FINAL_15-5-14

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U.T.N. F.R.H. – Examen final de Álgebra y Geometría Analítica –15 Mayo 2014 − 
 
Alumno: .......................................................................... Especialidad: .............................. 
Profesor con quien cursó:.............................................. Mes y año de firma TP: ............. 
 
1 2 3 4 
a b c d a b a b c 
 
 
Ejercicio 1: Demostrar que : 
a) u ⊥ v ∧ u ⊥ w ⇒ u ⊥ α v + β w , ∀α∈ℜ, ∀β∈ℜ 
b) a ⊥ b ⇒ Proy
b
( a -b ) = − b 
c) a , b , c , d son coplanares ⇒ (a xb ) x (c x d ) = 0 
d) u = 2 v ∧ ang(u ,v ) =
3
π
 ⇒ Proy
u
( u − v ) = 0 
Ejercicio 2: Dada la recta L ≡ 
c
z
yx =+=− 21 y los planos β≡ 3x-y-6=0 y α que pasa 
por los puntos (1;1;0) ; (1;0;2) y (0;1;-1). Se pide: 
a) Hallar un plano π, que sea perpendicular al plano y = 0 y que contenga a la recta 
determinada por α ∩ β. 
b) Calcular c ∈ℜ para que L sea paralela al plano π. 
Ejercicio 3: Dada la matriz A= 





43
01
 
a) Encontrar matrices elementales E1 y E2 tales que E2.E1
. A = I. 
b) Escribir A−1 como producto de dos matrices elementales. 
c) Escribir A como producto de dos matrices elementales. 
 
Ejercicio: Sea el plano π generado por la base { })1,2,2();2,2,1( −− de R3 y el subespacio S 
= { }02/ 21 =+∈= xxxS 3R 
a) Hallar una transformación lineal f: R3→R3 tal que f(π) = S. 
b) Calcular Nu(f) e Im(f). 
 
Ejercicio 4: Indicar si son V o F las siguientes afirmaciones, justificando la respuesta. 
a) Sea V un espacio vectorial de dimensión n y S = { }pvvv ,....., 21 un conjunto de vectores 
de V. Entonces si p < n, el conjunto S es linealmente independiente. 
b) Los autovalores asociados a un mismo autovalor son siempre linealmente 
dependientes. 
c) Si A es una matriz simétrica de orden 3 tal que 1λ =1. y 2λ = -2 son autovalores de A y 
tr(A)=0. Se verifica entonces que 77 )2(−=A . 
d) Si det(A)= 0 ⇒ A no es diagonalizable.