P4 repaso parcial

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P4- Hallar el área alabeada de la superficie de ecuación 𝜎: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2 = 0 delimitada la superficie 
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0 siendo 𝑧 ≥ 0 
Curva intersección entre en cono y el paraboloide 
𝑥 = cos 𝑡 
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
𝑧 = 1 
 
https://www.geogebra.org/3d/p5ukjhas 
Una opción 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 ≤ 0 siendo 𝑧 ≥ 0 
 
∇�⃗� = 𝜎 ; 𝜎 ; 𝜎 = (2𝑥, 2𝑦, 1) 
𝑛 =
∇�⃗�
∇�⃗�
=
(2𝑥, 2𝑦, 1)
4𝑥 + 4𝑦 + 1
= 
1
4𝑥 + 4𝑦 + 1
(2𝑥; 2𝑦; 1) 
𝐴 = 𝑑𝜎 =
𝑑𝑥 𝑑𝑦
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑧⃐ |
=
𝑑𝑥 𝑑𝑦
1
4𝑥 + 4𝑦 + 1
 
𝐴 = 4𝑥 + 4𝑦 + 1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑟 4 𝑟 + 1 𝑑𝑟 𝑑𝜑 
Por coordenada polares 
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
 Por tabla integral nro 190 
𝐴 = 𝑟 4 𝑟 + 1 𝑑𝑟 𝑑𝜑 =
(4𝑟 + 1)
3
1
0
 𝑑𝜑 
=
√125
3
−
1
3
 𝑑𝜑 = 2𝜋
√125
3
−
1
3
≅ 21,34 𝑢𝑎 
 
Otra opción 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 ≥ 0 siendo 𝑧 ≥ 0 
 
∇�⃗� = 𝜎 ; 𝜎 ; 𝜎 = (2𝑥, 2𝑦, 1) 
𝑛 =
∇�⃗�
∇�⃗�
=
(2𝑥, 2𝑦, 1)
4𝑥 + 4𝑦 + 1
= 
1
4𝑥 + 4𝑦 + 1
(2𝑥; 2𝑦; 1) 
𝐴 = 𝑑𝜎 =
𝑑𝑥 𝑑𝑦
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑧⃐ |
=
𝑑𝑥 𝑑𝑦
1
4𝑥 + 4𝑦 + 1
 
𝐴 = 4𝑥 + 4𝑦 + 1 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑟 4 𝑟 + 1 𝑑𝑟 𝑑𝜑 
Por coordenada polares 1 ≤ 𝑟 ≤ √2
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
 Por tabla integral nro 190 
𝐴 = 𝑟 4 𝑟 + 1 𝑑𝑟 𝑑𝜑 =
(4𝑟 + 1)
3
√2
1
√
 𝑑𝜑 
= 9 −
√125
3
 𝑑𝜑 = 2𝜋 9 −
√125
3
≅ 33,13 𝑢𝑎