SESION 2 Matemática II

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Matemática II 
REGLA DE LA CADENA- RECTA 
TANGENTE Y NORMAL
Logros de la sesión:
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante, resuelve
problemas aplicativos de derivada de funciones reales de
variable real y ejercicios en los que calcula la derivada de
funciones compuestas, haciendo uso de reglas de derivación y
cálculo de derivadas de las funciones.
• Funciones.
• Reglas de derivación
Recordar
• Regla de la cadena
• Ecuación de la recta tangente y normal
Temario
Calcule los puntos en que la recta tangente a la curva
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 5
es paralela al eje OX. Halle la ecuación de la recta tangente y de la recta
normal en esos puntos.
CASO: Ecuación de la recta tangente y normal
-16 -12 -8 -4 4 8 12 16
-24
-20
-16
-12
-8
-4
4
8
x
y
SABERES PREVIOS
1) Funciones
2) Funciones compuestas
3) Reglas de derivación
TEMARIO
1) Regla de la cadena.
2) Recta tangente y recta normal.
La regla de la cadena se aplica a la función compuesta de dos o más
funciones simples.
Sean dos funciones diferenciables:
𝑦 = 𝑓 𝑢 …… (1)
𝑢 = 𝑔(𝑥) …… (2)
Reemplazando (2) en (1), se obtiene la función compuesta:
𝑦 = 𝑓[𝑔 𝑥 ] …… (3)
Luego, la derivada de (3) es:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓′ 𝑢 ∙ 𝑔′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
REGLA DE LA CADENA
DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS
Derivar la siguiente función:
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)
Para derivar está función usaremos:
Ejemplo 1: Calcula la derivada de la función 𝑦 = (𝑥2+4𝑥 − 1)3
Solución:
Ejemplos de la Regla de la cadena
Sean las funciones simples:
𝑦 = 𝑢3 ⟹
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 3𝑢2
𝑢 = 𝑥2 + 4𝑥 − 1 ⟹
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥 + 4
Luego:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3𝑢2 ∙ (2𝑥 + 4)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3 𝑥2 + 4𝑥 − 1 2 ∙ 2𝑥 + 4
TEOREMA
Dada la función 𝒚 = [𝒖(𝒙)]𝒏 donde u es una función derivable de x y 
n es un número racional entonces
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑛 𝑢(𝑥) 𝑛−1
𝑑𝑢
𝑑𝑥
o su equivalente
𝑦′ = 𝑛 𝑢 𝑥 𝑛−1 ∙ 𝑢′(𝑥)
Regla general de la derivada de una potencia
Ejemplo 2: Calcula la derivada de la función 𝑦 = (𝑥2+4𝑥 − 1)3
Solución:
Aplicando la fórmula:
𝑦′ = 3(𝑥2+4𝑥 − 1)2 ∙ (𝑥2+4𝑥 − 1)′
𝑦′ = 3(𝑥2+4𝑥 − 1)2 ∙ (2𝑥 + 4)
𝑦′ = 6((𝑥2+4𝑥 − 1)2 ∙ (2𝑥 + 4)
Ejemplo 3: Encontrar la derivada de la función:
ℎ 𝑡 =
−7
(2𝑡 − 3)2
Solución:
Ejemplos de la Regla de la cadena
En este caso se recomienda acomodar la función:
ℎ 𝑡 = −7(2𝑡 − 3)−2
ℎ′ 𝑡 = −7(−2)(2𝑡 − 3)−3 ∙ 2𝑡 − 3 ′
ℎ′ 𝑡 = −7 −2 2𝑡 − 3 −3 ∙ (2)
ℎ′ 𝑡 = 28 2𝑡 − 3 −3
ℎ′ 𝑡 =
28
(2𝑡 − 3)3
Derivación de una Función Exponencial y Logarítmica de
una Función Compuesta
TEOREMA
Dada la función 𝒚 = 𝒆𝒖(𝒙) donde u es una función derivable de x , 
entonces 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝒆𝒖(𝒙)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
o su equivalente
𝑦′ = 𝒆𝒖(𝒙) ∙ 𝑢′(𝑥)
xey - 3
Solución:
Ejemplo 3: Encontrar la derivada de la función:
    '3'3 3.' xeey xx - --
  1.3 - -xe
xe -- 3
Derivación de una Función Exponencial y Logarítmica de
una Función Compuesta
TEOREMA
Dada la función 𝒚 = 𝒍𝒏(𝒖(𝒙)) donde u es una función derivable de x , 
entonces 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑢(𝑥)
. 𝑢′(𝑥)
o su equivalente
𝑦′ =
𝑢′(𝑥)
𝑢(𝑥)
Solución:
Ejemplo 3: Encontrar la derivada de la función:
 
x
x
xy
-
-
-
3
)'3(
)3ln('
'
 xy - 3ln
3
1
3
1
'
-

-
-

xx
y
Sea 𝑢 = 𝑢(𝑥) una función diferenciable, entonces:
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 ⟹ 𝑦′ = cos 𝑢 ∙ 𝑢′
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑢 ⟹ 𝑦′ = −sen𝑢 ∙ 𝑢′
𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑢 ⟹ 𝑦′ = 𝑠𝑒𝑐2 𝑢 ∙ 𝑢′
𝑦 = 𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑢 ⟹ 𝑦′ = −𝑐𝑠𝑐2 𝑢 ∙ 𝑢′
𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 𝑢 ⟹ 𝑦′ = sec 𝑢 ∙ tan 𝑢 ∙ 𝑢′
𝑦 = 𝑐𝑠𝑐 𝑢 ⟹ 𝑦′ = −csc 𝑢 ∙ 𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑢 ∙ 𝑢′
Funciones trigonométricas y la regla de la cadena
Ejemplo 4: Encontrar la derivada de:𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥2 + 5𝑥 − 1)
Solución:
𝑓′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥2 + 5𝑥 − 1) ∙ (3𝑥2 + 5𝑥 − 1)′
𝑓′ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥2 + 5𝑥 − 1) ∙ (6𝑥 + 5)
𝑓′ 𝑥 = (6𝑥 + 5)𝑐𝑜𝑠 (3𝑥2 + 5𝑥 − 1)
Ejemplos 5: Halla la derivada de la función: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛3(4𝑥2 + 1)
Solución:
Ejemplos de la Regla de la cadena
Reescribiendo la función:
𝑓 𝑥 = [𝑠𝑒𝑛(4𝑥2 + 1)]3
𝑓′ 𝑥 = 3[𝑠𝑒𝑛(4𝑥2 + 1)]2 𝑠𝑒𝑛 4𝑥2 + 1 ′
𝑓′ 𝑥 = 3[𝑠𝑒𝑛(4𝑥2 + 1)]2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑥2 + 1 4𝑥2 + 1 ′
𝑓´ 𝑥 = 3[𝑠𝑒𝑛(4𝑥2 + 1)]2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑥2 + 1 8𝑥
𝑓´ 𝑥 = 24𝑥𝑠𝑒𝑛2(4𝑥2 + 1) ∙ 𝑐𝑜𝑠 4𝑥2 + 1
Ejemplo 6: Encontrar la derivada de:𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 (5𝑥2 + 2𝑥 + 3)
Solución:
𝑓′ 𝑥 =
(3𝑥2 + 5𝑥 − 1)′
1 + (5𝑥2 + 2𝑥 + 3)
2
𝑓′ 𝑥 =
6𝑥 + 5
1 + (5𝑥2 + 2𝑥 + 3)
2
)(1
)('
)(.
2 xu
xu
dx
dy
xusenarcy
-

)(1
)('
)(cos.
2 xu
xu
dx
dy
xuarcy
-
-

)(1
)('
)(tan.
2 xu
xu
dx
dy
xuarcy


)(1
)('
)(cot.
2 xu
xu
dx
dy
xuarcy

-

1)()(
)('
)(sec.
2 -

xuxu
xu
dx
dy
xuarcy
1)()(
)('
)(csc.
2 -
-

xuxu
xu
dx
dy
xuarcy
Funciones trigonométricas inversas
Sea f : R → R una función derivable en x = a, considerando la
interpretación geométrica de f´(a) se dan las siguientes definiciones:
Recta tangente:
))(´()( axafafy --
Recta Normal:
1
( ) ( )
´( )
y f a x a
f a
-  - -
Recta tangente
Recta normal
a
f(a)
y= f(x)
Recta tangente y normal
Ejemplo 7: Dada la función:𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3, Halla la ecuación de
la recta tangente y normal a la gráfica de f en el punto (2,3).
Solución:
Ejemplos de la Regla de la cadena
Ecuación de la recta tangente:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑓
′ 2 (𝑥 − 𝑥0)
𝑦 − 3 = 2 (𝑥 − 2)
𝐿𝑇: 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0
Ecuación de la recta normal:
𝑦 − 𝑦0 =
−1
𝑓′ 2
(𝑥 − 𝑥0)
𝑦 − 3 =
−1
2
(𝑥 − 2)
𝐿𝑁: 𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0
-1 1 2  4  6
1
2

4

x
y
La pendiente de la recta tangente:
𝑚 = 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 2
𝑓′ 2 = 2(2) − 2
𝑓′ 2 = 2
Ejemplos de la Regla de la cadena
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑦 = 2𝑥2 + 3 que
es perpendicular a la recta 𝑥 + 8𝑦 + 3 = 0.
Ahora, resuelva el caso
Calcule los puntos en que la recta tangente a la curva
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 5
es paralela al eje OX. Halle la ecuación de la recta tangente y de la recta
normal en esos puntos.
CASO: Ecuación de la recta tangente y normal
-16 -12 -8 -4 4 8 12 16
-24
-20
-16
-12
-8
-4
4
8
x
y
EVALUACIÓN INDIVIDUAL
Midamos el logro de mi aprendizaje
1) Encuentre la derivada de las siguientes funciones:
2) Dada la función: 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 + 3𝑥 + 6 . En que punto de está
función la tangente es paralela al eje X.
3sin 2cos
5
x x
y
-

EVALUACIÓN INDIVIDUAL
TRANSFERENCIA – APLICACIÓN
Formemos equipos de trabajos para 
potenciar nuestros aprendizajes