Arroyo_Sebastian_Taller_políticas

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Reemplazo preventivo óptimo basado en la edad (política tipo I) 
 
Para una política tipo I (reemplazo preventivo con base en la edad) tiene en cuenta las 
condiciones a las que operan los equipos y que tan conveniente o no sería un reemplazo 
preventivo después de 𝑡𝑝 horas de operación continua sin fallas. En pro de la mejora de la 
producción y que se obtenga el mejor producto para el cliente, por esta razón tenemos que se 
encarga de verificar un eventual reemplazo basándose en el 𝑡𝑝en horas de operación, fallas 
durante su proceso el cual este último puede ser finito o infinito, En caso de que falle el 
sistema antes de que pasen 𝑡𝑝 horas, habrá que realizarse el mantenimiento (remplazo) justo 
cuando se presenta dicha falla, luego se reprograma el mantenimiento preventivo después de 
pasadas 𝑡𝑝 horas de operación. Por otra parte, la política en cuestión nos habla de que al 
momento de hacer el mantenimiento este se supone que queda como nuevo es decir no 
debería provocar otra alerta o falla puesto que esto implicaría nuevamente revisión y pérdida 
de tiempo involucrando entonces más tiempos muertos en la producción y posteriores 
perdidas de toda índole, esta política es especialmente muy funcional en equipos sencillos o 
que su reparación sea muy precisa de encontrar. 
Para el cálculo de este tiempo temenos lo siguiente: 
 
EJEMPLO: Una pieza de equipo tiene una función de densidad de probabilidad de tiempo 
hasta la falla f(t) que sigue una distribución uniforme entre [0, 10] semanas. El costo del 
reemplazo preventivo es de 5 dólares y el costo de reemplazo por falla es de 50 dólares. 
Determine, el tiempo óptimo de reemplazo preventivo. 
Solución 
La función de densidad de probabilidad uniforme para el tiempo hasta la falla está dada 
como: 
𝑓(𝑡) =
1
10
 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
0 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 
La función distribución para la falla en el tiempo es 
𝑓(𝑡) ∫
1
10
𝑑𝑡 =
1
10
𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 10
𝑡
0
 
1 0 ≤ 𝑡 ≤ 10 
La confiabilidad del equipo en el tiempo 𝑡 es 𝑅(𝑡) = 1 − 𝑓(𝑡) = 1 −
1
10
𝑡 
La función de fallo es 𝑟(𝑡) =
𝑓(𝑡)
1−𝑓(𝑡)
=
𝑓(𝑡)
𝑅(𝑡)
=
1
10
1−
1
10
𝑡
=
1
10−𝑡
 
𝑀(𝑡𝑝) =
∫ 𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑡𝑝
0
1 − 𝑅(𝑡𝑝)
=
∫ 𝑡
1
10 𝑑𝑡
𝑡𝑝
0
1 − 𝑅(𝑡𝑝)
=
𝑡𝑝
2
 
Costo esperado por unidad de tiempo es: 
 
𝑈𝐸𝐶(𝑡𝑝) =
𝐶𝑝𝑅(𝑡𝑝) + 𝐶𝑓[1 − 𝑅(𝑡𝑝)]
𝑡𝑝𝑅(𝑡𝑝) + 𝑀(𝑡𝑝)[1 − 𝑅(𝑡𝑝)]
 
=
5 (1 −
1
10
𝑡𝑝) + 50
1
10
𝑡𝑝
𝑡𝑝 [1 −
1
10 𝑡𝑝] +
𝑡
2
1
10 𝑡𝑝 
 
=
5 + 4,5𝑡𝑝
𝑡𝑝 +
1
20 𝑡𝑝
2
 
 
 
Reemplazo preventivo óptimo a intervalos constantes (política tipo II) 
Ahora bien, para esta política tipo II tenemos que se hace un estudio más en conjunto por 
bloque teniendo en cuenta solo el tiempo de operación total sin tener en cuenta a diferencia 
del tipo I las fallas que durante el proceso se dieron, pero esto tiene una pequeña excepción 
en que si en el proceso ocurre una falla se procede a una reparación mínima la cual no cambia 
la tasa de fallas del sistema. Difiere también con la anterior política que este se puede 
implementar en equipos o sistemas complejos con el objetivo de determinar el tiempo optimo 
que reduzca el mantenimiento de reparación dejando el equipo como nuevo. 
Para esta política tiene unas fórmulas que nos permiten determinar lo siguiente: 
 
El costo total esperado 𝐸𝐶(𝑡𝑝) consiste en el costo del mantenimiento preventivo 𝐶𝑝, además 
del costo de las reparaciones. El costo de las reparaciones es el costo de una sola reparación 
multiplicado por el número esperado de reparaciones 
 
Barlow y Hunter [3] han demostrado que el número esperado de fallas en el intervalo (0, 𝑡𝑝) 
es la integral de la función de la tasa de fallas, es decir, 
 
𝑈𝐸𝐶(𝑡𝑝) es una función de una sola variable, y para encontrar, se puede utilizar un método 
de búsqueda directa, como el método de la sección 
 
Ejemplo: Calcule la política óptima tipo II para el problema dado anteriormente. Una política 
de tipo II determina t, que es el número de horas totales de operación después de las cuales 
se efectúa un mantenimiento preventivo. El término t, minimiza la siguiente función: 
𝑈𝐸𝐶(𝑡𝑝) = 𝐶𝑝 + 𝐶𝑓 𝐻(𝑡𝑝)/𝑡𝑝 
Solucion 
De 𝐻(𝑡𝑝)con (0, 𝑡𝑝) tenemos: 
𝐻(𝑡𝑝) = ∫ 𝑟(𝑡𝑝)𝑑𝑡
𝑡𝑝
0
 
𝑟(𝑡) =
𝑓(𝑡𝑝)
1 − 𝑓(𝑡𝑝)
 
𝑓(𝑡) =
1
10
 0 ≤ 𝑡 ≤ 10 
𝑟(𝑡) =
1
10
1 −
1
10
𝑡
=
1
10 − 𝑡
 
𝐻(𝑡) = ∫
1
10 − 𝑡
𝑑𝑡
𝑡𝑝
0
= − ln(10 − 𝑡)|
𝑡𝑝
0
= ln
10
10 − 𝑡𝑝
 
𝑈𝐸𝐶(𝑡𝑝) =
5 + 50 ln
10
10 − 𝑡𝑝
𝑡𝑝
=
5
𝑡𝑝
+
50
𝑡𝑝
ln
10
10 − 𝑡𝑝