fase 4

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Fase 4 – 	Estadística y probabilidad
 
 
 
Alumnos:
Nikolas Daniel Lugo
 
 
Grupo: 16
 
 
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
Estadística y probabilidad
Mayo 2013 
Eventos Estadísticamente Independientes
Lógicamente, puede suceder que tengamos información sobre la ocurrencia de un evento determinado B , y sin embargo la probabilidad marginal de ocurrencia del evento A no se vea alterada. Esto quiere decir, que la ocurrencia de B no tiene ninguna influencia sobre el evento A , es decir, que los eventos son estadísticamente independientes.
Dos eventos A y B son estadísticamente independientes, si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro, es decir que:
De las definiciones de probabilidad condicional y eventos independientes, se desprende la regla del producto de probabilidades de eventos independientes. 
Si A y B son dos eventos estadísticamente independientes, entonces la probabilidad conjunta es igual el producto de las probabilidades marginales: 
Se destaca que la independencia es una relación simétrica entre eventos, esto quiere decir que si A es independiente de B, entonces B es independiente de A. Como ejercicio, el lector puede demostrar esto a partir de las definiciones expuestas.
EJEMPLO: 
Consideremos el lanzamiento de dos dados y los siguientes eventos: A1 = “el resultado del primer dado es dos” y A2 = “el resultado del segundo es tres”. La probabilidad marginal de cada uno de ellos es:
La probabilidad conjunta es:
Como puede observarse, la probabilidad conjunta es el producto de las probabilidades marginales.
Ley de Probabilidad Total
Utilizando el esquema de probabilidades condicionales, si no se conoce directamente la probabilidad de ocurrencia de un evento A, la misma puede obtenerse utilizando la ley de la probabilidad total, la cual determina la probabilidad de un evento por medio de las probabilidades conjuntas del mismo con otros eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.
Sea A un evento de un espacio muestral y sea D, (j 1, 2,..., n.) una partición del espacio muestral (es decir, que los Dj son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos), entonces la probabilidad total del evento A está dada por:
Esta fórmula puede comprobarse simplemente inspeccionando la siguiente figura, donde el espacio muestral se divide en ocho partes. 
Consideremos una bolsa con cubitos y bolitas de madera de dos colores (rojo y verde). Se sabe que el 20% de las piezas rojas son bolitas, es decir, P b r / 0,2 y el 40% de las verdes son bolitas, es decir, P b v / 0,4 . Además, se conoce que el 70% de las piezas son rojas ( P rr 0,7 ). La probabilidad de extraer una bolita puede calcularse mediante el empleo de la fórmula de cálculo de probabilidad total, teniendo en cuenta que el porcentaje de piezas verdes será el complemento del porcentaje de piezas rojas: P v 0,3 . Finalmente, la probabilidad deseada es:
Teorema de Bayes
Basado en las probabilidades condicionales y la ley de la probabilidad total, el reverendo Thomas Bayes expuso el siguiente Teorema:
Dado un evento A y n eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos B1,B2 ,...,Bn entonces la probabilidad de cualquiera de los eventos Bj condicionado al evento A puede calcularse como:
EJEMPLO:
En un centro médico especializado en problemas respiratorios, el 80% de los fumadores que se fueron a atender resultó tener cáncer, mientras que de los no fumadores atendidos sólo el 10% tenía cáncer. Se sabe, además, que el 60% de los pacientes no son fumadores. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer sea fumador? Definimos los eventos:
 B1 = “el paciente es no fumador”, B2 = “el paciente es fumador”, y A = “el paciente tiene cáncer”.
De acuerdo con la información que contamos, conocemos las siguientes probabilidades:
Sobre la base de éstas, podemos hallar la probabilidad deseada, es decir P B A 2 . Utilizando el Teorema de Bayes tenemos que:
Reemplazando con los datos de la clínica: