f35961984

Vista previa del material en texto

TEOREMA DE BAYES
HISTORIA.
El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el matemático inglés Thomas Bayes (1702-1761)1 y publicada póstumamente en 1763.
TEOREMA DE BAYES
Expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de solo A.
TEOREMA DE BAYER
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. 
TEOREMA DE BAYES
El teorema de Bayes ha sido muy cuestionado. Lo cual se ha debido, principalmente, a su mala aplicación. Ya que, mientras se cumplan los supuestos de sucesos disjuntos y exhaustivos, el teorema es totalmente válido.
 Sea {A1, A2, …, Ai, ..., An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B|Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai|B) viene dada por la expresión:
 P(Ai|B)
donde:
P(Ai) son las probabilidades a priori,
P(B|Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai,
P(Ai|B) son las probabilidades a posteriori.
FORMULA DE TEOREMA DE BAYES
Con base en la definición de probabilidad condicionada se obtiene la Fórmula de Bayes, también conocida como Regla de Bayes:
 La visualización del teorema de Bayes por la superposición de dos árboles de decisión
FORMULA DE LA TEORIA DE BAYES
Para calcular la probabilidad tal como la definió Bayes en este tipo de sucesos, necesitamos una fórmula. La fórmula se define matemáticamente como:
Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional P(Ai|B) de cualquiera de los eventos Ai dado B. La fórmula «ha originado muchas especulaciones filosóficas y controversias»
APLICACIÓN
es empleado para una gran mayoría de casos en los que se desea comprobar la teoría de la probabilidad.
Ejemplo 1:
Una empresa tiene una fábrica en Estados Unidos que dispone de tres máquinas A, B y C, que producen envases para botellas de agua. Se sabe que la máquina A produce un 40% de la cantidad total, la máquina B un 30%, y la máquina C un 30%. También se sabe que cada máquina produce envases defectuosos. De tal manera que la máquina A produce un 2% de envases defectuosos sobre el total de su producción, la máquina B un 3%, y la máquina C un 5%. Dicho esto, se plantean dos cuestiones:
 Si un envase ha sido fabricado por la fábrica de esta empresa en Estados Unidos ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?
Siguiendo con la pregunta anterior, si se adquiere un envase y este es defectuoso ¿Cuáles es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A? ¿Y por la máquina B? ¿Y por la máquina C?
Solución:
P(A) = 0,40      P(D/A) = 0,02
P(B) = 0,30      P(D/B) = 0,03
P(C) = 0,30      P(D/C) = 0,05
1.- Se calcula la probabilidad total. Ya que, a partir los diferentes sucesos, calculamos la probabilidad de que sea defectuoso.
P(D) = [ P(A) x P(D/A)] + [ P(B) x P(D/B) ] + [ P(C) x P(D/C) ] = [ 0,4 x 0,02 ] + [ 0,3 x 0,03 ] + [ 0,3 x 0,05 ] = 0,032
Expresado en porcentaje, diríamos que la probabilidad de que un envase fabricado por la fábrica de esta empresa en Estados Unidos sea defectuoso es del 3,2%.
Ejemplo 2:
Una compañía de transporte público tiene tres líneas en una ciudad, de forma que el 45% de los autobuses cubre el servicio de la línea 1, el 25% cubre la línea 2 y el 30% cubre el servicio de la línea 3. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es del 2%, 3% y 1% respectivamente, para cada línea.
a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería
b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería
c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?
Solución:
a) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús sufra una avería
 Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:
b) Calcular la probabilidad de que, en un día, un autobús no sufra una avería
 Empleando la fórmula de probabilidad total se obtiene:
c) ¿De qué línea de transporte es más probable que un autobús sufra una avería?
 Se debe calcular las tres probabilidades a posteriori empleando el Teorema de Bayes.
La probabilidad de que sea de la línea 1, sabiendo que sufre una avería es:
La probabilidad de que sea de la línea 2, sabiendo que sufre una avería es:
La probabilidad de que sea de la línea 3, sabiendo que sufre una avería es:
Entonces, sabiendo que el autobús sufre una avería, lo más probable es que sea de la línea 1, ya que esta probabilidad
 Es mayor.
gracias