P1 repaso parcial

Vista previa del material en texto

P1- Hallar el volumen de la región de 𝑅 : delimitada por la esfera de radio 4 centrada en el origen y el cilindro de 
ecuación 𝑥 + (𝑦 − 2) = 4 , 
https://www.geogebra.org/3d/h4abuz52 
En el dominio podemos observar un circulo, por lo tanto adoptaremos coordenadas cilíndricas para el cálculo de este 
volumen: 
𝑥 + 𝑦 − 4𝑦 + 4 = 4  𝑥 + 𝑦 − 4𝑦 = 0 
𝑥 + 𝑦 = 4 𝑦 ; pasando a polares: 𝑟 = 4 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜑 ∴ 𝑟 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝜑 
Recordemos que 
𝑥 + 𝑦 = 𝑟
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜑
 
Para el volumen pedido, en cilíndricas observamos que: 
0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋
0 ≤ 𝑟 ≤ 4 𝑠𝑒𝑛 𝜑
0 ≤ 𝑧 ≤ √16 − 𝑟
 
𝑉 = 2 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑟 𝑑𝜑
√ 
 = 2 𝑟 16 − 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑
 
 
2 𝑟 16 − 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑
 
 
Por tabla integral Nro 246 
= 2 −
(16 − 𝑟 )
3
4 𝑠𝑒𝑛𝜑
0
 𝑑𝜑 = 2 −
(16 − 16 𝑠𝑒𝑛 𝜑)
3
− −
√16
3
 𝑑𝜑 
= 2 −
(16 (1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜑))
3
− −
√16
3
 𝑑𝜑 = 2 −
√16 (𝑐𝑜𝑠 𝜑)
3
+
√16
3
 𝑑𝜑 
= 2 −
64 𝑐𝑜𝑠 𝜑
3
+
64
3
 𝑑𝜑 
Por tabla integral Nro 380 
= 2 −
64
3
𝑠𝑒𝑛 𝜑 −
𝑠𝑒𝑛 𝜑
3
𝜋
0
+
64
3
[𝜑]
𝜋
0
=
64
3
𝜋 ≅ 42,66𝜋 
 
 
Si el ejercicio fuera 
Hallar el volumen de la región de 𝑅 : delimitada por la esfera de radio 4 centrada en el origen y el cilindro de 
ecuación 𝑥 + (𝑦 − 2) = 2 
No tengo simetría polar, y por lo tanto debería plantearlo en coordenadas cartesianas 
Para el volumen pedido, en coordenadas cartesianas, obtenemos un cuarto del volumen, para simplificar los cálculos 
 
0 ≤ 𝑥 ≤ 2 − (𝑦 − 2)
2 − √2 ≤ 𝑦 ≤ 2 + √2
0 ≤ 𝑧 ≤ 16 − 𝑥 − 𝑦
 
𝑉 = 4 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦
( )√
√
 = 
= 4 16 − 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦
( )√
√
= 
Por tabla integral nro 245 ∫ √𝑎 − 𝑥 𝑑𝑥 =
√
+ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 
Siendo 𝑥 = 𝑥 ; 𝑎 = 16 − 𝑦 
= 4
𝑥 16 − 𝑦 − 𝑥
2
+
16 − 𝑦
2
 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑥
16 − 𝑦
√
√
2 − (𝑦 − 2)
0
 𝑑𝑦 
4
2 − (𝑦 − 2) 16 − 𝑦 − [2 − (𝑦 − 2) ]
2
+
16 − 𝑦
2
 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
2 − (𝑦 − 2)
16 − 𝑦
√
√
 𝑑𝑦 
4
16 − 𝑦
2
+
16 − 𝑦
2
 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
−𝑦 + 4𝑦 − 2)
16 − 𝑦
√
√
 𝑑𝑦 
Lo abandono y pruebo cambiando los límites de integración 
0 ≤ 𝑥 ≤ √2
2 − √2 − 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 2 + √2 − 𝑥
0 ≤ 𝑧 ≤ 16 − 𝑥 − 𝑦
 
𝑉 = 4 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√
√
√
 
= 4 16 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
√
√
√
 
Por tabla integral nro 245 ∫ √𝑎 − 𝑥 𝑑𝑥 =
√
+ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 
Siendo 𝑥 = 𝑦 ; 𝑎 = 16 − 𝑥 
4
𝑦 16 − 𝑥 − 𝑦
2
+
√16 − 𝑥
2
 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
𝑦
√16 − 𝑥
√ 2 + √2 − 𝑥
2 − √2 − 𝑥
 𝑑𝑥 
= 4
⎣
⎢
⎢
⎡2 + √2 − 𝑥 16 − 𝑥 − (2 + √2 − 𝑥 )
2
+
√16 − 𝑥
2
 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
2 + √2 − 𝑥
√16 − 𝑥
√
−
⎝
⎛
2 − √2 − 𝑥 16 − 𝑥 − (2 − √2 − 𝑥 )
2
+
√16 − 𝑥
2
 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛
2 − √2 − 𝑥
√16 − 𝑥
⎠
⎞
⎦
⎥
⎥
⎤
 𝑑𝑥