P3 repaso parcial

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P3- Calcular la circulación de �⃗� (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) + 𝑧𝑦, 𝑧𝑥, 𝑒 + 𝑥𝑦 − 𝑥), a lo largo de la curva 
definida por la intersección de dos superficies 
https://www.geogebra.org/3d/bk7dkvzp 
3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 (1)
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0 (2)
 
Despejando z de (2) y reemplazando en (1) queda 
3𝑥 + 𝑦 + 𝑥 + 3𝑦 = 4 
𝑥 + 𝑦 = 1 
Por la tanto la proyección de la curva sobre el plano x-y tiene simetría polar 
Aplicando el teorema de Stokes 
 por Stokes 
�⃗�. 𝑑�⃗� = (𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 ) 𝑑𝜎 
Hay dos formas de resolver el problema, con la integral curvilínea y con la integral doble, planteamos 
ambos y vemos cual es más conveniente. Porque la curva es cerrada, es decir que encierra una o más 
superficies 
1- Por integral curvilínea 
Parametrizando queda 
𝑥 = 1 cos(𝑡) 𝑑𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑑𝑡
𝑦 = 1 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑑𝑦 = cos(𝑡) 𝑑𝑡
𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) + 3 𝑠𝑒𝑛 (𝑡) 𝑑𝑧 = 2 cos(𝑡) −𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 6 𝑠𝑒𝑛(𝑡) cos (𝑡) 𝑑𝑡
 
0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋 
 
�⃗�. 𝑑�⃗� = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) + 𝑧𝑦, 𝑧𝑥, 𝑒 + 𝑥𝑦 − 𝑥 . (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) = 
 
2- Por integral doble 
𝑟𝑜𝑡 𝑉 = 
𝚤̆ 𝚥̆ 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑠𝑒𝑛(𝑥 ) + 𝑧𝑦 𝑧 𝑥 𝑒 + 𝑥𝑦 − 𝑥
 = (𝑥 − 𝑥; 𝑦 − 𝑦 + 1; 𝑧 − 𝑧) = (0, 1, 0) 
𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 = (0; 1; 0). (6𝑥; 2𝑦; 1) = 2𝑦 
(𝑟𝑜𝑡 𝑉 . 𝑛 ) 𝑑𝜎 = 2𝑦 
𝑑𝑦 𝑑𝑥
|𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑧⃐ |
 = 
Por coordenadas polares 
0 ≤ 𝑟 ≤ 1
0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋
 
2 𝑟(𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜑) 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = 
2
3
 𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑑𝜑 =
2
3
 [−𝑐𝑜𝑠𝜑]
2𝜋
0
= 0