f7110208

Vista previa del material en texto

Lic. Manuel Tuesta Moreno Mgr.
1
1
MANUEL TUESTA MORENO
DOCENTE
Análisis Combinatorio
Conteo de puntos de la muestra
En muchos casos el número de puntos
muestrales en un espacio muestral no es muy
grande y así la enumeración ocuenta directa de
los puntos del muestreo necesario para obtener
la probabilidad no es dificil. Sin embargo, surgen
problemas cuando la cuenta directa se
convierte en una imposibilidad práctica. En tales
caso se emplea el análisis combinatorio, que
podría llamarse una forma sofisticada de contar.
2
Teorema 1: Si una operación se puede llevar a
cabo en formas, si para cada una de estas se
puede realizar una segunda operación en
formas, entonces las dos operaciones se pueden
ejecutar de . formas.
Teorema 2: Si una operación se puede ejecutar en
formas, y para cada una de estas se puede
llevar a cabo una segunda operación en formas,
y para cada una de las primeras dos se pueden
realizar una tercera operación en formas, y asi
sucesivamente entonces la serie de se puede
realizar en . … formas. 3 4
Definición 1: Una permutación es un arreglo de
todo o parte de un conjunto de objetos.
Teorema 3: El numero de permutaciones de
objetos distintos es !.
Teorema 4: El numero de permutaciones de
objetos distintos tomados de a la vez es:
!
!
5
Teorema 5: El numero de permutaciones de
objetos distintos arreglados en un circulo es
!
Teorema 6: El numero de permutaciones
distintos de cosas de las que son de una
clase, de una segunda clase,... de una
clase es:
!
! ! 	…	 !
donde 	…
6
Teorema 7: El numero de formas de partir un
conjunto de objetos en celdas
elementos en la primera celda, elementos
en la segunda, y así sucesivamente, es:
, , …	
!
! ! 	…	 !
donde 	…
Lic. Manuel Tuesta Moreno Mgr.
2
7
Teorema 8: El numero de combinaciones de
objetos distintos tomados de a la vez es:
!
! !
PROBLEMAS PROPUESTOS
01) Suponga que en un librero hay 7 textos de
historia, 4 de matemática básica, 5 de
metodología de la investigación y 4 de
psicología. Encuentre el número " “ de formas
en que un estudiante puede escoger:
a) Uno de los libros. b) Un libro de cada tema. 8
02) En la asignatura de Seminario de Tesis hay 9
varones y 6 mujeres. Encuentre las " “ formas en
que es posible elegir: a) un delegado del curso; b)
dos representantes del curso: 1 varón y una mujer;
c) 1 presidente y 1 vicepresidente.
03) Entre A y B hay cuatro líneas de autobuses, y
entre B y C hay tres líneas de autobuses. Encuentre
el número " “ de formas en que una persona puede
viajar en autobús: a) de A a C pasando por B; b) el
viaje redondo de A a C pasando por B; c) en viaje
redondo de A a C pasando por B pero sin usar una
línea de autobús más de una vez.
9
04) Describa la diferencia principal entre
permutaciones y combinaciones, con
ejemplos.
05) Encuentre el número " “ de permutaciones
distintas que pueden formarse con todas las
letras de cada palabra: a) PATOS; b) PARADAS;
c) SOCIOLÓGICAS
05) En un curso hay 8 estudiantes. Encuentre
el número " “ de muestras de tamaño 3: a) con
reemplazo; b) sin reemplazo
10
06) En un curso hay 10 estudiantes, 6 varones y 4
mujeres. Encuentre el número " “ de formas para:
a) Elegir un comité de 4 miembros
b) Elegir un comité de 4 miembros con 2 varones y 2
mujeres.
c) Elegir un presidente, un vicepresidente y un
tesorero.
07) Una caja contiene 8 calcetines azules y 6
calcetines rojos. Encuentre el número de formas en
que es posible extraer dos calcetines de la caja si:
a) Pueden ser de cualquier color. :
b) Deben ser del mismo color. :
11
08) Encuentre el número " “ de comités de 5
miembros con un director que es posible escoger
entre un grupo de 12 personas. :
09) Encuentre el número mínimo " “ de enteros a
seleccionar de , , … , de modo que:
a) La suma de dos de los enteros sea par. :
b) La diferencia de dos de los enteros sea 5.
:
10) Encuentre el número mínimo de estudiantes
necesario para garantizar que cinco de ellos
están en el mismo nivel (de primero, de segundo,
de tercero o de último año). :
12
11) Sea una lista (no necesariamente en orden
alfabético) de las 26 letras del alfabeto inglés (que
consta de cinco vocales: A, E, I, O, U y 21
consonantes).
a) Demuestre que contiene una sublista que consta
de cuatro o más consonantes consecutivas.
b) En el supuesto de que empiece con una vocal; por
ejemplo A, demuestre que contiene una sublista que
consta de cinco o más consonantes consecutivas.
12) Suponga que de 32 personas que separan papel o
botellas (o ambos) para reciclar, hay 30 que separan
papel y 14 que separan botellas. Encuentre el número
de personas que: a) separan papel y botellas; b) sólo
separan papel; c) sólo separan botellas.
Lic. Manuel Tuesta Moreno Mgr.
3
13
13) Los equipos A y B disputarán un torneo. El
triunfador es el primer equipo que gane tres juegos.
Encuentre el número de formas de posibles
resultados.
14) Construya el diagrama de árbol que proporciona
las permutaciones de , ,
15) En un curso hay 12 estudiantes. Encuentre el
número de formas en que los 12 estudiantes pueden
presentar 3 exámenes si 4 estudiantes deben
presentar cada examen. :
16) Demuestre el teorema del binomio:
14
17) Linder, Marcos, Anderson, Frank, Denis, Christian y Paul
se encuentran ante el cajero automático del Banco de la
Nación a las 10 h con un calor insoportable.
a) ¿De cuántas maneras pueden estar parados estos siete
amigos?
b) ¿De cuántas maneras pueden estar parados si Linder,
Marcos y Anderson ocupan los lugares pares?
c) ¿De cuántas maneras pueden estar si Anderson
solamente puede ubicarse en el último lugar?
d) ¿De cuántas maneras pueden estar si Linder y Marcos se
retiran y no regresan?
e) ¿De cuántas maneras pueden estar si Christian y Paul no
pueden estar juntos?
e) ¿De cuántas pueden estar si Anderson, Frank y Paul
deben permanecer juntos?
15
18) Ángel, Martín y Luis realizan un experimento. Ángel
lanza un dado y, Martín y Luis lanza una moneda cada
uno, ¿cuántos elementos tiene el espacio muestral?
19) Manuel pregunta a Alejandro:
a) ¿Cuántos números de tres cifras existen en base 6?
b) ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar
con los dígitos 0, 1, 3, 4, 5, 7 y 9 si no se permiten
repetición de dígitos?
c) ¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden formar
con los dígitos 0, 1, 3, 4, 5, 7 y 9 si se permiten
repetición de dígitos?
d) ¿Cuántos números de tres cifras terminan en digito
impar?
16
20) En la asignatura de Lenguaje se ha elaborado una
prueba de verdadero – Falso que consta de 08
preguntas. ¿De cuántas maneras se puede responder
dicha prueba?
21) ¿Cuántas permutaciones distintas se puede hacer
con las letras de la palabra BARRANCA?
22) ¿Cuántas formas hay para seleccionar a cuatro
candidatos de 10 graduados de la FISI – UNAP
igualmente calificados para los vacantes de una
supuesta empresa?
23) En el distrito de Iquitos, 06 instituciones educativas
participan en los juegos inter escolares de fútbol.
¿Cuántos partidos en total se jugaran si se realizará el
campeonato de apertura y clausura?
17
24) Después de cobrar los amigos que se mencionan en
el problema 01. ¿De cuántas maneras pueden sentarse
en una mesa redonda?
25) Una firma comercial tiene 12 vendedores.
a) ¿De cuántas formas diferentes puede asignarse
los vendedores en dos escritorios con 5 vendedores
en uno y 7 en el otro escritorio?
b) ¿Con 8 en un escritorio y 4 en la otra?
26) Para transmitir señales de una isla a la costa, se
dispone de 6 luces blancas y 6 rojas, colocadas en los
vértices de un exágono. En cada vértice no puede haber
encendido más que una luz (ó blanca ó roja), y el número de
luces encendidas es 03. Hallar el número de señales
distintos que se puede formar. 18
27) Un agente de ventas de casas tiene 11 diseños
básicos. En un calle determinada de la ciudad posee 09
lotes.
a) Supongamos que el alcalde no permite casas que
se parezcan en una misma calle. ¿De cuántas maneras
diferentes puede el agente utilizar sus diseños
básicos restringiéndose a lo estipulado por el
alcalde?
b) Si no hay restricciones, ¿cuántos arreglos son
posibles?28) Una panadería elabora 4 tipos de galleta: a)
manzana, b) plátano, c) zanahoria y d) dátil. Encuentre
el número de formas en que una persona puede
comprar 8 galletas. : 165
Lic. Manuel Tuesta Moreno Mgr.
4
19
Teorema: Suponga que hay tipos de objetos.
Entonces el número de combinaciones de de estos
objetos es ; ;
29) Encuentre el número de soluciones enteras no
negativas de . :
30) Suponga que un conjunto tiene 7 elementos.
Encuentre el número de particiones ordenadas de en
tres celdas: , , de modo que contengan 2, 3 y 2
elementos, respectivamente. : .
Teorema. El número de particiones ordenadas de un
conjunto con elementos en celdas , , … ,
donde, para cada , , es:
!
! ! … !
; 	 ⋯
20
31) Encuentre el número de formas para
repartir a 10 estudiantes en cuatro equipos
, , , de modo que en dos equipos hay 3
estudiantes y en dos equipos hay 2
estudiantes. : 6300.
32) ¿Cuántos números hay entre 1 y 1000 que
no sean divisibles ni por 3 ni por 7?
33) ¿Cuántos números enteros son primos con
1000 no superiores a él? ¿con 999? ¿con
999000?
21
34) Desarreglos: Una vez, un oficinista tenía que
poner diez cartas dirigidas a diez clientes en sus
respectivos sobres; como tenía mucha prisa, puso
cada carta en un sobre sin mirar si coincidía el
domicilio y resultó que ninguno de los clientes
recibiò la carta que le iba dirigida. El hombre pensó
que había sido verdadera mala suerte no adivinar ni
una. Tener mala suerte quería decir que, de todas
las posibilidades, había relativamente pocas de que
sucediese este completo desorden. Evalúa la mala
suerte del oficinista.
R. Aproximadamente %
22
35) ¿Cuántas permutaciones de … hay que
tengan el y el en su sitio? ¿Cuántas
permutaciones de … hay en las cuales
exactamente elementos están en su sitio?
36) Un tarotólogo afirma tener poderes
telepáticos. Para probarlo pide que se reordenen
seis cartas sobre la mesa y dice que adivinará
cuales son con los ojos cerrados. Si adivina 3 de
las 6 cartas, ¿se puede decir que ha sido por
azar o esto demuestra efectivamente una
habilidad especial?
23
37) Sean y conjuntos tales que y
. Determinar el número de funciones
suprayectivas (sobre) de sobre . :
38) Con los números del 1 al 45, ¿cuántos
grupos de 6 elementos se pueden formar?
39) A los compradores de determinados
aparatos de sonidos se les ofrecen 4 estilos
distintos del mueble para que escojan.
¿cuántos resultados posibles hay si se
considera 1 comprador?. ¿Si se considera 2
compradores?. ¿cinco?.
24
PROBLEMAS
PROPUESTOS