SESION 7 Integracion por sustitucion

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MATEMÁTICA II
Integración por sustitución
El costo marginal (en dólares) de una compañía que fabrica zapatos
está dado por
En donde x es el número de pares de zapatos producidos. Si los
costos fijos son de $100, ¿podrías ayudar a determinar la función
costo?, ¿cómo lo harías?.
CASO 1: FÁBRICA DE CALZADOS
2500
100
)(' 2  x
x
xC
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve problemas
vinculados a gestión e Ingeniería empleando el método de integración por
sustitución algebraica .
SABERES PREVIOS
1) Fórmulas Básicas de Integración.
2) Diferencial de una función.
3) Diferencial de un producto.
TEMARIO
1) Procedimiento de la integración por sustitución algebraica.
2) Ejercicios y problemas.
3) Integración por partes.
4) Ejercicios y problemas.
I. SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA
Esta técnica se usa cuando se tiene una función que no se puede integrar
de forma inmediata y es de la forma:
La elección de la nueva variable depende muchas veces de la habilidad
del estudiante para transformar la integral dada en una simple e
inmediata. Es decir,
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
 dxxgxgf )('))(('
dxxgduxgu )(')( 
  duufdxxgxgf )()('))(('
EJEMPLO 1:
Calcular: 
Solución:
c
e
xdxe
x
x  2
2
2
 dxxeI
x2
En este caso se debe elegir la nueva variable
 dxxeI
x2
2xu  dxxdu 2 dxxdu 
2
1
 due
u
2
1
 due
u
2
1
c
eu

2
dxxdu )'( 2
Regresando a la variable inicial, se tiene:
EJEMPLOS:
EJEMPLO 2:
Calcular: 
Solución:
c
xsen
xdxsenx  2
cos
2
En este caso se debe elegir la nueva variable
Regresando a la variable inicial, se tiene:
 dxxsenxI cos
senxu  dxsenxdu )'( dxxdu cos
  duudxxsenxI cos c
u

2
2
EJEMPLO 3:
Calcular: 
Solución:
c
x
dx
xx
 23 ln2
1
ln
1
En este caso se debe elegir la nueva variable
Regresando a la variable inicial, se tiene:
 dxxx
I
3ln
1
xu ln dxxdu )'(ln dx
x
du
1

  duu
dx
xx
I
33
1
ln
1

 duu 3 c
u



22
1
EJEMPLO 4:
Calcular: 
Solución:
c
x
dxxsenx 

 6
)2cos(
)2(
6
65
En este caso se debe elegir la nueva variable
Regresando a la variable inicial, se tiene:
  dxxsenxI )2(
65
26  xu dxxdu )'2( 6  dxxdu
56
  dusenudxxsenxI 6
1
)2( 65 c
u



6
cos
DEPRECIACIÓN. El valor de reventa de una máquina industrial
disminuye a una tasa que depende de su edad. Cuando la máquina
tiene t años, la tasa a la cual cambia su valor es
dólares por año.
  /5' 960 tV et
 
PROBLEMAS
a) Exprese el valor de la máquina
en términos de su edad y de su
valor inicial.
b) Si originalmente la máquina
valía $5200, ¿Cuánto valdrá
cuando tenga 10 años?
Solución:
Integrando tenemos:


 dtetV
t
5960)(
Del enunciado tenemos: V(0) = 5200. Entonces:
ce  048005200
Entonces:
4004800)( 5 
t
etV
Ce
t


54800
400  C
a) El valor de la máquina en términos de su edad y de su valor inicial
2(10) 4800 400
1049.6
V e 

b) Si originalmente la máquina valía $5200, ¿Cuánto valdrá
cuando tenga 10 años?
Respuesta: La maquina des pues de 10 años tendrá un valor de 
$ 1049.6
Ahora, ¿Podrás resolver el caso: 
Fabrica de calzado?
El costo marginal (en dólares) de una compañía que fabrica zapatos
está dado por
En donde x es el número de pares de zapatos producidos. Si los costos
fijos son de $100, ¿podrías ayudar a determinar la función costo?,
¿cómo lo harías?
CASO: FÁBRICA DE CALZADOS
2500
100
)(' 2  x
x
xC
El costo se obtiene integrando la función costo marginal, es decir:
Solución:
  dxx
x
dxxCxC 2500
100
)(')( 2
  duudxx
x
xC
2
1
100
1
2500
100
)( 2  duu
2/1
200
1
cu  2/3
3
2
200
1
En este caso se debe elegir la nueva variable:
25002  xu dxxdu 2 dxxdu 
2
1
La integral con la nueva variable es:
c
x
dxx
x
xC 

  300
)2500(
2500
100
)(
32
2
Regresando a la variable inicial tenemos:
Pero por dato se tiene que los costos fijos es de $100, entonces:
100)0( C 100
300
25003
 c
3
950
 c
Por lo tanto, la función costo es:
3
950
300
2500
2500
100
2
2 


x
dxx
x
TRANSFERENCIA – APLICACIÓN
Formemos equipos de trabajos para 
potenciar nuestros aprendizajes
PREGUNTAS FINALES:
1)¿Qué he aprendido en esta sesión?
2)¿Qué dificultades se presentaron en la solución de los ejercicios?
3)¿Qué tipo de problemas cotidianos se podrían resolver aplicando la
optimización?
4)¿Alcanzaste el logro de la sesión?