
−𝑅1⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
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El número de ecuaciones independientes que se pueden plantear será: 
 
- 6 ecuaciones de equilibrio absoluto. 
 
- [6(𝑛 − 1) − 𝑉′𝑖] ecuaciones de equilibrio relativo o de condición. 
 
Por lo tanto, el número total de ecuaciones independientes será: 
 
𝑛° 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 6 + [6(𝑛 − 1) − 𝑉′𝑖] = 6 + 6 𝑛 − 6 − 𝑉
′
𝑖 
 
𝑛° 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 6 𝑛 − 𝑉′𝑖 
 
El número de condiciones de vínculos es: 
 
𝐶𝑉 = 𝑉𝐸 + 𝑉𝐼 = 6 𝑛 
 
𝑉𝐸 = 6 𝑛 − 𝑉𝐼 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐶𝑉 = 6 𝑛 = 𝑉𝐼 + 𝑉𝐸 = 30 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑉𝐸 = 16 = 𝑛° 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
 
Planteo de ecuaciones: 
- Ecuaciones de equilibrio absoluto: sistema de fuerzas espaciales no concurrentes. 
Podremos plantear 6 ecuaciones: 
 
∑ 𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 
 
 
5 cuerpos 
14 vínculos 
internos 
16 vínculos 
externos 
1 
2 
3 
4 5 
6 
10 
7 8 
9 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
I II 
III 
IV 
C1 
C2 
C3 
C4 
C5 
 
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- Ecuaciones de equilibrio relativo: 
 
1ra unión: el cuerpo 1 y 2 están vinculados entre sí por dos bielas. Podremos 
plantear 4 ecuaciones respecto al cuerpo 1. Se encontrarán 4 rectas que corten 
los ejes de las bielas y las fuerzas componente de reacción de vínculo interno. 
 1era unión: 4 ecuaciones. 
 
- 2da unión  3 ecuaciones. 
 
- 3ra unión  2 ecuaciones. 
 
- 4ta unión  1 ecuación. 
 
𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿𝐸𝑆 = 6 + 4 + 3 + 2 + 1 = 16 𝐸𝐶𝑈𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁𝐸𝑆