TP04-EXTREMOS DE FUNCIONES LIBRES Y CONDICIONADOS

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Análisis Matemático II TP 4 2021 
 
 
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TRABAJO PRÁCTICO N°4 
 
EXTREMOS DE FUNCIONES LIBRES Y CONDICIONADOS 
 
FORMULA DE TAYLOR PARA FUNCIONES DOS VARIABLES REALES HASTA EL TÉRMINO DE SEGUNDO 
ORDEN 
 
Sea yxf ),( una función de dos variables reales, continua y con derivadas parciales continuas hasta la 
de orden “n” en un entorno del punto ba ),( 
Sea kbha ),( ++ un punto de dicho entorno, la función en él puede aproximarse mediante: 
.........b))(a,fkb)(a,f hk 2b)(a,fh
2
1b)(a,f kb)(a,f hb)f(a,k)bh,f(a yyxyxxyx ++++++=++
22(
en este caso hasta los términos de 2° orden, siendo el residuo: 
 ckbchafk
y
h
x
 
!n
R
n
);(1 ++





∂
∂
+
∂
∂
= 
 
A) SERIE DE TAYLOR 
 
Ejercicio 1. Obtenga el polinomio aproximante de Mac Laurin de segundo grado para la función 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑙𝑙𝑙𝑙 (1 + 𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦), y calcule el valor aproximado de 𝑓𝑓(0,1; 0,1). 
 
Ejercicio 2. Calcule los valores aproximados de 1,1027 0,91 trabajando con los polinomios de Taylor de 
1°, 2° y 3° grado. Compare los resultados entre sí y con el valor dado por la calculadora. 
 
B) EXTREMOS LIBRES 
 
 
TEOREMA DE WEIERSTRASS O TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS 
 
Si la función xxxf n );.........;( 21 es continua en S
nℜ⊂ , y el conjunto S es cerrado y acotado, entonces 
 xxxf n );.........;( 21 alcanza en S su valor máximo y su valor mínimo. 
Este Teorema no aporta un método para calcular el máximo y mínimo. 
 
 
DEFINICION DE EXTREMOS RELATIVOS 
 
Sea yxf ),( una función definida en una región R cerrada y acotada que incluye sus puntos frontera y 
que contiene al punto baP ),( : 
 
a) La función yxfz ),(= tiene un mínimo relativo en baP ),( si para todo yx ),( en un 
conjunto abierto que contiene a baP ),( se cumple: ),(),( yxfbaf ≤ 
El número ),( baf se llama valor mínimo local. 
 
b) La función yxfz ),(= tiene un máximo relativo en baP ),( si para todo yx ),( en un 
conjunto abierto que contiene a baP ),( se cumple yxfbaf ),(),( ≥ 
El número ),( baf se llama valor máximo local. 
 
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EXTREMO ABSOLUTO 
EXTREMO RELATIVO 
DEFINICION DE EXTREMOS ABSOLUTOS 
 
Si las desigualdades de las definiciones anteriores se cumplen para todos los puntos yx ),( del dominio 
de la función, entonces yxfz ),(= tiene un máximo absoluto o mínimo absoluto en );( ba según sea 
el caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PUNTOS CRÍTICOS 
 
Son puntos del dominio de la función en donde es posible hallar un extremo relativo. Estos puntos 
críticos pueden ser: 
 
a) puntos frontera del dominio dado por la región R 2ℜ⊂ 
b) puntos estacionarios de la función, que son los puntos interiores de R 2ℜ⊂ en los que 
 PfPf yx 0)()( == , es decir puntos del dominio de la función donde el plano tangente es 
horizontal. 
c) punto singular );( ba es punto del dominio donde las derivadas parciales de primer orden no 
existen. Sin embargo hay extremo en el punto )),(,;( bafba 
3ℜ⊂ donde la función alcanza el valor 
extremo ),( baf por ejemplo el cono. 
 
 
 
 
CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE PUNTOS 
CRÍTICOS ESTACIONARIOS 
 
1. CONDICIÓN NECESARIA 
 
La función yxfz ),(= tiene en el punto un extremo 
relativo, si sus derivadas parciales de primer orden en 
este punto son iguales a cero. 
 
En 2ℜ es equivalente a: 
 
 
 
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jij
y
Pfi
x
PfPf
y
Pf
x
Pf

0 0 )( )()(
0)(y 0 )(
+=
∂
∂
+
∂
∂
=∇
=
∂
∂
=
∂
∂
 
 
Geométricamente, si la gráfica de yxfz ),(= tiene un plano tangente en un extremo local, entonces 
el plano tangente debe ser horizontal. Esto implica que todas las derivadas direccionales en ),( ba han 
de ser nulas (ver figura anterior). 
 
Estas condiciones de primer orden son necesarias, pero no son suficientes porque un punto 
estacionario no tiene por qué ser un extremo local. Un punto estacionario que no sea ni máximo ni 
mínimo local se llama un punto de silla, en el cual para cualquier entorno abierto centrado en dicho 
punto la función toma valores negativos y positivos. 
 
2. CONDICIÓN SUFICIENTE 
 
Sea yxfz ),(= una función de dos variables con derivadas primeras y segundas continuas en un 
entorno del punto baP ),( que es un punto crítico estacionario de la función. 
 
En esas condiciones se cumple: 
 
HESSIANO 
Si yxfz ),(= es una función definida en su dominio D
2ℜ⊂ , con derivadas parciales de segundo 
orden continuas, se llama Hessiano de yxfz ),(= al determinante funcional: 
),(),().,(
),(),(
),(),(
),( 2 yxfyxfyxf
yxfyxf
yxfyxf
yxH xyyyxx
yyyx
xyxx −=





= 
 
)P(f)P(f).P(f
)P(f)P(f
)P(f)P(f
)P(H 2xyyyxx
yyyx
xyxx −=





= 
Cuando se calcula el Hessiano en el punto crítico baP ),( puede ocurrir: 
 
 define. no criterio el b)f(a;en entonces 0)H( 
Pen silla puntoun es b)f(a; entonces 0)H( 
Pen local máximoun es b)f(a; entonces 0(P)fy 0)H( 
Pen local mínimoun es b)f(a; entonces 0(P)fy 0)H( 
xx
xx
=
<
<>
>>
PSi
PSi
PSi
PSi
 
 
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El criterio de la derivada segunda otorga una condición suficiente para la existencia de extremos y puede 
aplicarse en los puntos interiores en que 0)P(f)P(f yx == y las derivadas parciales de )y,x(fz = 
de primero y segundo orden son continuas. 
Si la condición suficiente no es determinante, se debe recurrir a un estudio local de la función en el 
punto crítico o al análisis de su aproximación en polinomio de Taylor. 
 
Ejercicio 3. Encuentre y clasifique los extremos relativos de las siguientes funciones y calcule su valor en 
dichos puntos. 
 
a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥4 − 2𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 b) g(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑥𝑥2 + 4 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦3 
 
c) 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 2𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 4𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 + 5 d) 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 
 
e) ℎ(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 3𝑥𝑥2𝑦𝑦 − 3𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦3 − 3𝑦𝑦2 + 2 f) 𝑙𝑙(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑦𝑦 √𝑥𝑥 − 𝑦𝑦2 − 𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 
 
g) 𝑢𝑢 = 𝑒𝑒𝑥𝑥 cos𝑦𝑦 
 
 
Ejercicio 4. Dada la función 22),( xyyxf −= pruebe que el origen es un punto crítico y que no es un 
extremo relativo de la función. Represente la superficie. 
 
Ejercicio 5. Estudie extremos relativos y/o absolutos de las siguientes funciones: 
 
a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = + �3 + 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 b) 𝑧𝑧(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑥𝑥2𝑦𝑦4 
 
Ejercicio 6. ¿Para qué valores de la constante p garantiza la prueba del hessiano que la función 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥2+ 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦2 tendrá un punto silla en (0,0)? ¿Un mínimo local en (0,0)? ¿Para qué valores 
de 𝑝𝑝 está inconclusa dicha prueba? ¿Hay posibilidad de un máximo local en (0,0)? 
 
Ejercicio 7. Aplicando regla de la cadena busque y analice los puntos (𝑟𝑟, 𝑡𝑡) que determinan extremos 
para la función z = 3x − 𝑦𝑦2 donde 𝑥𝑥 = −𝑡𝑡2 + 𝑟𝑟 e 𝑦𝑦 = 5𝑡𝑡 − 2𝑟𝑟. 
 
Ejercicio 8. Encuentre el área de la caja rectangular con tapa de 1000 𝑐𝑐𝑚𝑚3 de volumen, para la cual la 
superficie sea mínima. 
 
 
C) EXTREMOS CONDICIONADOS - MULTIPLICADOR DE LAGRANGE 
 
El método de los multiplicadores de Lagrange permite hallar los valores extremos de una función 
sujeta a una o más restricciones. 
 
Este procedimiento es importante en aplicaciones de la ingeniería y en economía. 
 
El Método establece que los valores extremos de una función ( )y,xfz = (función a extremar) cuyas 
variables están sujetas a una restricción 0 yxg =),( (función vínculo) se encuentran sobre la 
intersección de ambas superficies. 
 
Para ello imponemos la restricción de que el punto )y;x(P debe estar sobre la curva de nivel 
k )y,x(g = donde se toca con la curva de nivel ( ) cy,xf = si esto ocurre tienen una recta tangente 
común. 
 
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Entonces la recta normal en dichopunto es única, y sus vectores gradientes son paralelos, gf ∇=∇ λ 
para algún escalar λ llamado multiplicador de Lagrange. 
 
 
 
Para hallar los valores máximo y mínimo local de ( )y,xfz = sujeta a la restricción 0),( =yxg se 
deberán encontrar los valores de λ,y,x que satisfacen simultáneamente las ecuaciones: 
 
a) para dos variables reales independientes 
 
 gf ∇=∇ λ y 0)y,x(g = 
b) para tres variables reales independientes 
 
 gf ∇=∇ λ y 0)z,y,x(g = 
 
Ejercicio 10. Dado el problema: 
�
Minimizar: 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 2 + 𝑦𝑦
 sujeto a: 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 4 = 0 
 
a) Grafique la restricción y algunas curvas de nivel de la función objetivo. 
b) Dé una estimación de las coordenadas del/los posibles puntos críticos. 
c) Resuelva por método de Lagrange y compruebe con su respuesta en b). 
d) En el mismo gráfico marque los vectores gradientes de la función objetivo y de la restricción 
en el punto encontrado. ¿Cómo resultan estos vectores? 
 
Ejercicio 11. Utilice el Método de los Multiplicadores de Lagrange para hallar los puntos críticos de la 
función, sujeta a la restricción dada: 
a) �𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥
2 + 𝑦𝑦2
𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 3 b) �
𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥
3
8
− 𝑦𝑦
2
3
𝑥𝑥2
16
+ 𝑦𝑦2 = 1 
 
 
c) �
𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦
(𝑥𝑥 − 1)2 + 𝑦𝑦2 = 25 d) �
𝑢𝑢(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 4𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧
2𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 3𝑧𝑧 = 0 
 
Ejercicio 12. Resuelva el ejercicio 8 por el método de Lagrange. 
 
Ejercicio 13. Encuentre el punto del plano 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 2 𝑧𝑧 = 6 que está más cerca del origen de 
coordenadas, y calcule su distancia. 
 
Ejercicio 14. El material para el fondo de un tanque rectangular cuesta el triple por metro cuadrado de lo 
que cuesta el material de las caras y la tapa. Encuentre la máxima capacidad de dicho tanque que se 
puede tener si la cantidad de dinero disponible para material es de US$ 12 y el metro cuadrado de 
material para el fondo cuesta US$ 0,60.