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Lic. Mg. Manuel Tuesta Moreno
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MANUEL TUESTA MORENO
DOCENTE 1
PROBABILIDAD
“vemos ... que la teoría de la probabilidad es
en realidad únicamente el sentido común
reducido a cálculo, nos hace apreciar con
exactitud lo que las mentes razonadoras
sienten por una especie de instinto, sin ser
muchas veces capaces de expresarlo. Es
notable que (esta) ciencia, que nació al
estudiar los juegos de azar, haya venido a
constituir el objeto más importante del
conocimiento humano.”
Pierre Simón Laplace 2
3
PROBABILIDAD
La probabilidad sirve como enlace entre la
descripción y la presentación de la información que
se obtiene a partir de las muestras, y la posibilidad
de hacer inferencias a poblaciones más grandes. El
objeto de la estadística es básicamente la
presentación e interpretación de los resultados
fortuitos que ocurren en un estudio planteado o
investigación. Necesitamos tomar decisiones frente
a la incertidumbre como el caso de una compañía
usa las probabilidades para ayudar a planificar sus
procesos y actividades. 4
Cómo utilizar la estadística?
Caso: Compañía de productos electrónicos.
Se han realizado numerosos estudios para analizar la
planeación que realizan los consumidores antes de
adquirir artículos durables, como televisores,
refrigeradores, lavadoras, estufas y automóviles.
Suponga que el director de ventas de una compañía de
productos electrónicos está interesado en estudiar la
intención de los consumidores de adquirir un televisor
de pantalla grande (definido como de 35 pulgadas o
más) en los próximos 12 meses y en el seguimiento de
si lo compran en realidad. Con base en una encuesta
entre consumidores, algunas preguntas para las que
desea respuesta el director de ventas incluyen:
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Cómo utilizar la estadística?
¿Cuál es la probabilidad de que el consumidor planea
adquirir un televisor de pantalla grande durante el próximo
año?
¿Cuál es la probabilidad de que el consumidor compre el
televisor de pantalla grande?
¿Cuál es la probabilidad de que el consumidor planee
adquirir un televisor y en realidad lo haga?
¿Cuál es la probabilidad de que el consumidor piense
adquirir un televisor o que de hecho lo compre?
Las respuestas a éstas y a otras preguntas pueden ayudar
a la administración en el desarrollo de futuras estrategias
de venta y mercadotecnia.
En este tipo de problemas hay que tomar decisiones con
base en experimentos. 6
EXPERIMENTOS
Es un procedimiento mediante el cual se 
obtiene un resultado. Puede ser:
Experimento determinístico (A 
priori). Ejemplo: Observar el 
color de una bola extraída de una 
urna que contiene solo bolas 
negras
Experimento no determinístico 
o aleatorio (no a priori). 
Ejemplo: Lanzar un dado y 
observar el número que 
aparece en la cara superior.
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¿Qué significa el término probabilidad?
La probabilidad es la posibilidad o la oportunidad de que
ocurra un evento. Por ejemplo:
 La oportunidad de que salga una carta negra de una
baraja.
 La probabilidad de que un individuo prefiera un producto
sobre otro.
 La probabilidad que un nuevo producto de consumo
tenga éxito en el mercado.
En cada uno de los ejemplos, la probabilidad es una
proporción o fracción cuyo valor se encuentra entre cero y
uno inclusive.
Si se observa que no tiene la posibilidad de ocurrir (es decir,
el evento imposible), tiene la probabilidad cero; mientras que
un evento que ocurrirá con seguridad (es decir, evento
seguro) tiene probabilidad uno. 8
ENFOQUE DE PROBABILIDAD
¿Qué definición de probabilidad va a utilizar?
1. Definición clásica o a priori (dada por Laplace).
2. Definición de probabilidad por frecuencia relativa o
a posteriori.
OJO: Las definiciones (1) y (2) son probabilidades
objetivas.
3. Probabilidad subjetiva.
Cualquiera que sea la definición de probabilidad que se
utilice, las reglas de probabilidad son las mismas
(axiomas, teoremas, etc.); más aún las tres definiciones
son complementarias y la definición adecuada de
probabilidad que utilice dependerá de la naturaleza del
problema especifico que esta tratando de resolver.
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ENFOQUE DE PROBABILIDAD
A menudo, el primero se llama enfoque de
probabilidad clásica a priori. En él la
probabilidad de éxito se basa en el conocimiento
previo del proceso implicado. En el caso más
sencillo, donde cada resultado es igualmente
posible, la oportunidad de ocurrencia del evento
se define como sigue:
Probabilidad de ocurrencia: ⁄ , donde es
el número de veces que ocurre el evento que
observa, es la cantidad total de resultados
posibles.
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ENFOQUE DE PROBABILIDAD
En el segundo enfoque de probabilidad llamada
Probabilidad clásica empírica (a posteriori),
aunque la probabilidad todavía se define como la
proporción de resultados favorables al total de
resultados, esto se basa en datos observados,
no en el conocimiento previo de un proceso. Este
tipo de probabilidad puede referirse a la
proporción de individuos en una encuesta que en
realidad compran un televisor, que prefieren a
cierto candidato político, o que tienen un trabajo
de tiempo parcial mientras asisten a la escuela.
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ENFOQUE DE PROBABILIDAD
El tercer enfoque, se llama Probabilidad subjetiva. Mientras que
en los dos enfoques anteriores la probabilidad de un evento
favorable se calcula en forma objetiva, ya sea mediante un
conocimiento previo o apriori de datos reales, la probabilidad
subjetiva se refiere a la probabilidad de ocurrencia asignada a
un evento por una persona en particular. Esta posibilidad es
bastante diferente de la probabilidad subjetiva que estipula otra
persona. La asignación de probabilidades subjetivas a
diferentes eventos por lo común, se basa en la combinación de
la experiencia de una persona, su opinión personal y el análisis
de la situación específica. La probabilidad subjetiva es muy útil
en la toma de decisiones en situaciones para los que la
probabilidad de diferentes eventos no se puede determinar en
forma empírica.
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Experimento aleatorio
Definición 1: Un experimento es un proceso
mediante el cual se obtiene un resultado de una
observación. Un experimento puede ser
determinístico y no determinístico.
Definición 2: Un experimento es determinístico,
cuando el resultado de la observación es
determinado en forma precisa por las condiciones
bajo las cuales se realiza dicho experimento.
Definición 3: Un experimento es aleatorio o no
determinístico, cuando los resultados de la
observación no se puede predecir con exactitud
antes de realizar el experimento.
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Experimento aleatorio
Característica de un experimento aleatorio :
1° Cada experimento podría ser repetido indefinidamente
sin cambiar esencialmente las condiciones.
2° No se conoce un particular valor del experimento a
priori, sin embargo es posible describir el conjunto de
todos los posibles resultados del experimento.
3° Cuando el experimento es repetido un número grande
de veces, aparece un modelo de regularidad esto es,
habrá un estabilidad de la fracción h = f/n (frecuencia
relativa), donde n es el número de repeticiones y f es el
número de éxitos de un particular resultado establecido
antes de la realización del experimento.
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Espacio muestral
Definición 4: Un espacio muestral denotado por ,
es un conjunto de puntos correspondientes a todos
los posibles resultados de un experimento aleatorio,
esto es:
⁄ 	 	 	
	 	 	 ò 	
	 ò 	 	
Nota: Espacio muestral discreto (finito o infinito) y
continuo.
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Eventos
Definición 5: Un evento es un conjunto de posibles
resultados de un experimento; en términos de
conjuntos, es un subconjunto del espacio muestral Ω.
En particular Ω y Φ (conjunto vacío) son eventos. Al
espacio muestral Ω se le llama evento seguro y a Φ
evento imposible.
Definición 6: (Evento simple). Un evento es simple, si
contiene solamente un punto del espacio muestral y se
denota por .
Definición 7: (Evento compuesto). Un evento compuesto
es aquel que puede expresarse como la unión de dos o
más eventos simples.
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Operación con eventos
Dado y incluidos en .
∪ ∨
∩ ∧
∩ , 	 	 .
` ∉⊂ ∀ ∈ , ∈ → ∈ 	 ò 	 	
Los conceptos de unión e intersección de
eventos se extiende a una familia grande de
eventos.
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PROBLEMAS PROPUESTOS
P-1) Dos personas A y B se distribuyen al azar en
tres oficinas numeradas 1, 2 y 3. Si las dos
personas pueden estar en la misma oficina,
define un espacio muestral adecuado.
P-2) Tres personas A, B y C se distribuyen al azar
en dos oficinas numeradas con 1 y 2. Determinar
un espacio muestral adecuado a este
experimento:
a)Si los tres pueden estar en una misma oficina.
b)Si sólo se puede asignar una persona a cada
oficina.
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PROBLEMAS PROPUESTOS
P-3) Durante el día, una máquina produce tres artículos
cuya calidad individual, definida como defectuosa o no
defectuosa, se determinará al final del día. Describe el
espacio muestral generada para la producción diaria.
P-4a) Describa el espacio muestral del siguiente
circuito:
donde 1 si está operativo, 0 si está
descompuesto. 1,2,3
P-4b) Describa los eventos A: “Por lo menos un
componente funciona”, y B: “Todo el sistema funciona”.
¿Son A y B mutuamente excluyentes? :
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Probabilidad de un evento
Sea un espacio muestral asociado con un cierto
experimento aleatorio y sea un – álgebra de
conjuntos de .
Definición 8: Una medida de probabilidad es una
función.
: 					 → ; 
								↓ 										 ↓
								 →
que asigna a cada evento ∈ un número ,
llamado la probabilidad del evento , que satisface
los tres axiomas siguientes:
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Probabilidad de un evento
Axioma 1: , para cualquier evento ∈ .
Axioma 2:
Axioma3: (Aditividad finita). Si , , …	 ∈ son
eventos disjuntos dos a dos (mutuamente
excluyentes), entonces:
Una función de probabilidad que satisface estos
tres axiomas se denomina probabilidad finitamente
aditiva.
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Consecuencia de los axiomas
Teorema 1: Se verifica las siguientes propiedades:
1° La probabilidad del complemento de un evento es:
2° La probabilidad del evento imposible es
3° Si ⊂ entonces:
i)
ii)
4° Si y son dos eventos mutuamente excluyentes de ,
entonces se tiene: ∪ .
5° La probabilidad de la unión de dos eventos (no
necesariamente disjuntos) viene dada por:
∪ ∩
6° Si , 	 	 son tres eventos cualesquiera se verifica:
∪ ∪ ∩ ∩ ∩
∩ ∩ 22
Espacios muestrales finitos equiprobables
Definición 9: Se dice que un espacio de probabilidad
, , es equiprobable o uniforme, si la función de
probabilidad asigna igual probabilidad a cada uno de sus
elementos, esto es: ; , , …
Fórmula de Laplace
Es una regla práctica que permite calcular probabilidades
en espacios probabilísticos que cumplen la hipótesis de
equiprobabilidad. Supongamos un espacio muestral finito
; 	 ; …	 , donde los eventos o sucesos elementales
son equiprobables, es decir , . Entonces si
⊂ , la fórmula:
	
	
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PROBLEMAS PROPUESTOS
P-1) En una clase hay 5 alumnos de 4to año, 4 del 2do
año y 3 del 3er año, ¿cuál es la probabilidad de que
sean sorteados 2 alumnos del 2do año, 3 del 4to año y
2 del 3er año?. : 	 ⁄
P-2) (No equiprobable). En el hipódromo de Monterrico,
4 caballos A, B, C y D compiten en una carrera; la
probabilidad de que gane A es 2 veces la probabilidad
de B, B tiene 2 veces la probabilidad de C y C tiene 2
veces la probabilidad de D.
a)¿Cuáles son las probabilidades de victoria de cada
uno de los caballos? : 	 ⁄ ;	 ⁄ ;	 ⁄ ;	 ⁄
b)¿Cuál es la probabilidad de que gane B ó C? : ⁄
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PROBLEMAS PROPUESTOS
P-3) Sean , tres eventos disjunto 2 a 2 y 3 a 3 tal
que . ; . 	 	 . Calcular:
i) ∩ ∩ : 	 .
ii) ∩ ∩ : 	 .
iii) : 	 .
P-4) En una compañía hay 6 varones y 4 damas que
asisten a ser miembros de un comité. Si se debe
escoger 2 al azar escribiendo los nombres en hojas de
papel y sacándolos de una urna. ¿Cuál es la
probabilidad de que los dos sean hombres? ¿Cuál es la
probabilidad de que sea un hombre y una mujer o dos
mujeres? : ⁄ ⁄
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PROBLEMAS PROPUESTOS
P-5) Un experimento aleatorio consiste en
disponer los dígitos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, uno a
uno a continuación del otro; calcular la
probabilidad de:
a) Que el 3 aparece junto a 4 y ese orden; b) El
número formado sea par; c) El número formado
sea mayor que 6x107; d) El número formado sea
múltiplo de 4; e) El número formado sea múltiplo
de 3.
	 	 	 	 	 	 	 	
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PROBABILIDAD FRENTE A APUESTAS
Definición 10: Sea un evento cualquiera, si
las apuestas son : a favor del evento ,
entonces la probabilidad que ocurra dicho
evento es: ⁄ además, decir que
las apuestas : a favor del evento es lo
mismo decir que la apuesta : en contra del
evento . Entonces, la probabilidad de que no
ocurra es: .
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PROBABILIDAD FRENTE A APUESTAS
Ejemplo: En una carrera de caballos, el
caballo “AELORO” tiene las apuestas 5:1 en su
contra, mientras que el caballo “LUHPIAS” las
tiene 9:1 en su contra. ¿Cuál es la
probabilidad que cualquiera de estos caballos
gane? 	 ⁄
PROBLEMAS PROPUESTOS
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
Ejemplo: Calcular la probabilidad de que al
lanzar un dado salga 6.
Ejemplo: Una vez lanzado, vemos que es par,
calcule la probabilidad de que salga 6.
Definición 11: Sea 	 	 dos eventos tal que
, la probabilidad condicional de que
ocurra el evento , dado que ha ocurrido el
evento , denotado por ∖ ∩
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PROBABILIDAD CONDICIONAL
Ejemplo: Una muestra aleatoria de 200 adultos se
clasifica por sexo y nivel de educación
Si se escoge una persona al azar de este grupo,
encuentre la probabilidad de que:
a)La persona sea hombre, dado que la persona tiene
educación secundaria. 	 ⁄
b)La persona no tiene educación superior, dado que la
persona es mujer. 	 ⁄
Educación Hombre Mujer
Primaria 38 45
Secundaria 28 50
Superior 22 17
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LA REGLA DEL PRODUCTO
∩ . ∖
La probabilidad de que ocurra simultáneamente y es
igual a la probabilidad de que ocurra , por la
probabilidad de que ocurra dado que ha ocurrido .
Esta fórmula tiene especial utilidad cuando los sucesos
ocurren de forma secuencial en el tiempo, de modo que
el resultado de un suceso depende del resultado obtenido
por la suceso anterior.
Teorema 2: Sean , , …	 , eventos tales que:
∩ ∩⋯
. ∖ . ∖ ⋂ … ∖ ⋂ ∩ …
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LA REGLA DEL PRODUCTO
Ejemplo: Una urna contiene 20 bolas idénticas
de las cuales 8 son negras, 7 rojas y 5 blancas.
Se extrae 4 bolas de la urna sin reemplazo,
encontrar la probabilidad de que la primera bola
sea negra, la segunda roja, la tercera blanca y la
cuarta negra.
	 .
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LA REGLA DEL PRODUCTO
Ejemplo: Una urna contiene 10 bolas, 5 marcadas
con la letra A y 5 marcadas con la letra B. Dos
jugadores, A y B juegan de la siguiente forma:
comienza el jugador extrayendo una bola y a
continuación B realiza también una extracción, y
así alternamente. Las extracciones se hace sin
reposiciones. Gana el primer jugador que extraiga
una bola con su letra (A una bola A o B una bola B).
a) ¿Cuál es la probabilidad que gane el jugador A?
¿Cuál de B? 	 ⁄ 		 	 ⁄
b) ¿Cuál es la probabilidad que no gane ninguno de
los dos? ⁄
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INDEPENDENCIA DE EVENTOS
Dos sucesos o eventos A y B se dicen que son
independientes si la ocurrencia de uno de
ellos no influye en la ocurrencia del otro.
Definición 12: Se dice que dos sucesos o
eventos A y B son independientes, si se
verifica una de las siguientes condiciones
equivalentes:
i) ∖ ii) ∖
iii) ∩ .
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INDEPENDENCIA DE EVENTOS
Ejemplo: Tres jugadores internacionales,
Ángel, Luis y Marvin, al ejecutar un penal, la
probabilidad de hacer gol de cada uno es 0,1;
0,6 y 0,45 respectivamente. Un determinado
partido termina en penales y cada uno de
ellos patea un penal. ¿Cuál es la probabilidad
de que al menos dos de ellos hacen gol?
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INDEPENDENCIA DE EVENTOS
De las tres condiciones considerados, las dos
primeras son las más intuitivas, puesto que
expresan que los sucesos A y B son
independientes si la ocurrencia de uno de
ellos no influye en la ocurrencia del otro. La
tercera de las condiciones no es tan facil de
interpretar sin embargo es la más utilizada
para probar analíticamente la independencia
de dos sucesos o eventos.
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INDEPENDENCIA DE EVENTOS
Observación: Un eventoaleatorio es
independiente consigo mismo, si y sólo si:
ó .
Teorema 3: Si y son eventos
independientes, se verifica que:
i) 	 	 son independientes.
ii) 	 	 son independientes.
iii) son independientes.
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INDEPENDENCIA DE EVENTOS
Definición 14: Los sucesos , …	 , se dice
que son independientes si para ⋯
se verifica que:
∩ …∩ . …
* En particular, tres sucesos A, B y C son
mutuamente independientes, si se verifican
las condiciones:
i) ∩ .
ii) ∩ .
iii) ∩ .
iv) ∩ ∩ . . 38
INDEPENDENCIA DE EVENTOS
Las tres primeras condiciones expresan la
independencia de dos cualesquiera de ellos,
mientras que la cuarta condición indica que la
ocurrencia simultanea de dos de ellos no debe
influir en la tercera. Puede existir tres
sucesos independientes dos a dos, pero no
independientes entre si, al fallar la cuarta
condición.
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INDEPENDENCIA DE EVENTOS
Ejemplo: ¿La probabilidad de que el químico resuelva
un problema es de 2/3 y la probabilidad de que el
industrial resuelva el problema es 3/4. Si ambos
intentan independientemente, ¿Cuál es la probabilidad
de que el problema sea resuelto? R. 11 12⁄
Ejemplo: La probabilidad de que un hombre viva 10
años más es 1/4 y la probabilidad de que su esposa viva
10 años más es 1/3. Hallar la probabilidad de que:
a) Ambos vivan 10 años más. 	 ⁄
b) Al menos uno viva al cabo de 10 años. 	 ⁄
c) Ninguno viva al cabo de 10 años. 	 ⁄
d) Solamente la esposa viva al cabo de 10 años. ⁄
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TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE 
BAYES
Teorema 4: (Probabilidad Total) Sea , un espacio
probabilístico y , , … , sucesos que forman una
partición de , es decir ⋃ , y ∩ , para
todo . Entonces, si es un suceso cualesquiera, se
verifica:
∩ . ∖
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TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE 
BAYES
Teorema 5: (Teorema de Bayes) Sea , un espacio
probabilístico y , , … , , sucesos que forman una
partición de , es decir ⋃ , y ∩ , para
todo . Entonces, si es un suceso cualesquiera con
, se verifica:
∖
⋂ ∩
∑ ∩
∩
∑ . ∖
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Ejemplo: Una compañía que fabrica tornillos tienen tres
factorías, F1, F2 y F3. las factorías F2 y F3 producen el
mismo número de tornillos , mientras que F1 produce el
doble de la F2. Por experiencia pasada se sabe, que el
2% de los tornillos producidos por F1 y F2
respectivamente son defectuosos en tanto que el 4%
de los fabricados por F3 son defectuosos. Los tornillos
producidos por las tres factorías se guardan en un
mismo almacén. Si se escoge aleatoriamente un
tornillo del almacén:
a)¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
b)¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la
factoría 2 dado que es defectuosa?
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PROBLEMAS DE REPASO
P-1)Un suero de la verdad tiene la propiedad de
que 90% de los sospechosos culpables se juzgan
de forma adecuada mientras que, por supuesto,
10% de los sospechosos culpables resultan
erróneamente inocentes. Por otro lado, a los
sospechosos inocentes se les juzga de manera
errónea 1% de las veces. Si el sospechoso se
selecciona de un grupo de sospechosos de los que
sólo 5% alguna vez han cometido un crimen, y el
suero indica que es culpable, ¿cuál es la
probabilidad de que sea inocente? 44
P-2) Un alergista afirma que 60% de los
pacientes que examina son alérgicos a algún
tipo de hierba. ¿Cuál es la probabilidad de que
a)Exactamente tres de sus cuatros próximos
pacientes sea alérgicos a hierbas?
b)Ninguno de sus siguientes cuatro pacientes
sean alérgicos a hierbas?
45
P-3) Las probabilidades de que una estación
de servicio bombee gasolina en cero, uno,
dos, tres, cuatro, cinco o más autos durante
cierto período de 30 minutos son, 0.03, 0.18,
0.24, 0.28, 0.10 y 0.17, respectivamente.
Encuentre la probabilidad de que en este
periodo de 30 minutos
a)Más de dos autos reciban gasolina;
b)A lo más cuatro autos reciban gasolina;
c)Cuatro o más autos reciban gasolina.
46
P-4) Si la probabilidad de que una persona
cometa un error en su declaración de
impuestos es 0.1, encuentre la probabilidad
de que
a)Cuatro personas no relacionadas cometan
cada una un error;
b)De cinco personas no relacionadas,
exactamente dos cometan cada una un
error.
47
P-5) En la figura, la probabilidad de la i – ésima
llave del circuito esté cerrada (dejando pasar
la corriente) es 1 6⁄ ; 1,2,3,4,5. Si todas las
llaves se cierran o abren independientemente,
¿cuál es la probabilidad de que la corriente
pasa de L a R para el respectivo circuito? R:
71 6⁄ 0.00091311
48
P-6) En la figura, la probabilidad de la i – ésima
llave del circuito esté cerrada (dejando pasar
la corriente) es 1 6⁄ ; 1,2,3,4,5. Si todas las
llaves se cierran o abren independientemente,
¿cuál es la probabilidad de que la corriente
pasa de L a R para el respectivo circuito? R:
476 6⁄ 0.061213
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P-7) Dos proveedores, A y B, entregan la
misma pieza a un fabricante, que guarda las
existencias de esta pieza en un mismo lugar.
Los antecedentes demuestran que 5% de las
piezas entregas por A son defectuosas, y que
9% de las piezas entregadas por B también
son defectuosas. Además, la cantidad de
piezas que entrega A es cuatro veces la de B.
Si se extrae al azar una pieza y se encuentra
que no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad
de que haya fabricado A?. R: 0.807
50
P-8) De los 15 miembros de la junta directiva
de una gran empresa, ¿cuántos comités de 5
miembros pueden seleccionarse si el orden no
importa?
P-9) De 10 ejecutivos, 3 van a ser
seleccionados para que sirvan como
presidente, vicepresidente y tesorero,
¿cuántas selecciones diferentes son posibles?
51
P-10) Sus dos compañeros de cuarto están
enfermos y a usted lo envían a un centro
estudiantil para llevar comida a cada uno de
ellos. Si usted debe escoger entre cinco
platos, ¿en cuántas formas puede alimentar a
sus compañeros
Nota: Pista. ¿el orden hace la diferencia?
¿puede repetir?
52
P-11) De un grupo de cuatro hombres y cinco
mujeres, ¿cuántas comités de tres miembros
son posibles
a)Sin restricciones?
b)Con un hombre y dos mujeres?
c)Con dos hombres y una mujer si cierto
hombre debe estar en el comité?
53
PROBLEMAS
PROPUESTOS
54
ÉXITOS